连续型密度函数连续型随机变量分布

1、 概率密度及其性质概率密度及其性质 指数分布指数分布 均匀分布均匀分布 正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布 2 连续型随机变量连续型随机变量 退 出前一页目 录 一、连续型随机变量的概念与性质一、连续型随机变量的概念与性质 1) 定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存，存 在非负函数在非负函数 f (x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有 则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数 f (x) 称为称为 X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度. ( )( ), x F xP Xxf t

2、dt 退 出前一页后一页目 录 -10-55 0.02 0.04 0.06 0.08 x f ( x) x0 F ( x0 ) 分布函数与密度函数几何意义分布函数与密度函数几何意义 ( )yf x n密度函数f ( x) :曲边梯形的高. n分布函数F ( x0 ):表示以区间(-, x0)为底边, 以f ( x) 为 高的曲边梯形的面积 0 0 ()( ), x F xf t dt 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：具有以下性质： . 0)(10 xf . 1)(2 0 dxxf f (x) 0 x 1 0 12 21 3 ()( ) P xXx F xF x

3、 f (x) x 0 1 x 2 x )( .)( 21 2 1 xxdxxf x x 退 出前一页后一页目 录 前两个条件是概率密度的充前两个条件是概率密度的充 分必要条件分必要条件 处连续，则有处连续，则有在点在点若若xxf)(4 0 0 ()( ) ( )lim x F xxF x f x x 即即 0 ) lim x P xXxx x ( )( ) x F xf t dt ).()(xfxF 退 出前一页后一页目 录 50 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数 在实数集上处处连续在实数集上处处连续 ( )F x 注注 意意 ，对对任任意意的的实实数数是是连连续续型型随随机机

4、变变量量，则则设设aX 0 aXP有有 退 出前一页后一页目 录 说说 明明 (1)由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所 关心的概率是指是它在某一区间上取值的概率关心的概率是指是它在某一区间上取值的概率 （而不是在某些点的概率）（而不是在某些点的概率） ，的的密密度度函函数数为为若若已已知知连连续续型型随随机机变变量量xfX 取取值值的的概概率率为为，也也可可以以是是无无穷穷区区间间）上上 间间；可可以以是是有有限限区区间间，闭闭区区间间，或或半半开开半半闭闭区区 也也可可以以是是可可以以是是开开区区间间（在在任任意意区区间间则则,GGX G d

5、xxfGXP 退 出前一页后一页目 录 (2) b a dxxfaFbF bXaPbXaP bXaPbXaP X )()()( :是连续型随机变量，则设(3) 即某区间是否包括端点以及包括多少个端点，对于一 个连续型随机变量连续型随机变量在该区间取值的概率没有影 响（为什么？对于离散型随机变量呢？） 例例 1 1 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其它其它0 2024 2 xxxc xf 解：解： 由密度函数的性质由密度函数的性质 ；常常数数求求：c 1 XP 1 dxxf 退 出前一页后一页目 录 dxxf1得得 2 0 2 24dxxxc 2 0 32

6、 3 2 2 xxc c 3 8 8 3 c所所以以， 1 XP G dxxfGXP 2 1 2 24 8 3 dxxx 2 1 32 3 2 2 8 3 xx 2 1 1 dxxf 退 出前一页后一页目 录 例例 2 的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量 X 其它其它0 212 10 xx xx xf 的的分分布布函函数数试试求求 X 解：解： x dttfxFx时，时，当当0 0 x dttfxFx时时，当当10 x dttfdttf 0 0 退 出前一页后一页目 录 x tdt 0 2 2 x x dttfxFx时时，当当21 x dttfdttfdttf 1 1 0 0 x d

