第五章刚体的转动 (2)

1、 （课后练习）（课后练习）一条质量为一条质量为 M 长为长为 L 的均匀链条，放在的均匀链条，放在 一光滑的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推一光滑的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推 出桌子的边缘在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开出桌子的边缘在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开 桌面时的桌面时的速度速度. 铁链自由下落铁链自由下落.swf 应用应用：计算计算1010米米高台跳水游泳池的深度高台跳水游泳池的深度 2 Fc Av 阻 233 (0.25,0.08,1.0 10)cAmkg m F x 研究对象：整条链条研究对象：整条链条 建立坐标：如图建立坐标：如图 受力分

2、析：受力分析： F () M x g L 运动方程：运动方程： dt dv Mxg L M 解：解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、）链条在运动过程中，各部分的速度、 加速度都相同。加速度都相同。 dt dv x L g o X ML （课后练习）（课后练习）一条质量为一条质量为 M 长为长为 L 的均匀链条，放在的均匀链条，放在 一光滑的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推一光滑的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推 出桌子的边缘在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开出桌子的边缘在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开 桌面时的桌面时的速度速度. 动画动画 dt dx dx

3、dv x L g dx dv vx L g vL vdvxdx L g 00 2 2 2 1 2 v L L g gLv dt dv x L g 应用应用：计算计算1010米米高台跳水游泳池的深度高台跳水游泳池的深度 smghV/0 .142 0 解：落到水面速度解：落到水面速度 水中水中maAVcF 2 合 V dx dV mAVc 2 V dV Ac m dx V V x 0 0 V V Ac m x 0 ln （取m=50kg，v=2m/s,得x=4.9m。 第五章第五章 刚体的转动刚体的转动 1. 刚体：刚体：在外力作用下，形状和大小都不在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体（任

4、意两质点间距离保持发生变化的物体（任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组）不变的特殊质点组） 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的 说明：说明： 一、基本概念一、基本概念 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：若刚体中若刚体中 所有点的运动轨迹都所有点的运动轨迹都 保持完全相同保持完全相同 特点：特点：各点运动各点运动 状态一样，如：状态一样，如： 等都相同等都相同 a 、 v 2.刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动 定轴转动定轴转动 转动转动：刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动 非定轴转动

5、非定轴转动 二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 )()(ttt角位移角位移 )(t 角坐标角坐标 沿沿顺顺向转动向转动 沿沿逆逆向转动向转动 约定约定 tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 z 参考平面参考平面 )(t x 参考轴参考轴 刚体刚体定轴定轴转动转动 ( (一维转动一维转动) )的的转动转动 方向方向可以用可以用角速度角速度 的正、负的正、负来表示来表示. . 00 zz 角加速度角加速度 角量与线量的关系角量与线量的关系 t rre v t e v 2 n t ra ra t a n a n 2 t erera tt 2 2

6、d d d d a r ( (1) ) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；平面； ( (2) ) 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同； , a , v 定轴转动的定轴转动的特点特点 ( (3) ) 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 当刚体绕定轴转动的当刚体绕定轴转动的=常量时

7、，刚体常量时，刚体 做做匀变速转动匀变速转动 , oo i r i i F A 在在A点取质量元点取质量元 i m 的运动遵循牛顿第二定律的运动遵循牛顿第二定律 ( ) iii Fm a i m ( ) () tii iiin ma ta n 同时叉乘方程两边同时叉乘方程两边 i r () ()() iiiitiiinii r Fma r ta r n 2 () iiii r Fmr 0 二、刚体的定轴转动定律二、刚体的定轴转动定律 方程两边同时求和方程两边同时求和 M 合合外外力力矩矩 :J MJ 合合外外力力矩矩 2 () iiii rFmr 转动惯量转动惯量 0M 合合外外 第一转动定律

