向量代数与空间解析几何相关概念和例题

1、优质资料欢迎下载空间解析几何与向量代数向量及其运算目的： 理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .向量的表示方法有两种a 、 AB向量的模：向量的大小叫做向量的模 向量 a 、 AB 的模分别记为 |a|、 |AB| 单位向量： 模等于 1 的向量叫做单位向量零向量： 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 规定： 0

2、方向可以看作是任意的 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量) ： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向 量平行 记作 a / b 规定： 零向量与任何向量都平行二、向量运算 向量的加法 向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从 a 的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 c a+b .当向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b 的和 a b向量的减法设有两个向量 a 与

3、b 平移向量使 b 的起点与 a 的起点重合 此时连接两向量终点且指 向被减数的向量就是差向量。AB AO OB OB OA2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义 向量 a与实数 的乘积记作 a 规定 a是一个向量 它的模 | a| | |a| 它的方向当 0 时 与 a 相同 当 0 时与 a 相反(1) 结合律 ( a) ( a) ( )a；(2) 分配律 ( )a a a； (a b) a b例 1 在平行四边形 ABCD 中 设 AB a AD b优质资料欢迎下载试用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD 其中 M 是平行四边形对角线的交点解 ： a b AC 2

4、AM 于是 MA21 (a b)因为 MC MA 所以 MC 12 (a b)1又因 a b BD 2 MD 所以 MD 2 (b a)由于 MB MD 所以 MB 12 (a b)定理 1 设向量 a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a三、空间直角坐标系过空间一个点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点。 这三条数轴分别叫做 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、 z轴(竖轴)，统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定 一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中 x轴与 y轴所确定的平面叫做 xOy 面， y 轴与 z 轴所确定的平面叫做

5、 yOz 面， z 轴与 x 轴所确定的平面叫做 zOx 面。三个坐标面把 空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x 轴、y 轴、z 轴正半轴的那个卦限叫做第 I 卦限，其它第，卦限，在 xOy 坐标面的上方，按逆时针方向确定。第到第卦限 分别在第到第卦限的下方(如图) 。y设 P 为空间一点，过点 P 分别作垂直 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，顺次与 x 轴、 y 轴、 z 轴 交于 PX，PY，PZ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x，y，z称为点 P在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组(x，y，z)称为点 P 的坐标。依次称 x，y 和 z 为点 P 的横坐标

6、、纵坐标和竖坐标，并通常记为P( x，y， z)。坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征 例如 点 M 在 yOz 面上 则 x 0 同相 在 zOx 面上的点 y 0 在 xOy 面上的点 z 0 如果点 M 在 x 轴上 则 y z 0 同样在 y 轴上 ,有 z x 0 在 z 轴上 的点 有 x y 0 如果点 M 为原点 则 x y z 0.四、利用坐标作向量的线性运算 对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算 利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (ax ay az) 0 b (bx by bz) 向量 b/a b a即 b/ a (bx by

7、 bz) (ax ay az) 于是 x z ax ay az优质资料欢迎下载例 2 求解以向量为未知元的线性方程组5x 3 y a3x 2 y b 其中 a (2 1 2) b ( 1 1 2).解 如同解二元一次线性方程组 可得x 2a 3b y 3 a 5b 以 a、 b 的坐标表示式代入 即得x 2(2 1 2) 3( 1 1 2) (7 1 10)y 3(2 1 2) 5( 1 1 2) (11 2 16)例 3 已知两点 A(x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2) 以及实数1在直线 AB 上求一点 M 使 AM MB解 设所求点为 M (x y z) 则 AM (x x1,

8、y y1,z z1) MB (x2 x,y2 y,z2 z) 依题意有 AM MB 即(x x1 y y1 z z1) (x2 x y2 y z2 z)x x1 x2 y y1 y2 z z1 z2x 1 y 1 z 1点 M 叫做有向线段 AB 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段 AB 的中点 其坐标为 x x1 x2 y y1 y2 z z1 z2222空间向量数量积与向量积目的： 掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。 重点与难点： 数量积与向量积的计算方法。过程：一、两向量的数量积数量积的物理背景 : 设一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M1移动到点 M2

