概率论与数理统计题库及答案

1、概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中， （）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布(a)1 , 1 , 1 , 1(b)1 , 1 , 1 , 123452488(c)1 , 1 , 1 ,1(d)1 , 1 , 1 , 12222248162.下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布(a)1111(b)1111244424816(c)1113(d)113124161624883.设连续型随机变量x 的密度函数f ( x)2 x,0x 1,0,其他 ,则下列等式成立的是（）(a)p( x 1)1(b)p( x1 )122(c)p( x1)1(d)p( x11

2、22)224.若 f ( x) 与 f ( x) 分别为连续型随机变量x 的密度函数与分布函数，则等式（）成立p( ax b)f (x)dxp( ax b)b(a)(b)f ( x) dxabx b)(c)p( ax b)f (x)dx(d)p( af ( x)dxa5.设 f ( x) 和 f ( x) 分别是随机变量x 的分布密度函数和分布函数，则对任意ab ，有p( ax b)（）(a)b(b)bf ( x) dxf ( x)d xaa(c)f ( b)f ( a)(d)f (a)f (b)6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）7.设 x 01232)0.30.4，则

3、p( x（）0.10.2(a)0.1(b)0.4(c)0.3(d)0.28. 设 x n (0,1) ， ( x) 是 x 的分布函数，则下列式子不成立的是（）(a)(0) 0.5(b)(x)(x)1(c)(a)(a)(d)p( xa)2 (a)19.下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（）（a ）1, 1, 1 , 1(b)1 ,2 ,3 ,4336610101010(c)1 , 1 , 1 , 1(d)1 , 1 , 1 , 124883691210. 若随机变量 x n (0,1) ，则 y3x2 （）(a)n (2,3)(b)n (4,3)(c)n (4,32 )(d)n (2,32

4、 )11.随机变量 x 服从二项分布 b( n,p) ，则有d ( x )（）e( x )(a)n(b)p(c)1-p(d)11 p12.如果随机变量x b(10,03.) ，则e ( x ), d( x ) 分别为（）(a)e( x )3, d( x )21.(b)e( x )3,d ( x )0.9(c)e ( x )03. , d( x ) 3(d)e( x ) 03. , d( x )21.13. 设 x b(n, p) ， e( x )2 , d ( x )1.2 ，则 n, p 分别是（）(a)5 , 0.4(b)10 , 0.2(c)4 , 0.5(d)8 , 0.2514. 设

5、 x b(n, p) ，且 e( x )6, d ( x ) 3.6 ，则 n（）(a)30(b)20(c)15(d)1015. 设 x n (50, 102 ) ，则随机变量（） n (0, 1) .x50x50(a)(b)10010x100x10(c)50(d)5016. 对于随机事件 a , b ，下列运算公式（）成立(a)p( a b)p( a)p( b)(b)p( ab)p( a) p(b)(c)p( ab)p( b) p(b a)(d)p( ab)p( a) p(b)p( ab)17. 下列事件运算关系正确的是（）(a)bbaba(b)bbab a(c)bbab a(d)b1b18

6、. 设 a， b 为两个任意事件，那么与事件aba bab 相等的事件是（）(a)ab(b)a b(c)a(d)b19. 设 a , b 为随机事件，a 与 b 不同时发生用事件的运算表示为（）(a)ab(b)a b(c)abab(d)a b20.若随机事件a , b 满足 ab，则结论（）成立(a)a 与 b 是对立事件(b)a 与 b 相互独立(c)a 与 b 互不相容(d)a 与 b 互不相容21.甲、乙二人射击，a, b 分别表示甲、乙射中目标，则ab 表示（）的事件(a)二人都没射中(b)至少有一人没射中(c)两人都射中(d)至少有一人射中22.若事件 a , b 的概率为 p( a