8、：第一转动定律： 0 i F 类比有类比有: 时时 绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。持原有的运动状态不变。 0va 恒恒量量由牛顿第一定律：由牛顿第一定律： 0 恒恒量量 刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所 获得的角加速度的乘积。获得的角加速度的乘积。 d MJJ dt 第二转动定律：第二转动定律： Fma 牛顿第二定律：牛顿第二定律： 类比有类比有: 三、转动惯量三、转动

9、惯量 J 质点质点 质点系质点系 刚体刚体 转动惯量与（转动惯量与（a）刚体的质量）刚体的质量m有关；有关； （b）与）与m的分布有关；的分布有关； （c）与转轴的位置有关）与转轴的位置有关 常见均匀刚常见均匀刚 体的转动惯量体的转动惯量 见书见书P P261 2 Jmr 2 1 n i i Jm r 2 Jr dm 刚体刚体惯性描述量惯性描述量 几种常见刚体的转动惯量：几种常见刚体的转动惯量： L m 细棒细棒 2 3 1 mLJ 细棒细棒 2 12 1 mLJ 薄圆环薄圆环 或薄圆筒或薄圆筒 2 mRJ 圆盘或圆盘或 圆柱体圆柱体 薄球壳薄球壳 2 2 1 mRJ Rm 2 3 2 mRJ

10、 球体球体 2 5 2 mRJ m L R m Rm R m * 平行轴定理平行轴定理 以以 m 表示刚体的质量，表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心表示它通过其质心 c 的轴的轴 的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚则此刚 体对于后一轴的转动惯量为：体对于后一轴的转动惯量为： 2 mdJJ c m L 2 12 1 mLJc L m *垂直轴定理垂直轴定理 例：例： 22 ) 2 () 12 1 ( L mmLJ 2 3 1 mL x y z yxz JJJ c 质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的J P 22

11、2 1 mRmRJ P 圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量 RmO 22 3 1 ) 2 (mL L mJJ c 2 mdJJ c 2 12 1 mLJ c d=L/2 O1O1 O2 O2 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 如图所示的大圆盘，质量为如图所示的大圆盘，质量为M，半径为，半径为R，对于，对于 过圆心过圆心o o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 。如如 果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径，半径 为为

12、，且，且 。已知挖去的小圆盘相对于过。已知挖去的小圆盘相对于过o点且垂直点且垂直 于盘面的转轴的转动惯量为于盘面的转轴的转动惯量为 ，则挖去小圆盘后剩余，则挖去小圆盘后剩余 部分对于过部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？ r2rR 答案： 2 1 (43) 2 JMm r 2 3 2 mr 2 1 2 MR o R r 填补法求转动惯量填补法求转动惯量 四、四、 转动定律的应用转动定律的应用 ( )( )( )tttM J 用求导的方法用求导的方法 积分加初始条件积分加初始条件 d MJJ dt ( )( )( )Mttt 刚体定轴转动的两类

13、问题：刚体定轴转动的两类问题： ( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同 maF JM ( (1) ) , 与与 方向相同方向相同 JM M 说明说明 例例1. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m1 和和 m2 的物体的物体， ，m1 m2 ，滑轮的 滑轮的 质量为质量为 m ，半径为，半径为 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩为力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。试求：物体的加

14、速度和绳的张力。 已知：已知： m1，m2 ，m， R ，Mr 求：求： 21 ,T T a . 1 m 2 m m R 动画动画 解解: 研究对象研究对象 m1 ，m2 ，m 建立坐标，受力分析建立坐标，受力分析 如图如图 y gm1 1 T gm2 2 T m 1 T 2 T 0 . 1 m 2 m m R r M 对各隔离体写出运动方程：对各隔离体写出运动方程： 对对m1 ： 1111 Tm gm a 对对m2：2222 m gTm a 对对m： 2 1 122 1122 , , , aaRJmR TTTT 21r T RT RMJ 1 a 2 a 又：又： 21 12 () 1 2 r