9、 以 s 表示位移 M1M 2 由物理学知道 力 F 所作的功为W |F| |s| cos其中 为 F 与 s 的夹角数量积 对于两个向量 a 和 b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积 记作 ab 即ab |a| |b| cos数量积与投影当 a 0 时 |b| cos(a b)是向量 b 在向量 a的方向上的投影 数量积的性质(1) aa |a| 2优质资料欢迎下载(2) a、b 为非零向量， ab 0是 a b 的充要条件 数量积的运算律(1)交换律 ab ba(2)分配律 (a b) c ac bc(3) ( a) b a( b) (ab

10、) 数量积的坐标表示设 a (ax ay az ) b (bx by bz ) 则 ab axbx ayby azbz设 是 a 与 b 的夹角，则当b 0 时 有 cosa baxbx ayby azbz|a|b|ax2 a2y az2 bx2 b2y bz2复习高中时的有代表性的例题例 1 一质点在力 F=4i + 2j +2k 的作用下 , 从点 A(2, 1, 0) 移动到点 B(5, 2, 6) ,求 F 所做的功及 F 与 AB 间的夹角 .解 由数量积的定义知 , F 所做的功是 W=F. s, 其中 s= AB=3i 3j+6k 是路程向量 故W=F .s=(4 i + 2j

11、+2k).( 3i 3j+6k )=18.如果力的单位是牛顿 (N), 位移的单位是米 (m), 则 F所做的功是 18焦耳(J). 再由式 (6.7), 有F s 18 1cos = = =F s42 22 22 32 ( 3)2 62 2因此 , F 与 s 的夹角为 = .3例2 求向量 a=(5, 2, 5) 在 b=(2, 1, 2) 上的投影 .解 Cos=a b=10 2 10 b 4 1 4二、两向量的向量积向量积 设向量 c、 a、b满足： c的模 |c| |a|b|sin 其中 为 a与 b间的夹角； c的方 向垂直于 a与 b所决定的平面 c的指向按右手规则从 a转向 b

12、来确定 则称向量 c是 a与 b 的向量积 记作 a b 即c a b向量积的运算律(1) 交换律 a b b a(2) 分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b) ( 为数 ) 向量积的坐标表示 若 a ax i ay j az k b bx i by j bz k 则优质资料 欢迎下载i j k a b ax ay az bx by bzay azby bzaxi bxazbzaxbxayby( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k例3设 a=(1,2, 2),b=( 2,1,0),求 a

13、 b 及与 a、b 都垂直的单位向量ik221212解a b = 122=i j+k102021210=2i +4j+5k .所求的单位向量为1(2i +4j +5k)=5(2i +4j +5k )22 (4)2 5215例 4 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1 2 3)、 B (3 4 5)、 C (2 4 7) 求三角形 ABC 的面积解 根据向量积的定义 可知三角形 ABC 的面积S ABC12|AB|AC|sin A 21|AB AC|由于 AB (2 2 2) AC (1 2 4) 因此AB AC 214i 6j 2kS ABC 21|4i 6j 2k| 21 42 ( 6

14、)2 2214例 5 设 a=(2, 3, 1),b=(0, 1, 1), c=(1, 1, 4), 三个向量是否共面 ?解 因为 r =a b 与 a、b 所确定的平面垂直 , 所以当 a、b、 c 三个向量共面时 , 应该有r c , 即 r .c=0.r =a b= 2 0jk3 1 =(4, 2, 2) ,11所以有r . c= (4 i +2 j +2k).( i j +4k)=4 2+8=10 0,优质资料欢迎下载因此三个向量不共面空间简单图形及其方程方程目的： 掌握直线、平面、常见曲面的方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系解决 有关问题。重点与难点： 直线、平面方程及其求法。

15、 过程：一、平面方程1、平面的点法式方程 已知平面上一点 M 0(x0 y0 z0)和它的一个法线向量 n (A B C) 则其方程为A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 例 1 求过点 (2 3 0) 且以 n (1 2 3) 为法线向量的平面的方程 解 得所求平面的方程为(x 2) 2(y 3) 3z 0 即 x 2y 3z 8 0例 2 已知空间两点 M1(1 2，-1)、M2(3 -1 2)，求过 M1点且与直线 M1 M 2垂直的平面方程 。 例3 求过三点 M1(2 1 4)、M2( 1 3 2)和M3(0 2 3)的平面的方程解：我们可以用 M1M 2 M 1M 3

