圆锥曲线中离心率和范围的求解专题教师版

1、圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求 】1 熟练掌握三种圆锥曲线的定义 、标准方程 、 几何性质 ， 并灵活运用它们解决相关的问 题。2 掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3 灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想 、函数和方程的思想 、 分类讨论思想 、 等价转化的思想学 ）解决问题 。【热点透析 】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决 ：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式 （组）求解法 ： 利用题意结合图形 （如点在曲线内等 ）列出所讨论的离心 率（ a,b,c）适合的不等式 （ 组），通过解不等式组得出离心

2、率的变化范围；（3）函数值域求解法 ： 把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数 ，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围 。（4）利用代数基本不等式 。 代数基本不等式的应用 ，往往需要创造条件 ，并进行巧妙 的构思 ；（5）结合参数方程 ，利用三角函数的有界性 。直线 、圆或椭圆的参数方程 ，它们的一 个共同特点是均含有三角式 。因此 ，它们的应用价值在于 ： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标 ； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题 ；（6）构造一个二次方程 ，利用判别式 0。2. 解题时所使用的数学思想方法 。（1）数形结合的思想方法 。

3、一是要注意画图 ， 草图虽不要求精确 ， 但必须正确 ，特别 是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置； 二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来 ，反之应由代数量确定几何特征 ，三要注意用几何方法直观解题 。（2）转化的思想方汉 。 如方程与图形间的转化 、 求曲线交点问题与解方程组之间的转化 ，实际问题向数学问题的转化 ，动点与不动点间的转化 。（3）函数与方程的思想 ， 如解二元二次方程组 、方程的根及根与系数的关系 、求最值学习参考中的一元二次函数知识等 。（4）分类讨论的思想方法 ，如对椭圆 、 双曲线定义的讨论 、对三条曲线的标准方程的讨论等 。题型分析 】22xy1. 已知双曲

4、线 C1 : 2 2 1（a 0,b 0） 的左 、 右焦点分别为 F1 、 F2 ， 抛物线 C2 的顶点在原 a2 b2点，准线与双曲线 C1的左准线重合 ，若双曲线 C1与抛物线 C2的交点 P 满足 PF2 F1F2 ，则双曲线 C1的离心率为 （ ）A 2B 3C 2 3D 2 2解：由已知可得抛物线的准线为直线2a， 方程为c2 4a2x；c由双曲线可知 P（c,b ） ，a(ba)24a2c ， b2 2a2b2 2 ，a e2 1 2 ， e3 222 椭圆 x2 y2 1a2 b2a b 0 ）的两个焦点分别为 F、 F2 ， 以 F1 、F2 为边作正三角形 ，若椭圆恰好平

5、分三角形的另两边，则椭圆的离心率 e为A3 1B 3 1C4(2 3)D32|F1F2|2c e2a解析：设点 P 为椭圆上且平分正三角形一边的点 ，如图，由平面几何知识可得 | PF2 |:| PF1 |:| F1F2 | 1: 3:2，c所以由椭圆的定义及 e 得：a3 1 ，故选 B |PF1| |PF2 |3 1变式提醒 ：如果将椭圆改为双曲线 ，其它条件不变 ，不难得出离心率 e 3 1 2 x 3. （09 浙江理 ）过双曲线 2 a22y2 1（a 0,b 0）的右顶点 A作斜率为 1的直线 ，该直线与双曲线 b学习参考的两条渐近线的交点分别为 B,C若AB 1BC ，则双曲线的

6、离心率是 （ ）2B 3C 5D 10解 析 】对 于 A a,0 ， 则 直 线 方 程 为 x y a 0 ， 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B ， C ，a2 aba2ab222a2b2a2b,C(a b, a b)，BC (a2 b2 , a2 b2 ), ABa b a b因此 2AB BC, 4a2 b2, e5答案：C4.x2 2点，Dabxy09 江西理 ）过椭圆 2 2 1（a b 0 ）的左焦点 F1作x轴的垂线交椭圆于点 P ， ab若 F1PF2 60 ， 则椭圆的离心率为 （BF2 为右焦1C2解析 】因为 P（ c,a，再由 F1PF2 60有 3b2

7、 2a,从而可得 a3 ，故选 B32 x 5.（ 08 陕西理 ）双曲线 2 a22b2 1( a 0，b 0）的左 、右焦点分别是F1，F2 ，过 F1 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为A 6B 3CD 36. （08 浙江理 ）若双曲线2x2a2y1 的两个焦点到一条准线的距离之比为b21 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D）A)3B）C) 37. （08 全国一理）在ABC 中，AB BC ， cosB 7 若以 A，18B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点