15、 M mm g R a mmm 联立求得：联立求得： 12 1 12 1 (2) 2 1 2 r M mmm g R T mmm 21 2 12 1 (2) 2 1 2 r M mmm g R T mmm 注意：注意：当不计滑轮的质量当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时：及摩擦阻力时： 0, 0 r mM g mm mm a 21 12 )( g mm mm TT 21 21 21 2 这便是中学所熟知的结果这便是中学所熟知的结果 问：如何求角加速度？问：如何求角加速度？ 根据根据 可求得可求得 t aR 例例2 2（01580158）电风扇在开启电源后，经过电风扇在开启电源后，经过 时间达到了额定

16、转速，此时相应时间达到了额定转速，此时相应 的角速度为的角速度为 。当关闭电源后，经。当关闭电源后，经 过过 时间风扇停转。已知风扇转子时间风扇停转。已知风扇转子 的转动惯量为的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩，并假定摩擦阻力矩 和电机的电磁力矩均为常量，试根据和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。已知量推算电机的电磁力矩。 1 t 0 2 t 在在 内内 解： 关闭电源后，关闭电源后， 经过经过 时间时间 ) 11 ( 21 0 tt JM 电磁 结果：结果： 1 0 t 1 MMJ 电磁电磁摩擦摩擦 2 t 2 MJ 摩摩擦擦 01 1 0t 02 2 0t 例例3 3

17、（50315031）转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J， 在在 时角速度为时角速度为 。此后飞轮经。此后飞轮经 历制动过程。阻力矩的大小与角速度历制动过程。阻力矩的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为 （ 为为 大于零的常数）。当大于零的常数）。当 时，时， 飞轮的角加速度飞轮的角加速度 。从开始制。从开始制 动到动到 所经历的时间所经历的时间 0t 0 k k 1 03 ? 1 03 ?t 解：（1）当）当 时，飞轮的角加速时，飞轮的角加速 度度 1 03 ? 2 Mk 阻阻力力 J 1 03 ， ， 2 0 9 k J 时时 设开始制动的时刻为设开

18、始制动的时刻为 （2）从开始制动到）从开始制动到 所经历的时间所经历的时间 1 03 2 Mk 阻阻力力 J d J dt 2 d kdtJ 0t 0 0 1 3 2 0 t d kdtJ 0 2J t k （课后练习）（课后练习）一长为一长为 l 、质量为质量为 m 匀质细杆竖直匀质细杆竖直 放置，其下端与一固定铰链放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转相接，并可绕其转 动由于此竖直放置的细杆处于非动由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，稳定平衡状态， 当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静 止开始绕铰链止开始绕铰链 O 转动试计算细杆转动

19、到与竖转动试计算细杆转动到与竖 直线成直线成 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度 m,l O mg 解解 细杆受重细杆受重 力和铰链对细杆的力和铰链对细杆的 约束力约束力 作用，由作用，由 转动定律得转动定律得 N F Jmglsin 2 1 式中式中 2 3 1 mlJ 得得sin 2 3 l g m,l O mg N F ttd d d d d d 由角加速度的定义由角加速度的定义 dsin 2 3 d l g 代入初始条件积分得代入初始条件积分得)cos1 ( 3 l g d d m,l O mg N F 作业：P286 287 5.2 5.9 5.12 自学书中例题自学书中例

20、题P262266例例5.5 例例5.6 例例5.7 课后复习：课后复习：P251 266 创新班作业：P286 287 5.2 5.9 5.12 5.13 （课后练习）（课后练习）有一半径为有一半径为R的圆形平板平放的圆形平板平放 在水平桌面上，平板与水平桌面的在水平桌面上，平板与水平桌面的 摩擦系数为摩擦系数为 ，若平板绕通过其中，若平板绕通过其中 心且垂直板面的固定轴以角速度心且垂直板面的固定轴以角速度 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 0 当刚体在力矩当刚体在力矩 作用下从作用下从 转到转到 时，力矩所做的功为：时，力矩所做的功为： 2 1 AMd 六、六

