人教版数学九年级上册课件 24.2点和圆、直线和圆的位置关系（第4课时）

1、第二十四章 圆 24.2点和圆、直线和 圆的位置关系 第4课时 学习目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点） 导入新课导入新课 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 讲授新课讲授新课 互动探究 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 切线长定理及应用 P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点 之间的线段的长叫作这 点到圆的切线长

2、A O 切线是直线，不能度量. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量 2.切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 问题2 PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设 圆上与点A重合的点为B OB是O的一条半径吗？ PB是O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ APO和BPO有何关系？ O. P A B P O 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条 切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 切线的夹角. PA、PB分别切O于A、B PA = PB OPA=OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 知识要点

3、 O. P 已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，APO=BPO. 证明：PA切O于点A， OAPA. 同理可得OBPB. OA=OB，OP=OP， RtOAPRtOBP， PA=PB，APO=BPO. 推理验证 A B 想一想：若连结两切点A、B，AB交 OP于点M.你又能得出什么新的结论? 并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：PA，PB是 O的切线,点A，B是切点 PA = PB ，OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB. O. P A B M 想一想：若延长PO交 O于点C， 连结CA、CB，你又能得出什么 新的结论?

4、并给出证明. 证明：PA，PB是 O的切线,点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB. PC=PC. PCA PCB， AC=BC. CA=CB O. P A B C 典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与 O分别相切与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. AB C D O 证明：AB、BC、CD、DA与 O 分别相切与点E、F、G、H， E F G H AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. AB+CD=AD+BC. 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：

5、将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相 切且测得PA=5cm，求铁环的半径 解析：欲求半径OP，取圆的圆 心为O，连OA，OP，由切线性 质知OPA为直角三角形，从 而在RtOPA中由勾股定理易求 得半径 O 在RtOPA中，PA5，POA30， O Q 解：过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O， 连接OP、OA. AP、AQ为 O的切线，AO为PAQ 的平分线，即PAOQAO. 又BAC60，PAOQAOBAC180， PAOQAO60. =5 3cm.OP 即铁环的半径为 5 3cm. P PA、

6、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若BPA=60 ,则OP= . 5 6 练一练 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的 三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 互动探究 三角形的内切圆及作法 问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎 样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角 形三边都相切 三角形角平分线的这个性质， 你还记得吗？ 问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆 心I应满足什么条件？ (2) 在ABC的内部，如何找到满

7、足条件的圆心I呢？ 三角形三条角平分线交 于一点，这一点与三角 形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三 条角平分线的交点. 为什么呢？ 圆心I到三角形三边的距 离相等，都等于r. 已知：ABC. 求作：和ABC的各边都相切的圆. A B C O M N D 作法： 1.作B和C的平分线BM和 CN，交点为O. 2.过点O作ODBC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O. O就是所求的圆. 做一做 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I I是ABC的内切圆，点 I是ABC的内

8、心，ABC是 I的外切三角形. 知识要点 B A C I 问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA， OB ,OC有什么特点？ 互动探究 线段OA，OB ,OC 分别是A，B， C的平分线. 三角形的内心的性质 B A C I 问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂 足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什 么关系？ E F G IE=IF=IG 知识要点 u三角形内心的性质三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是ABC的角 平分线，IE=IF=IG. 例3 如图，A

9、BC中， B=43，C=61 ，点I是 ABC的内心，求 BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I 点I是ABC的内心， IB，IC分别是 B，C的平分线， 在IBC中， 180()BICIBCICB 1 180() 2 BC 1 180(4361 ) 2 128 . 例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形 的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的 内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆 柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为几何如下几何图形. C A B rO D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. 圆O是ABC

10、的内切圆, AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形, OAB=OBA=30o ODAB，AB=3cm， AD=BD= AB=1.5(cm) 1 2 OD=AD tan30o= (cm) 3 2 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 3 2 例5 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求 AF、BD、CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等 的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).

11、由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. A C E D F O 比一比 名称确定方法图形性质 外心：三 角形外接 圆的圆心 内心：三 角形内切 圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相 等； 2.OA、OB、OC分 别平分BAC、 ABC、ACB 3.内心在三角形内 部 A B O A B C O 1.求边长为6 cm的

12、等边三角形的内切圆半径与外 接圆半径. 解：如图，由题意可知BC=6cm, ABC=60，ODBC， OB平分ABC. OBD=30，BD=3cm, OBD为直角三角形. tan303cm.ODBD 2 3cm. cos30 BD BD 内切圆半径 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径 R的比. sinOBD sin30 r R OD OB . 1 2 A B O D E F A B C D E F O 2.设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 111 222 SAB OFAC OEBC OD 1

13、1 (). 22 ABACBC rLr A B C O c D E r 3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、 b、c的代数式表示r）. 2 abc r 解析：过点O分别作AC，BC， AB的垂线，垂足分别为D，E，F. F 则AD=AC-DC=b-r, BF=BC-CE=a-r, 因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c, 所以a-r+b-r=c, 所以 . 2 abc r 2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,则BOC= . 1.如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B， 如果AP=4, AP

14、B= 40 ,则APO= ,PB= . P 第1题 第2题 当堂练习当堂练习 20 4 110 （3）若BIC=100 ，则A = 度. （2）若A=80 ，则BIC = 度.130 20 3.如图，在ABC中，点I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_. A B C I （4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数 量关系？ 120 1 90. 2 BICA 4.如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点， 以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D. 求证：DEOC. 证明：连接OD， AC切O点D，ODAC， ODC=B=90. 在RtOCD和RtOCB中， ODOB ，OCOC RtODCRtOBC（HL）， DOC=BOC. OD=OE，ODE=OED， DOB=ODE+OED， BOC=OED， DEOC 方法二： 证明：连接BD， AC切O于点D，AC切O于点B， DC=BC，OC平分DCB. OCBD. BE为O的直径，DEBD. DEOC 5.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和 ABC的外接圆相交于点D. 求证：DIDB. 证明：连接BI. I是