8、为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB与该双曲线的一条渐近线垂直， 那么此双曲线的离心率为 （ ）学习参考A) 2( B) 3C）31D）51解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在则一个焦 点为 F (c,0), B(0,b)bbb ( b)1 ，ac2b ac22c a ac 0，9.（ 10 全国卷理）已知C于点 D，且BF 2FD解析：答案： 33如图，设椭圆的标准方程为x 轴上 ，设其方程为2x2a条渐近线斜率为：解得 e ca5122y2 1(a 0,b 0) ， b b，直线aF 是椭圆 C 的一个焦点 ，B是短轴的一个端点则 C 的离心率为2x2a2 y2 b21（a b0

9、）不妨设 B 为上顶点 ，FBF 2 FD ，得（c， b）2（xc，y），即 c 2(x c) b 2y，解得3cx2by2D( 3c，2由 D 在椭圆上得32(32c)2a2b2( b2)21，2c2a1c3，e 3a3bFB 的 斜 率 为 ：c， 线段 BF的延长线交为右焦点 ， 设 D（x，y） 由解析 1】 3如图，3|BF | b2 c2 a,作 DD1uury 轴于点 D1,则由 BF 2FD ，得uur|OF | |BF |DD1| |BD |23,所以 |DD1 |OF |c ,即 xD3 2 23c,由椭圆的第二定义得2|FD | e(a 3c) a 3c c 2 2a又

10、由|BF | 2|FD |,得a 2a 3c2,a学习参考22x解 析 2】设 椭 圆方 程为 第一 标准形 式 2 y2 1，设 D x2,y2 ， F 分BD 所成 的 比 为 2，xc 0 2x21233x2 23xc 32c;ycb 2y212y23yc b 3 0 bb ， 代入29 c24a21b2 14b， e 3，e310. ( 07 全国 2理）设 F1，F2 分别是双曲线x22y22 2 的左 、 a2 b2右焦点， 若双曲线上存在点F1AF2 90 且 AF1 3 AF2，则双曲线的离心率为 （ B ）AB10C15?AF1 - AF2 = 2AF2 = 2a ?(AF1

11、)2 + (AF2)2 = (2c)2?2c ? e101022x y o11. 椭圆 2 2 1（a 0,b 0）的左焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 45o的直线与椭圆交于 A、B 两 a2 b2点且 F分向量 BA的比为 2/3 ，椭圆的离心率 e 为: 。本题通法是设直线方程 ，将其与椭圆方程联立 ，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比 。 思路简单 ， 运算繁琐 。 下面介绍两种简单解法 。解法（一）：设点 A xA,yA ，B xB,yB ，由焦半径公式可得a exA 3a exB 2则2(a exA) 3(a exB ) ，变形 2(a exA a exB) a exB，所以 2

12、e（xA xB） a exB因为直线倾斜角为 45o ，所以有 2e22 AB225 AB ，所以2e5提示 ：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式 ，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系 。焦半径 是圆锥曲线中的重要线段 ，巧妙地运用它解题 ， 可以化繁为简 ，提高解题效率 。一般来说 ， 如果题目中涉及 的弦如果为焦点弦 ， 应优先考虑焦半径公式 。解法 （二）：BE 1 BF 1 2 ABe e 5学习参考AD 1e AF 1e 53 ABAC22 ABAD BEAC1 31 22e1 35 AB e1 52 AB22 AB12.10 辽宁理 ) (20)(本小题满分 12 分)22x

13、y设椭圆 C： 2 2 1(a b 0) 的左焦点为 F，过点 F的直线与椭圆 C 相交于 A，B两点，直线 l ab的倾斜角为 60o,AF 2FB .椭圆 C的离心率解：设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由题意知 y10.) 直线 l 的方程为 y3(x c) ，其中 c a2 b2 .y 3(x c),联立x2 y2得 (3a2 b2)y2 2 3b2cy 3b4 0x y 1b2 1解得y13b2 (c 2a)3a2 b2 , y23b (c 2a) 因为 AF 2FB ，3a2 b2所以2y2.3b2(c 2a)223a2 b223b2(c 2a)223a2 b2离心率6分1

14、3. A 是椭圆长轴的一个端点O 是椭圆的中心 ， 若椭圆上存在一点P，OPA= ,则椭圆离心率的范围是22解析：设椭圆方程为 x2 y2 =1( a b0),以 OA 为直径的圆 ：a2 b2x2ax+y2=0, 两式联立消学习参考a2 b2y 得 a 2b x2ax+b2=0. 即 e2x2ax+b2=0,该方程有一解 a2ax2,一解为 a,由韦达定理 x2= 2 ea2a,0x2a， 即 0 aae1.e22答案 ： 2 e0,b0 ）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线2的距离 ，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+ )C.(1,5)D. (5,+ )解析 由题