21、、刚体转动的功和能刚体转动的功和能 1力矩做功力矩做功 r F o ds dr d M 合外力合外力 对对 刚体所作的元功：刚体所作的元功： F cosdAF drFds sin)(rdF（ 与与 互余）互余） sinFrM 合合 外外 力力 矩矩 而而 dAM d 1 2 2. 刚体转动动能刚体转动动能 考虑刚体上第考虑刚体上第 i 个质元，质量为个质元，质量为 的动能的动能 i m 整个刚体的动能为整个刚体的动能为 1 m i m 2 2 1 iiki vmE kik EE 22 2 1 ii Rm 22 1 2 ii m R i m ii vR 速度为速度为 J 2 1 2 k EJ 刚

22、体的转动动能刚体的转动动能 2 1 2 k Emv 3.定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 由质点系：由质点系： 类比：类比： kab Emvmv 22 2 1 2 1 0 AM d 合合外外力力矩矩 22 0 11 22 k JJE 合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚等于刚 体转动动能的增量。体转动动能的增量。 A内力矩 内力矩？ ？ b a AAF dr 外外力力 力 力内内 4. 刚体的势能刚体的势能 一个不太大的刚体的重力势能一个不太大的刚体的重力势能 = = 它的全部质它的全部质 量集中在质心时所具有的势能量集中在质心时所具有的势能 刚体重

23、力势能刚体重力势能 ：刚体：刚体质心质心与重力势能零点（地面）与重力势能零点（地面） 的的 高度差高度差 c h Pc Emgh 重重 注意注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚 体系统，同时也适应于（体系统，同时也适应于（质点质点+ +刚体刚体）的混）的混 合系统。但计算动能时合系统。但计算动能时必须注意必须注意 2 1 2 k EJ 刚体动能刚体动能 5.刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 21 11 nn ii AAEE 外外非非 内内 6. 刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律 21 11 nn ii EE 常常量量 0AA 外外非

24、非 内内 若：若： 则：则： c mgh 常数常数 2 2 1 J 若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能 守恒。守恒。 例例4. 一质量为一质量为 m 长为长为 L 的均匀细棒的均匀细棒 OA 可绕通过其一端的光滑轴可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，今使棒从水平位置开始自面内转动，今使棒从水平位置开始自 由下摆，求细棒摆到竖直位置时由下摆，求细棒摆到竖直位置时 （1）质心）质心 C 和端点和端点 A 的线速度的线速度 （2）质心）质心 C 的线加速度的线加速度 解法一（解法一（1）研究对象：细棒研究对象：细棒 受力分析：受力分析

25、：mg （ 不考虑）不考虑） N 力矩力矩sin 2 L rFmg C mg O A 零势面零势面 C A r cos 2 mg L 动能定理：动能定理： 0 AM d 合合外外力力矩矩 )( 2 1 2 0 2 J 2 0 cos 2 L mgd 2 2 1 2 Jmg L = 0 2 ) 3 1 (mL mgL J mgL L g3 cc Rv 方向：向左方向：向左 O A C mg 零势面零势面 C A AA Rv c a tc aR 0 因竖直位置因竖直位置M=0 =0 g L L g Ra cn 2 3 2 3 2 （2） sincos 22 LL rFmgmg gL L 3 2 1

26、 2 gLL3 解法二解法二 用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功） mgL 2 2 1 J) 3 1 ( 2 mLJ 3mgLg JL 解法三解法三 用运动方程用运动方程 （转动定律）求解：（转动定律）求解： MJ 2 1 sin 23 L mgmL 研究对象：细棒研究对象：细棒 受力分析：受力分析：mg （不考虑（不考虑N） 运动方程：运动方程： 3 cos 2 g L cos 2 3 L g dt d 3 cos 2 dd dd g Lt O A C gm 零势面零势面 C A 2 00 cos 2 3 d L g d L g 2 3 2 1 2 Lg3