7、tttdt 1 1 0 212 2 1 2 xx 退 出前一页后一页目 录 其其它它0 212 10 xx xx xf x dttfxFx时，时，当当2 x dttfdttfdttfdttf 2 2 1 1 0 0 2 1 1 0 2dtttdt 退 出前一页后一页目 录 其其它它0 212 10 xx xx xf 1 的分布函数的分布函数量量综上所述，可得随机变综上所述，可得随机变X x xx x x x x xF 21 2112 2 10 2 00 2 2 退 出前一页后一页目 录 例例 3 某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以（单位：小时）是以 100 100 1000

8、 2 x x x xf 为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元 件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率. 设设 A= 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 解：解： 150 XPAP则则 150 dxxf 150 100 2 100 dx x 3 1 例例 3（续）（续） 检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重 Bernoulli试

9、验试验 设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元 件数，件数， 32 2 5 3 2 3 1 C 243 80 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 ).3/1, 5( BY则则 故所求概率为故所求概率为 2 YP 退 出前一页后一页目 录 思考题：思考题：前面说过，连续型随机变量X的所有可能取 值是某个区间上的所有点，这意味着在某次试验中， X有可能在该区间上的某一点a取值，而我们又说过， 连续型随机变量在任意一个孤立点的取值概率为0。 如何解释这个“矛盾” ？ 答案： 概率为零事件不等于不可能事件 A是不可能事件 P(A)=

10、0 下面的例子可以说明这个问题 例例 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘 上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.则命中半径为则命中半径为 同心圆盘上的点同心圆盘上的点 的概率为：的概率为： 1 (02,) 4 xk这里 X ,0 2 xkxXP 退 出前一页后一页目 录 显然，当 时，意味着“命中靶心靶心” 这个事件的概率为，但在实际射击当中，这个事件的概率为，但在实际射击当中， “命中靶心靶心”这个事件是

11、有可能发生的这个事件是有可能发生的 此例子说明了： 概率为零事件不等于不可能事件 0 x x 二、一些二、一些常用常用的连续型随机变量的连续型随机变量 1) 均均 匀匀 分分 布布 若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 其其它它0 1 bxa ab xf 上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间则则称称随随机机变变量量baX 记作记作 X U a , b 退 出前一页后一页目 录 说说 明明 类似地，我们可以定义类似地，我们可以定义 ()上的均匀分布； ，区间ba 退 出前一页后一页目 录 ab区间 ，上的均匀分布； ab区间， 上的均匀分布 例例 4 上上的的均均匀匀分分布布

12、，服服从从区区间间设设随随机机变变量量31 Y 试试求求方方程程0)2(44 2 YxYx有有实实根根的的概概率率 解：解：的密度函数为的密度函数为随机变量随机变量Y 其它其它0 31 4 1 y yf 退 出前一页后一页目 录 有有实实根根方方程程设设：0)2(44 2 YxYxA 0)2(444 2 YYPAP则则 021 YYP 21 YYP或或 3 2 1 4 1 0dxdx 4 1 其它其它0 31 4 1 y yf 退 出前一页后一页目 录 2)2)指指 数数 分分 布布 如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 0其中为常数，则称随机变量服从参数为 的指数分布 退

13、出前一页后一页目 录 1 1 0 00 x ex fx x 例例 4 解：解：的的密密度度函函数数为为X 00 0 10 1 10 x xe xf x 退 出前一页后一页目 录 一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命X X（单位：小时）（单位：小时） 服从参数为服从参数为1010的指数分布，求其中一个的的指数分布，求其中一个的 使用寿命在使用寿命在1010到到2020小时的概率小时的概率。 例例 4（续）（续） 2010 XPBP则则 令：令：B= 使用为使用为1020小时小时 20 10 10 10 1 dxe x 20 10 10 x e 21 ee2325. 0 退 出前一页后一页

14、目 录 3)3)正正 态态 分分 布布 x f (x) 0 退 出前一页后一页 目 录 的密度函数为的密度函数为如果连续型随机变量如果连续型随机变量X xexf x 2 2 2 2 1 s s s sp p ，为参数为参数，其中其中0 s s 正态分布记作正态分布记作 的的，服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量 2 s s X 2 s s ，NX 取值的分散程度。的方差，刻画了是 所有可能取值的平均值的数学期望，表示是 含义：和密度函数中的参数 XX XX 2 2 )2( .) 1 ( s s 标准正态分布标准正态分布 为为标标准准正正态态分分布布，我我们们称称，若若1010N s s

