微裂纹的分形分布及损伤演化过程的分形机理考虑一弹性体包含NT条相互

1、微裂纹的分形分布及损伤演化过程的分形机理考虑一弹性体包含 NT条相互平行、半长为 c、宽为 W 的椭圆型 微裂纹，并承受边界应力 (见图 1)。假设由微裂纹之间相互作用而引起的弹性能可以忽略不计，这NT 个体积单元中的微裂纹是彼此独立的困。这样对应于损伤区发育 初期，由这 NT 条裂纹构成的裂纹群所引起的自由能变化为 :F = NTW ( -B2 2 + 4 )(1a)对应于每个裂纹单元的平均自由能为 : = W ( -B2 2 + 4 )(1b)式中 E，y杨氏模量，单位面积表面能 B2= /E作为二维问题， 对应于相互平行的椭圆型拉伸裂纹， 总损伤体积 可定义为： Vd = NTW总裂纹面

2、积： Ad =4NTW，表示裂纹 半长在 (c0，c1)范围内其概率分布的数学期望值。这里 c0 为最小的裂纹半长（假设为常量 ），cl为最大裂纹半长。以Ac表示单一裂纹面积，由方程 （1），取，可得到同一表达式：(2)这个方程只有当 c2与 c彼此互为函数关系时才有意义，因此无 般解。但对于常值 c0，微裂纹分布为分形分布时， （2）式能有解析解。 类似于 Griffith 应变能释放率， 定义分形微裂纹群的应变能释放率 （对应 NT 条裂纹群情况 ）(3)则动态破坏准则为了 G，Gc=2。这里 U 为整个系统的应变能，正比 于损伤体积。数学期望 表示每个裂纹单元内参量的平均值， 这样 当裂

3、纹趋于 1 时，G/就还原到单裂纹体的应变能释放率 G0 在裂纹群 损伤演化过程中， 微小裂纹对损伤断裂的影响应当受到重视， 特别是 在流体和固体相互作用的应力腐蚀环境中。假设在区域 （G0，Gc） 内应 力腐蚀将引起稳定的裂纹损伤演化。 G0 为应变能释放的最小值，它 对应于亚临界裂纹扩展的起始点。当 GG0 时裂纹发生愈合，因此 cQ 对应为给定外应力 下由于应力腐蚀而引起扩展的最小裂纹尺寸。 这种应力腐蚀现象的存在导致了一个稳定的自由能最小值， 因为在应力 低于动态破坏强度以下， 附加了在裂尖以应力腐蚀反应为形式的流体 和固体相互作用所对应的自由能的 （负）贡献。如果这种流固相互作用 仅

4、发生在裂纹表面上，那么这种效应可由物理化学释放率y，来反映（替代 y）。当裂纹扩展速率增加到动态扩展速率时，裂尖流体的扩散 速率就抑制住应力腐蚀。这时机械能支配裂纹扩展， y， _y。如没有应 2力腐蚀的影响， 则最大 (主)裂纹控制整个材料破坏。 Griffith 忽略了这 种现象，只考虑机械自由能， 也就忽略了大量更小的裂纹对材料损伤 破坏的贡献。然而实验室和现场资料 (特别是岩石材料 )都证实了这些 小裂纹的重要性， 尤其是在损伤初期。 图 2 给出了单一扩展裂纹从亚 临界到临界状态的转化示意图。图 2 单一扩展裂纹从压临界到临界状态的转化示意图类似于 Griffith 准则，方程 (2

5、)和 (3)允许在自由能不变的条件下， 材总的损伤面积仍可增加，对于常值NT，亚临界裂纹的扩展条件可改写为:(4)这样 G，同时反映了由于力学和化学的共同作用而产生的总裂纹面积 及损伤体积的变化程度。从方程 (4) 可以看到这样一个事实：机械能 贮存于体积中，但在裂纹扩展过程中而释放于表面上。由方程 (3)知， G，的确定得先已知裂纹长度分布的一阶和二阶矩，即 和 。大 量研究已发现材料损伤演化过程中微裂纹长度满足分形分布， 即裂纹 半长的概率分布为：P (c x)=( c / c0 )-D(5)当 D( 0，3)为裂纹分布的分维，根据方程( 5)，可计算出裂纹半长为 i 的矩阵（ iD）6a)当 i=D 时（6b）应当注意到，当 D1 时 和总损伤面积 Ad 主要由大量的小裂纹支 配。而 D1） ，而当 Dl 时，由于损伤演化导致宏观裂纹的应力集中，使得最大裂纹产生 新的裂纹面积， 引起非稳定态断裂。 当假定微裂纹分布是自相似分形 分布，则 D 为常数， NT 可以变化。这样由方程 （3）可以确定修正德Griffith 能量释放率：7）由方程（ 6）可知，当 D1，2时8）当 D=1 时当 D=2 时9）10)式中 x=c1/c0 。图 3 给出了由方