27、 2 L mg LJ 七、定轴转动的角动量定理七、定轴转动的角动量定理 1冲量矩冲量矩 2刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 3刚体刚体系系定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 2 1 t t Mdt Pmv （） 2 1 2121 11 nn t ii t M dtLLJJ 外外 MdtdL 微分形式微分形式 积分形式积分形式 dL M dt 4刚体系刚体系角动量守恒定律角动量守恒定律 0M 合合外外力力矩矩 若若 21 LLL ，恒恒矢矢量量 21 JJJ ，恒恒量量 计算角动量时计算角动量时注意注意： 质点质点角动量角动量 Lrmv 刚体刚体角动量角动量 LJ 有刚体时有刚体时

28、切忌切忌用用动量动量守恒，守恒，只能只能用用角动量角动量守恒守恒 注意：刚体注意：刚体系系定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律适应于纯质和角动量守恒定律适应于纯质 点系统也适应于纯刚体系统同点系统也适应于纯刚体系统同 时也适应于（时也适应于（质点质点+ +刚体刚体）的）的 混合系统。混合系统。 例例5（0232）空心圆环可绕光滑的竖直空心圆环可绕光滑的竖直 固定轴固定轴AC自由转动，转动惯量为自由转动，转动惯量为J0， 环的半径为环的半径为R，初始时环的角速度，初始时环的角速度 为为 0。质量为。质量为m的小球静止在环内的小球静止在环内 最高处最高处A点，由于某种微小干扰

29、，小点，由于某种微小干扰，小 球沿环向下滑动，问小球滑到与环球沿环向下滑动，问小球滑到与环 心心O在同一高度的在同一高度的B点和环的最低处点和环的最低处 的的C点时，环的角速度及小球相对与点时，环的角速度及小球相对与 环的速度各为多少？环的速度各为多少？ （设环的内壁和小球都是光滑的，小球可（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可 视为质点，环截面半径视为质点，环截面半径 ） 小球受力：小球受力： 环受力：环受力：重力、与轴、与小球 重力、与轴、与小球 之间作用力之间作用力 对所有力的力矩分析可知：对所有力的力矩分析可知： 两物体所受力两物体所受力关于关于 轴轴 的力矩的力矩均等于均等于零零。 o

30、o rR o o A mg B C o R N mgN 所以，所以，在在 轴方向轴方向角动量守恒角动量守恒 由于它们在运动过程由于它们在运动过程 中，中，在在 轴向轴向所受合所受合 外力矩为零，外力矩为零， 选小球和环为系统，选小球和环为系统， oo oo o o A mg B C o R N 对对A、B点有点有: 2 000 ()JJmR 选（小球选（小球+环环+地球）地球） 为系统，为系统， 则系统机械则系统机械 能守恒。能守恒。 取过环心的水取过环心的水 平面为势能零点。平面为势能零点。 o A mg B C o R mg N 22222 000 111 () 222 B JmgRJmR

31、V 22 00 2 0 2 B JR VgR JmR 对于对于A、C点有点有 000 JJ 222 000 111 (2 ) 222 C JmgRJmV 4 C VgR 例例6（0786）一质量均匀分布的圆盘，质一质量均匀分布的圆盘，质 量为量为M，半径为，半径为R，放在一粗糙水平，放在一粗糙水平 面上，圆盘可绕通过其中心面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直的竖直 固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度V0垂直垂直 于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边 上，求（上，求（1）子弹击中圆盘后，