15、 数数为为标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函 xex x 2 2 2 1 p p 退 出前一页后一页目 录 正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质 我我们们有有：由由高高等等数数学学中中的的知知识识， 数数对对于于正正态态分分布布的的密密度度函函 xexf x 2 2 2 2 1 s s s sp p 对称，曲线关于直线x x0 s f (x) s 退 出前一页后一页目 录 正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续） sp 2 1 f xfx取到最大值时，当 0 x f (x) ss 退 出前一页后一页目 录 轴为渐近线轴为渐近线以以曲线曲线 处有拐点

16、；处有拐点；在在曲线曲线 Oxxfy xxfy s s 确确定定 所所图图形形的的位位置置完完全全由由参参数数因因此此 其其形形状状轴轴平平行行移移动动，但但不不改改变变图图形形沿沿 的的的的值值，则则固固定定，而而改改变变若若 s s xfy x xf 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出前一页后一页目 录 x f (x) 0 hh s sp p2 1 位置参数 1 2 f x f yf xX yf x X s ps s s 若固定，而改变的值，由于的最大值为 可知，当越小时，图形越陡，因而的取值 就越集中在的附近；反之，当 越大时，的图 形越平坦，这表明 的取值越分

17、散 x f (x) 0 第二章 随机变量及其分布 退 出前一页后一页 目 录 s 形状参数 正态分布的重要性正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明情形加以说明： 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随

18、机指标一定服从或近似服从正态分布该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的多分布所不具备的 (3)正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布 退 出前一页后一页目 录 为为标标准准正正态态分分布布，我我们们称称，若若1010N s s 数数为为标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函 xex x 2 2 2 1 p p 4连续型随机变量的概率密度 二：正态分布的计算二：正态分布的计算 退 出前一页后一页目 录 -1 0 1 p p2 1 （1）标准正态分布的计算：）标准正

19、态分布的计算： 对应的标准正态分布分布函数为：对应的标准正态分布分布函数为： 22 22 11 22 ,( ). xxtt xedtedtx x p pp p 一一般般教教科科书书上上都都附附有有标标准准正正态态分分布布的的函函数数值值表表 由由此此可可得得值值 -4-3-2-101234 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xx ()( )1 1 1 1 xPXx PXx PXx x x0 )(x x-x 退 出前一页后一页目 录 将 求出来。 （为什么？） xXPxx 我们可直接查表求出我们可直接查表求出对于对于0 ，我们可由公式，我们可由公式如

20、果如果0 x )(x xx ()( )1 标准正态分布的计算（续）标准正态分布的计算（续） 例例 5 5 ； ，试求：，试求：，设随机变量设随机变量 2121 10 XPXP NX 解：解： 21 XP 841340977250. 135910. 21 XP 112 8413401977250. 818590. 12 12 退 出前一页后一页目 录 三、一般正态分布的计算三、一般正态分布的计算 ),(10 2 N X YNX ，则，定理：设 y X PyYPyF Y s s yt dte s s s s s sp p 2 2 2 2 1 ，代代入入上上式式，得得，则则作作变变换换 s ss s dt du t u yu Y dueyF 2 2 2 1 p p y yXPs s ),(10NY 退 出前一页后一页目 录 证明： 证明思路：只需要证明 Y 的分布函数 FY(y) 或密度函数fY(y) 恰好等于标准正 态分布的分布函数 密度函数 。 ( ) y( )y (2), a-X-b- aXb b- ()(). ab PP a sss ss 对任意的有 退 出前一页后一页目 录 (1) Xx P XxP ss )( s s x 注： :，则，若 2 NX ；