7、)0.6 ， p(b)0.5，则 a 与 b 一定（）(a)相互对立(b)相互独立(c)互不相容(d)相容23. 设 a， b 为两个任意事件，则p(a+b) = （）(a)p(a) + p( b)(b)p(a) + p( b) - p(a)p(b)(c)p(a) + p(b) - p(ab)(d)p(ab) p(a) + p(b) 24. 对任意两个任意事件a , b ，等式（）成立(a)p( ab)p( a) p( b)(b)p( ab)p( a) p(b)(c)p( a b)p( a)(p(b)0)(d)p( ab )p( a) p(b a)( p( a) 0)25.设 a， b 是两个

8、任意事件，则下列等式中（）是不正确的(a)p( ab)p( a) p(b) ，其中 a， b 相互独立(b)p( ab)p( b) p( a b) ，其中 p( b)0(c)p( ab)p( a) p(b) ，其中 a，b 互不相容(d)p( ab)p( a)p( b a) ，其中 p( a)026. 若事件 a 与 b 互斥，则下列等式中正确的是（）(a)p( ab)p( a) p( b)(b)p( b) 1p( a)(c)p( a)p( a b)(d)p( ab)p( a) p(b)27. 设 a ， b 为两个任意事件，则下列等式成立的是（） .(a)abab(b)aba b(c)abb

9、ab(d)abbab28. 设 a , b 为随机事件，下列等式成立的是（）(a)p( ab)p( a)p( b)(b)p( a b)p( a)p(b)(c)p( ab)p( a)p( b )(d)p( a b)p( a)p( ab )29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（） .(a)0.56(b)0.50(c)0.75(d)0.9430.若 a , b 满足（），则 a 与 b 是对立事件(a)p( ab)1(b)a bu , ab(c)p( ab)p( a)p(b)(d)p( ab) p( a) p(b)31. 若 a 与 b 相互独立

10、，则等式（）成立(a)p( ab)p( a)p(b)(b)p( ab)p( a)(c)p( a b)p( a)(d)p( ab)p( a) p( b)32. 设 x1 , x2 , xn 是正态总体 n ( ,2 ) （2 已知）的一个样本，按给定的显著性水平检验 h 0：0 （已知）； h 1 ：0 时，判断是否接受 h 0 与（）有关 .(a)样本值，显著水平(b)样本值，样本容量(c)样本容量 n ，显著水平(d) 样本值，样本容量n ，显著水平33.假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）(a)有可能都增大(b)有可能都减小(c)有可能都不变(d)一定一个增大，一个减小34.

11、从正态总体n ( ,2 ) 中随机抽取容量为n的样本，检验假设h 0 ：0 , h 1 ：0 若用 t 检验法，选用统计量t，则在显著性水平下的拒绝域为（）(a)tt(n1)(b)t t1(n1)(c)tt(n1)(d)tt1( n1)35. 在对单正态总体n (,2 ) 的假设检验问题中，t 检验法解决的问题是（）(a)已知方差，检验均值(b)未知方差，检验均值(c)已知均值，检验方差(d)未知均值，检验方差36. 对正态总体 n ( ,2 ) 的假设检验问题中，u 检验解决的问题是（）(a)已知方差，检验均值(b)未知方差，检验均值(c)已知均值，检验方差(d)未知均值，检验方差37.设

12、x1 , x2 , , xn 是正态总体 n (,2 ) 的一个样本，2 是已知参数，是未知参数， 记x1 nxi ，函数 (x) 表示标准正态分布n (0,1) 的分布函数， (1.96)0.975 ，n i1(1.28)0.900 ，则的置信水平为0.95 的置信区间为（） .(a) （ x 0.975， x +0.975）(b) （ x 1.96， x +1.96）nnnn(c) （ x 1.28， x +1.28）(d) （ x 0.90， x +0.90）nnnn38. 设 x1 , x2 , x3 是来自正态总体n (,2 ) 的样本，则的无偏估计是（）x1x2x3(b)x1x2x

13、3(a)3(c) x1x2x3(d)x1x2x339. 设 x1 , x2 , xn 是来自正态总体n (,2 ) 的样本，则（）是无偏估计(a)x1 x2x3(b)2x1225x2x355(c)1 x11 x21 x3(d)1 x11 x23 x355555540.设 x1 , x2 是取自正态总体n ( ,1) 的容量为2 的样本，其中为未知参数， 以下关于的估计中，只有（）才是的无偏估计 .(a)2 x14 x2(b)1 x12 x2334431x22x13(c)4 x14(d)55 x241.设总体 x 的均值与方差2 都存在，且均为未知参数，而x1 , x2 , , xn 是该总体的