32、盘所）子弹击中圆盘后，盘所 获得的角速度获得的角速度 （2）经过多少时间后，圆盘）经过多少时间后，圆盘 停止转动停止转动（忽略子弹重力造（忽略子弹重力造 成的摩擦阻力矩）成的摩擦阻力矩） （1） 解：解： 子弹击中圆盘后，圆盘子弹击中圆盘后，圆盘 所获得的角速度所获得的角速度 R 0 v m 子弹和圆盘在碰撞前子弹和圆盘在碰撞前后后角动量守恒角动量守恒 22 0 1 () 2 mv RMRmR 0 1 2 () mv Mm R 2 3 d MmgRJ dt 摩摩擦擦 （2）经过多少时间后，圆盘停止转动）经过多少时间后，圆盘停止转动 解一：解一：根据定轴转动定律根据定轴转动定律 MJ d J d

33、t 0 0 0 2 3 t mgRdtJd 解二：解二：对（圆盘 对（圆盘+ +子弹）应用角动量定理子弹）应用角动量定理 2 1 0 t t M dtJ 摩摩 22 1 () 2 MRmR 0 f MtJ 0 mv R 0 3 2 mv t Mg 例例7 7（0141）一匀质细棒长为一匀质细棒长为2L，质量，质量 为为m。以与棒长方向相垂直。以与棒长方向相垂直 的速度的速度 V0在光滑水平面内平动时与前方一在光滑水平面内平动时与前方一 固定的光滑支点固定的光滑支点O发生完全非弹性发生完全非弹性 碰撞。碰撞点位于棒碰撞。碰撞点位于棒 中心的一方中心的一方L/2处，处， 如图所示。如图所示。 求棒

34、在碰撞后的瞬时绕求棒在碰撞后的瞬时绕 O点转动时的角速度点转动时的角速度 B A 0 V o L 2 L 2 L L 2 L 2 L o A B 0 V 解：解： 碰撞前后碰撞前后角动量角动量守恒守恒 。 计算碰撞计算碰撞前前瞬时，杆瞬时，杆 对点对点o的角动量大小的角动量大小 棒上所有点棒上所有点角速度不同角速度不同 但有相等的但有相等的平动平动速度。速度。 在棒上任意处取质量在棒上任意处取质量 元元dm r dr drdm 总长度 总质量 特点：特点： dm 质量元质量元 相对相对o点的点的角动量角动量大小大小 dm sin)( 0 dmVrdL dmrV0dr L m rV 2 0 3

35、22 00 00 LL LV rdrV rdr 前前 2 00 1 2 V LmV L L 2 L 2 L o A B 0 V r dr dm 棒上所有点棒上所有点平动平动速度速度不不 同同，但有相等的，但有相等的角速度角速度。 22 1 3311 ()() 3 4242 LJmLmL 后后 计算碰撞计算碰撞后后瞬时，杆对瞬时，杆对 点的角动量大小点的角动量大小 结论：结论： L V 7 6 0 特点：特点： L 2 L 2 L o A B 0 V r dr dm 课后看书中相关例题：例课后看书中相关例题：例5.8、例、例5.9、 例例5.10 例例5.11、例、例5.12、例、例5.14 刚

36、体定轴转动与质点一维运动的对比刚体定轴转动与质点一维运动的对比 位移位移x 角位移角位移 速度速度 dx dt v 角速度角速度 d dt 加速度加速度 2 2 dt xd dt dv a 角加速度角加速度 2 2 dd dtdt 质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动 质量质量m转动惯量转动惯量dmrJ 2 力力 F 力矩力矩MrF 运动定律运动定律Fma 转动定律转动定律 MJ 角动量角动量 Lrp 角动量角动量 JLi 动量定理动量定理 2 1 21 t t Fdtmvmv 角动量定理角动量定理 2 1 21 t t MdtJJ 动量守恒定律动量守恒定律0 i F 恒量恒量 iiv m 角动量守恒定律角动量守恒定律0M ， 恒量恒量 J 动量动量pmv 动量动量 质心质心 vmp 质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动 力的功力的功 AFdr 力矩的功力矩的功 AM d 动能动能 2 2 1 mvEk 转动动能转动动能 2 2 1 JEk 动能定理动能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 mvmvA 外外2 1 2 2 2 1