15、意可知223a3a( a )e ( a )2c2c即 3e 1 3 1 解得 e 2 故选 B.2 2 e22xy16.（07 北京）椭圆 2 2 1（a b 0） 的焦点为 F1， F2 ，两条准线与 x轴的交点分别为 a2 b2M ，N ， 若MNF1F2， 则该椭圆离心率的取值范围是 （ ）1，212， （0， (0， ，1） ，1）22222a22解析 由题意得2 2ce故选 D.c217. （ 07 湖南）设 F1，F2分别是椭圆22xy2 2 1（a b 0）的左、右焦点 ，若在其右准线上存在 a2 b2P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ， 则椭圆离心率的取值范围是 （ ）

16、学习参考A(0，22B(0，33C 22 ，1)2D. 33 ，1)3分析 通过题设条件可得 PF2 2c ，求离心率的取值范围需建立不等关系 ，如何建立 ？2 a 解析：线段 PF1的中垂线过点 F2， PF2 2c，又点P在右准线上 ，PF2ccac3 3即 2cc e 1，故选 D.ca33点评 建立不等关系是解决问题的难点 ， 而借助平面几何知识相对来说比较简便 .22xy18. （08福建理 ）双曲线 2 2 1（a0,b0）的两个焦点为 F1、 F2,若P为其上一点 ，且|PF1|=2|PF2|, a2 b2则双曲线离心率的取值范围为 （ B）A.（1,3） B. 1,3 C.（3

17、,+ ） D. 3,分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系 ，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义 .如何找不等关系呢 ？利用第二定义及焦半径判断 x0 3 a解析：|PF1|=2|PF 2|,|PF1| |PF2|=|PF 2|= 2a ，|PF2| c a即2a c a3a c 所以双曲线离心率的取值范围为 1 e 3 ，故选 B.2c e2am2 (2m)2 4m2 cosm5 4cos解 2 如图 2 所示 ， 设 PF2 m， F1PF2(0 ) ，当点 P 在右顶点处有. 1 cos 1，e 1,3 .选 B.小结 本题通过设角和利用余弦定理 ，将双曲线的离

18、心率用三角函数的形式表示出来， 通过求角的余弦值的范围 ， 从而求得离心率的范围 .点评 ： 本题建立不等关系是难点 ， 如果记住一些双曲线重要结论 （ 双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小 于 c a ） 则可建立不等关系使问题迎刃而解 .19.（08 江西理）已知 F1 、 F2是椭圆的两个焦点 ，满足MF1 MF2 0的点M 总在椭圆内部 ，则椭圆离心率的取值范围是（C）A (0,1)1 2 2 B (0, C(0, ) D ,1)2 2 2学习参考解 据 题 意 可 知 ， F1 M F2 是 直 角 ， 则 垂 足 M 的 轨 迹 是 以 焦 距 为 直 径 的 圆 . 所 以 2

19、2 2 2 2 1 2c b c2 b2 a2 c2e2.又e (0,1) ，所以 e (0,).选C.22小结 本题是最常见的求离心率范围的问题 ，其方法就是根据已知条件 ，直接列出关于 a，b，c 间的不等量关系 ，然后利用 a，b，c 间的平方关系化为关于 a，c 的齐次不等式 ，除以 a2 即为关于离心率 e 的一元 二次不等式 ，解不等式 ， 再结合椭圆或双曲线的离心率的范围 ，就得到了离心率的取值范围2220.上，xy04重庆)已知双曲线 2 2 1,(a 0,b 0)的左，右焦点分别为 F1, F2 ,点 P在双曲线的右支 ab且|PF1| 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心

20、率 e的最大值为 ：(7D3 25 |PF1|=4PF 2|,|PF1| |PF2|=3|PF2|= 2a，|PF2| c a 即 a c a a c35 所以双曲线离心率的取值范围为 1 e ，故选 B.322xy右焦点 ，P 为双曲线右支上任一点 ， 若21. 已知 F1， F2 分别为 2 2 1 (a 0,b 0) 的左 、a2 b2PF1PF22的最小值为 8a ， 则该双曲线的离心率的取值范围是A (1,2 B (1,3 C2,3D3, )解析PF1(2a PF2 )2PF24a2PF2 4a 2 4a24a 8a ，欲使最小值为 8a ，需右支上存在一点P，使 PF2 2a ，而

21、 PF2 c a 即 2a c a 所以 1 e 3.2222. 已知椭圆xy2 2 1(a b 0)右顶为 A,点 P在椭圆上 ，O为坐标原点 ，且 OP垂直于 PA，椭圆的 a2 b2离心率 e 的取值范围是 ;22x022 y022 1解：设 P点坐标为 ( x0, y0 ),则有 a2 b2x02 ax0 y02 0消去 y02得 (a2 b2)x02 a3x0 a2b2 0 若利用求根公式求 x0 运算复杂 ， 应注意到方程的一个根为 a,学习参考由根与系数关系知axa2b2xab2ax02 2 x022a b a b由 0 x0 a得 2 e 1222xy23. 椭圆 G ： 2