14、一个样本，记 x1 nxi ，则总体方差2 的矩估计为（） .n i 1(a)x(b)1 n( xi) 2n i 1(c)1 n ( xix) 2(d)1n i 1nnxii 1242.设 x1, x2 , xn 是来自正态总体n ( , 2 )( ,2均未知） 的样本，则（）是统计量(a)x1(b) x(c)x12(d)x1243.对来自正态总体x n ( ,2 ) （未知）的一个样本x 1 , x 2 , x 3 ， x1 3x i ，3 i1则下列各式中（）不是统计量x3（a ）(b)i 1x i(c)13( x i) 2(d)13( x i x )23 i 13 i144. 设 x 是

15、连续型随机变量，其密度函数为ln x,x(1, b,f ( x)x(1, b,0,则常数 b =（）.(a)e(b)e + 1(c)e 1(d)e 245. 随机变量 x b(3, 1 ) ，则 p( x 2)（）2(a)01(b)8(c)172(d)846. 设 x n ( 2,2 ) ，已知 p(2 x 4)0.4，则 p(x 0)（） .(a)0.4(b)0.3(c)0.2(d)0.147. 已知 x n (2,2 2 ) ，若 axb n (0,1) ，那么（）(a)a2,b2(b)a2,b1(c)a11(d)a12, b,b2248. 设随机变量x 的密度函数为f (x) ，则 e

16、( x 2 )（）(a)xf ( x)dx(b)x2 f ( x)dx(c)xf 2 ( x)dx(d)( xe ( x ) 2 f (x)dx49. 若随机变量 x 的期望和方差分别为e( x ) 和 d ( x ) ，则等式（）成立(a)d ( x )e xe( x )(b)d ( x )e( x 2 ) e( x ) 2(c)d ( x )e( x 2 )(d)d ( x )e( x 2 ) e( x ) 250. 设随机变量x 服从二项分布b(n, p)，已知 e( x )=2.4, d(x )=1.44 ，则（）(a)n = 8, p =0.3(b)n = 6, p =0.6(c)n

17、 = 6, p =0.4(d)n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证：已知事件a , b 的概率分别为p(a) = 0.3 ，p(b) = 0.6 ，p( ab ) = 0.1 ，则 p(ab) =02. 试证：已知事件a , b 相互独立，则p( ab)1p( a)p( b) 3. 已知事件a , b , c 相互独立，试证( ab) 与 c 相互独立 .1， p( b)24. 设事件 a ， b 的概率分别为 p( a)，试证： a 与 b 是相容的 .235. 设随机事件 a , b 相互独立，试证： a, b 也相互独立6. 设 a , b 为随机事件，试证：p( ab)p(

18、 a)p( ab ) 7. 设随机事件a , b 满足 ab，试证：p( ab )1p( b) 8. 设 a , b 为随机事件，试证：p( a)p( ab)p( ab) 9. 设 a, b 是随机事件，试证：p( ab)p( ab )p( ab)p( ab ) 10. 已知随机事件a , b 满足 ab ，试证： p( ab)p( a)p( b) 三、计算题1. 设 a, b 是两个随机事件，已知p( a)0.5 ，p(b a)0.4 ，求 p( ab) .2. 某种产品有80%是正品， 用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设 a 表示一产品经检查被

19、定为正品，b 表示一产品确为正品， 求 p(a).3.某单位同时装有两种报警系统a 与 b ，每种系统独立使用时，其有效概率p( a)0.9 ，p( b)0.95 ，在a 有效的条件下b 有效的概率为p(b a)0.97 ，求p( ab).4. 设 a, b 是两个独立的随机事件，已知 p(a) = 0.4 ， p(b) = 0.7 ，求 a 与 b 只有一个发生的概率 .5. 设事件 a ， b 相互独立，已知p( a)0.6 ， p( b)0.8 ，求 a 与 b 只有一个发生的概率 .6. 假设 a, b 为两事件，已知p( a)0.5, p(b)0.6, p( b a)0.4 ，求 p