16、作为平面的法线向量 n因为 M1M 2 ( 3,4, 6) M1M3 ( 2,3, 1) 所以n M1M 2 M1M3k6 14i 9 j k根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为14(x 2) 9(y 1) (z 4) 0即 14x 9y z 15 0 2、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 知，任一平面都可用 x y z 的一次方程 来表示。方程 Ax By Cz D 0 称为平面的一般方程 其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标 即 n (A B C)例如 方程 3x 4y z 9 0 表示一个平面 n (3 4

17、 1)是这平面的一个法线向量 例4 求通过 x轴和点(4 3 1)的平面的方程解 平面通过 x 轴 一方面表明它的法线向量垂直于 x 轴 即 A 0 另一方面表明 它必 通过原点 即 D 0 因此可设这平面的方程为By Cz 0又因为这平面通过点 (4 3 1) 所以有3B C 0将其代入所设方程并除以 B (B 0) 便得所求的平面方程为优质资料欢迎下载y 3z 0 二、两平面的位置关系 两平面的位置关系不外是相交、 垂直、 平行与重合， 利用两平面法向量位置关系就可判定c o s |c o sn(1, n2)|两平面 的法线 向量分别 为 n1(A1 B1 C1)和 n2(A2 B2 C2

18、) 由于|A1A2 B1B2 C1C2|A12 B12 C12 A22 B22 C22A1 B1 C1 则平面重合或平行A2 B2 C2是两平面夹角，则有A1 A2 B1B2 C1C2 0 充要条件为平面垂直例5 求两平面 xy2z60和2xy z50的夹角 解 n1 (A1 B1 C1) (1 1 2) n2 (A2 B2 C2) (2 1 1)cos|A1A2 B1B2 C1C2 |A12 B12 C12 A22 B22 C22所以 所求夹角为 33例6 一平面通过两点 M1(1 1 1)和M2(0 1 1)且垂直于平面 x yz0 求它的方程解 1由 M1到点 M2的向量为 n1 ( 1

19、 0 2) 平面 x y z 0 的法线向量为 n2 (1 1 1) 设所求平面的法线向量为 n (A B C)则有 n n1 即 A 2C 0 A 2C又因为所求平面垂直于平面 x y z 0 所以 n n1 即 A B C 0 B C所求平面为 2C(x 1) C(y 1) C(z 1) 0 即 2x y z 0解2 从点M1到点M2的向量为 n1(1 0 2) 平面xy z 0的法线向量为 n2 (1 1 1) 设所求平面的法线向量 n 可取为 n1 n2因为i j kn n1 n2 1 0 2 2i j k1 1 1所以所求平面方程为 2x y z 0三 直线的方程直线是两平面的交线，

20、即直线的一般式方程：A1x B1 y C1z D1 0A2x B2 y C2z D2 0直线上一点 M0(x0, y0, z0)和方向向量 s=m, n, p ，直线的对称式方程：x x0 y- y 0 z z0m n p例7 将直线 x y z |1 2 ( 1) 1 2 1| 1 2 ( 1)2 22 22 12 12 2 0 表为对称式2x y 3z 4 0解 取 x0=1，代入方程组得 y0=0、z0= -2，即点 (1,0,-2)在直线上。两平面的法向量分别为所求对称式方程为：优质资料欢迎下载ijn1=1,1,1 和 n2=2,-1,3 ，则 s= n1 n2= 1 1 211 =4

21、i j 3k，3x14y z 213设直线 l1和 l 2的方向向量为 a= x1, y1, z1 、b= x2, y2, z2，则x1x2 y1y2 z1z2cos =|cos(a, b)|=222222 。x1y1z1x2y2z2四 几个曲面方程例 8 方程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎样的曲面？解 通过配方 原方程可以改写成2 2 2 (x 1)2 (y 2)2 z2 5这是一个球面方程 球心在点 M0(1 2 0)、半径为 R 5一般地 设有三元二次方程 222Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0这个方程的特点是缺 xy yz zx 各项 而且平方项系数相同 只要将方程经过配方就可以化 成方程2 2 2 2(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2 的形式 它的图形就是一个球面例 9 方程 x2 y2 R2 表示怎样的曲面？解 方程 x2 y2 R2 在 xOy 面上表示圆心在原点 O 、半径为 R 的圆 在空间直角坐标系 中 这方程不含竖坐标 z 即不论空间点的竖坐标 z 怎样 只要它的横坐标 x 和纵坐标 y 能满 足这方程 那么这些点就在这曲面上 也就是说 过 xOy 面上的圆 x2 y2 R2 且平行于 z 轴 的直线一定在 x2 y2 R2 表示的