22、2 1(a b 0) 的两焦点为 F1( c,0), F2(c,0) ，椭圆上 存在点 M 使 abF1M F2M 0. 求椭圆离心率 e 的取值范围；2 2 2解析 设 M(x,y),F1M F2M 0 x2 y2 c2 将 y22 b 2 2 2 a b 2 2 2e1b2 ba2 x2代入得x2 a2 a2b0 x2 a2求得 2222xy点评 ： 2 2 1(a b 0) 中 x a ， 是椭圆中建立不等关系的重要依据 ， 在求解参数范围问题中 a2 b2经常使用 ， 应给予重视 .x2 y224. (06 福建)已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F，若过点 F且倾

23、斜角为 60 的直线与 ab双曲线的右支有且只有一个交点 ， 则此双曲线离心率的取值范围是(A) (1,2(B) (1,2)(C) 2,) (D) (2, )解析 欲使过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ，则该直线的斜率的绝对值小于 等于渐近线的斜率 b ， b 3，即b3a即c2 a2 3a2c2 4a2即e 2故选 C.aa225. (04 全国)设双曲线 C： x2 y2 1(a 0)与直线l : x y 1相交于两个不同的点 A、B.求 a2双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 ：解析 由 C与l 相交于两个不同的点 ，故知方程组2x2 a2y21,有两个

24、不同的实数解.消去 y 并整理得x y 1.1 a2)x2+2 a2x2 a2 =0.所以21 a2 0.4 2 24a4 8a2(1 a2 ) 0.解得 0 a 2且 a 1.双曲线的离心率 ： e1 a20 a2且 a 1, e26 且e2所以双曲线的离心率取值范围是( 26 , 2) ( 2, )学习参考总结 ：在求解圆锥曲线离心率取值范围时 ，一定要认真分析题设条件 ，合理建立不等关系 ，把握好圆锥曲线 的相关性质 ，记住一些常见结论 、 不等关系 ，在做题时不断总结 ，择优解题 .尤其运用数形结合时要注意焦点 的位置等 .26设 F1，F2 分别是椭圆22a2 b2a b 0 ）的左

25、 、 右焦点 ， 若在其右准线上存在P, 使线段0，22B 0，33C 22，1D 33，12323PF1 的中垂线过点 F2 ，则椭圆离心率的取值范围是 （ D ）A2a+c2c= 2c?3c?27. （ 09 重庆卷文 ） 已知椭圆2x2a2y2 1（a b 0）的左、右焦点分别为 F1（ c,0）, F2（c,0） ，若椭 b圆上存在一点 P 使sin PF1F2csin PF2F1则该椭圆的离心率的取值范围为答案 】 2 1,1解法 1，因为在 PF1F2 中，由正弦定理得PF2PF1sin PF1F2 sin PF2F1ac则由已知 ，得，即 aPF1 cPF2P1F 2 P1F1设

26、点 (x0, y0 )由焦点半径公式 ，得 PF1 a ex0, PF2 a ex0则 a(a ex0) c(a ex0)记得 x0a(c a)a(e1)由椭圆的几何性质知x0a则 a(e 1)a ，整理得0e(c a)e(e1)0 e(e 1)e2 2e 1 0, 解 得 e 2 1或 e2 1，又 e (0,1) ， 故 椭 圆 的 离 心 率e ( 2 1,1)2228.xy10 四川理 ）椭圆 2 2 1（a b ） 的右焦点 F ，其右准线与 x 轴的交点为 abA，在椭圆上存1D) 12,1在点 P 满足线段 AP的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是（A） 0, 22（

27、B） 0,12（ C）2 1,1解析：由题意 ，椭圆上存在点 P，使得线段 AP的垂直平分线过点 F ，学习参考即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等a2b2而|FA| ac bccb2|PF|ac,ac ，于是a c,acc即 acc2b2ac c22 2 2ac cac2 2 2a cac c29 已知梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|1或 ca又 e(0,1) 故 e ,1122答案：D，点E满足 AEEC ，双曲线过 C、D、E三点，且以 A、B为焦23点 ，当时 ，双曲线离心率34 分析：显然，我们只要找到 e与 的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出 e的范围 。 解 ：如图 4，建立坐标系 ，这时 CDy 轴， 因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y轴对称 。C依题意 ，记 A(-C,0) ，C( ,h)，2e 的取值范围是 ：由 AE EC , 即 (x0+c,y 0)=1 其中c= | AB |为双曲线的半焦距 ，h是梯形的高 。2c( 2)c h(