20、( ab) 7. 设 随 机 变 量 x n (3, 22 ) ， 求 概 率 p( 3x 5)( 已 知 (1)0.841 3 ， (3) 0.9987 )8. 设 a, b 是两个随机事件，已知 p(a) = 0.6， p(b) = 0.8， p( b a )=0.2，求 p( a b) .9. 从大批发芽率为 0.8 的种子中，任取 4 粒，问（ 1） 4 粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有 1 粒种子发芽的概率是多少？10. 已知 p( a)1 , p( b a)1 , p( a b)1，求 p( a b) 43211. 已知 p( a)0.4 ， p( b)0.8 ， p(

21、ab)0.5 ，求 p(b a) .12. 已知 p( a)0.7 ， p( b)0.3 ， p( ab)0.5 ，求 p( a b) 13. 已知 p(b) = 0.6 ， p( ab) =0.2，求 p( ab ) 14. 设随机变量 x n（ 3， 4）求 p（1 x 7 ） (1)0.841 3 ， ( 2) 0.977 2 )15. 设 x n (3, 0.52 ) ，求 p(2 x 3.6) .已知 (1.2)0.884 9 ， (2) 0.977 2 .16. 设 a, b 是 两 个 随 机 事 件 ， 已 知 p( a)0.4 ， p(b)0.5 ， p( b a)0.45

22、， 求p( ab) 17. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为 0.03，第二道工序的次品率为 0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.18. 已知袋中有 3 个白球 7 个黑球，从中有放回地抽取 3 次，每次取 1 个，试求恰有 2 个白球的概率；有白球的概率 .19. 268-16. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3 次，求投中篮框不少于2 次的概率；求至少投中篮框1 次的概率20. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3 次，求投中篮框不少于 2 次的概率；求至少投中篮框1 次的概率21. 某气象站天气预报

23、的准确率为70%，在 4 次预报中， 求恰有 3 次准确的概率；至少1 次准确的概率.22. 已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4 次，每次抽取一件，试求有次品的概率；恰有两件次品的概率.23. 某射手射击一次命中靶心的概率是08. ，该射手连续射击命中靶心的概率；至少 4 次命中靶心的概率5 次，求：24. 设箱中有 3 个白球 2 个黑球，从中依次不放回地取出3 球，求第 3 次才取到黑球的概率.25. 一袋中有5 次求恰有10 个球，其中3 个黑球 7 个白球今从中有放回地抽取，每次取2 次取到黑球的概率；至少有1 次取到白球的概率.1 个，共取26. 有甲、乙两批种

24、子，发芽率分别是 0.85 和 0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率 .27. 机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.0.01，乙工序的次品率是28. 一袋中有10 个球，其中3 个黑球 7 个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2 次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1，第二台废品率是2，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3 倍 , 求任意取出的零件是合格品的概率30. 两台机器加工同样的零件，第一台的次品率是2，第二台的次品率是

25、1，加工出来的零件放在一起。已知第一台机器加工零件的数量是第二台机器加工零件的数量的3 倍, 求任意取出的零件是次品的概率31. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、 30% 来自乙厂、 20%来自丙厂， 已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02 和 0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.32. 一个人的血型为a, b, ab ,o 型的概率分别是0.40,0.11,0.03,0.46 ，现在任意挑选7 个人，求以下事件的概率：（ 1）没有人是b 型的概率 p1 ；（2）恰有一人为ab 型的概率 p2 33. 袋中有 10 个球，其中三白七黑，

26、有放回地依次抽取，每次取一个，共取4 次求：取到白球不少于3 次的概率；没有全部取到白球的概率34. 设 x n (3, 0.52 ) ，求 p(2 x 3.6) .已知 (1.2)0.884 9 ， (2)0.977 2 .35. 设随机变量x n（ 8， 4）求p( x81) ( 0.5)0.691 5 )36. 279-17.设 x n (2 , 9) ，试求 p( x 11)； p(5 x 8) （已知 (1)0.841 3, (2) 0.977 2, (3)0.998 7 ）37.设 x n (5 , 9)， 试求 p( x 8)； p(5 x 14) （ 已 知(1)0.841 3

27、 , ( 2)0.9772 , (3) 0.9987）38.设 x n (3 , 4)， 试求 p(5x 9) ； p( x7) （ 已 知(1)0.841 3 , ( 2)0.9772 , (3)0.998 7 ）39. 设 随 机 变 量 x n (3, 22 ) ， 求 概 率 p( x 1 1) ( (0.5) 0.691 5 ，(1.5)0.933 2 )40. 设 x n (3, 4) ，试求p( x1) ； p(5x7) （已知 (1)0.841 3, (2)0.9772, (3)0.9987 ）41. 设x n (3,22)，求 p( x5) 和p( x1 1)（其中 (0.5

28、) 0.691 5,.(1)0.841 3 ,(1.5) 0.9332, (2)0.9772 ）42. 设随机变量x n（3，4）求使 p（x a）=0.9 成立的常数a (已知 (1.28)0.9 )43. 设 x n (3, 4) ，试求 p( x1) ； p(5 x 9) （已知(1) 0.841 3, (2) 0.977 2, (3)0.998 7 ）44. 设 随 机 变 量 x n (3, 22 ) ， 求 概 率 p(3x 5)( 已 知 (1)0.841 3 ，(3)0.998 7 )45. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度x n (32.5 , 1.21) ，今从这批

29、砖中随机地抽取了 9 块，测得抗断强度（单位：kg cm2）的平均值为 31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（0 05196 ）. , u0.975.012346. 设 x ，求 e( x ) ； p( x 2) 0.40.30.20.147. 设 随 机 变 量 x n (3, 22 ) ， 求 概 率 p( x 1 1)( (0.5) 0.691 5 ，(1.5) 0.933 2 )48. 设 x n (3, 4) ，试求p( x 1) ； p(5x 7)（已知 (1)0.841 3, (2)0.977 2, ( 3 )0 . 998 7 ）49. 设随机变量x n (4, 1) ，若

30、p( xk )0.933 2 ，求 k 的值（已知 (1.5)0.933 2 ）50. 设随机变量 x n（ 3， 4）求使 p（ x a） =0.9 成立的常数 a(已知 (1.28) 0.9 )51.设 随 机 变 量x n ( 4, 1) ， 若 p( xk )0.933 2 ， 求k的 值 （ 已 知(1.5)0.933 2 ）52. 设随机变量x 的密度函数为3( x1) 21x2f ( x)0其它试求： p(15.x25. ) 012353. 设 x ，求 e( x ) ； p( x 2) 0.40.30.20.154.2,0x1 ,55. 设随机变量x f ( x)2 ，求 d

31、( x ) 0,其他 56.57.58.59. 设 x n (3 , 4) ，试求 p( 3x9) 60.61. 设随机变量 x 的概率密度函数为求（ 1） a ；（2） e( x ) .62. 设连续型随机变量 x 的密度函数为f ( x)ax 2 ,0 x 10 ,其它试求 a ； p( 1x4) 463. 盒中装有分别标 1, 2 , 3, 4, 5 数字的球，从中任取 2 个，用 x 表示所取 2 球中最大的数字. 求 x 的概率分布 .64. 在一次数学考试中，其分数服从均值为65，标准为10 的正态分布，求分数在6075 的概率 . (0.5)0.691 5 ， (1) 0.841 3 )65. 某类钢丝的抗拉强度服从均值为 100 (kg/cm 2)，标准差为 5 (kg/cm 2)的正态分布， 求抗拉强度在 90110 之间的概率 (1) = 0.841 3, (2) = 0.977 2 )66. 测量某物体的长度，其长度 x (单位： cm)服从正态分布 n (20, 100 )，求测量误差不超过10cm 的概率 (1) = 0.841 3)（中等）（熟练掌握）67. 某厂生产的螺栓长度x（ cm）服从正态分布