电路分析基础第七章

1、第二篇第二篇 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 第五章第五章 电容元件与电感元件电容元件与电感元件 第六章第六章 一阶电路一阶电路 第七章第七章 二阶电路二阶电路 包含一个电容和一个电感、或两个电容、或两包含一个电容和一个电感、或两个电容、或两 个电感的动态电路称为二阶电路。个电感的动态电路称为二阶电路。 二阶电路一般用一个二阶微分方程或两个联立二阶电路一般用一个二阶微分方程或两个联立 的一阶微分方程来描述。的一阶微分方程来描述。 二阶电路中可包含任意数目的电阻、独立源和二阶电路中可包含任意数目的电阻、独立源和 受控源。受控源。 二阶电路仍然可运用分解方法进行分析。二阶电路仍然可运用分解方

2、法进行分析。 本章只分析含电感和电容的二阶电路。本章只分析含电感和电容的二阶电路。 第七章第七章 二阶电路二阶电路 7.1 LC7.1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 7.2 RLC7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 7.3 RLC7.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 7.4 GCL7.4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 上一章只涉及到一个储能元件，储能形式为电场上一章只涉及到一个储能元件，储能形式为电场 能量或磁场能量。能量或磁场能量。 本章由于涉及到电感和电容两个储能元件，且它本章由于涉及到电感和电容两个储能元件，且它 们分别储存磁场能量和电场能量，

3、那么，这样的们分别储存磁场能量和电场能量，那么，这样的 电路又具有什么特点？电路又具有什么特点？ 为了突出问题的实质，从研究一个只由电容和电为了突出问题的实质，从研究一个只由电容和电 感组成的电路的零输入响应开始，且设电容的初感组成的电路的零输入响应开始，且设电容的初 始电压为始电压为U U0 0，电感的初始电流为零。，电感的初始电流为零。 显然，初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没显然，初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没 有储能。这时，电路中的电流虽然为零，但电流的有储能。这时，电路中的电流虽然为零，但电流的 变化率不为零。变化率不为零。为什么为什么？这是因为电感的电压必须？这是因为电

4、感的电压必须 等于电容电压等于电容电压, ,即即U U0 0。根据。根据u uL L=Ldi=LdiL L/dt,/dt,则意味着则意味着 didiL L/dt0/dt0。因此，电感中的电流开始增长，原来。因此，电感中的电流开始增长，原来 存储于电容中的能量就开始发生转移。存储于电容中的能量就开始发生转移。 随着电容放电、电流增长，能量逐渐转移到电感的随着电容放电、电流增长，能量逐渐转移到电感的 磁场中。当电容电压下降到零的瞬间，电感电压也磁场中。当电容电压下降到零的瞬间，电感电压也 为零，因而，为零，因而，didiL L/dt=0/dt=0，电流达到最大值，电流达到最大值I I，此时，此时，

5、 电容的储能全部转化到电感中。上述变化见下页图电容的储能全部转化到电感中。上述变化见下页图 (a)(a)和和(b)(b)。 电容电压为零时，其变化率并不为零，因为电容电容电压为零时，其变化率并不为零，因为电容 中的电流必须等于电感中的电流，且电感中的电中的电流必须等于电感中的电流，且电感中的电 流不能突变，因而，电容在此电流作用下又被充流不能突变，因而，电容在此电流作用下又被充 电，但极性与以前不同。电，但极性与以前不同。 当电感中电流下降到零的瞬间，能量又再度全部当电感中电流下降到零的瞬间，能量又再度全部 储于电容中，电容电压又达到了储于电容中，电容电压又达到了U U0 0，只是极性相，只是

6、极性相 反，如前图反，如前图(c)(c)所示。所示。 以后，电容又开始放电，只是电流方向与第一次以后，电容又开始放电，只是电流方向与第一次 相反，重复上述过程。相反，重复上述过程。 到图到图(e)(e)循环一个周期，回到初始状态。循环一个周期，回到初始状态。 由此可见，在由电容和电感两种不同储能元件构由此可见，在由电容和电感两种不同储能元件构 成的电路中，随着储能在电场与磁场之间的往返成的电路中，随着储能在电场与磁场之间的往返 转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和 极性，形成周而复始的振荡。极性，形成周而复始的振荡。 这种由初始储能维持的振荡是一

7、种等幅振荡。这种由初始储能维持的振荡是一种等幅振荡。 如果电路中存在电阻，储能终将被电阻消耗殆尽，如果电路中存在电阻，储能终将被电阻消耗殆尽， 振荡不可能是等幅的，且幅度将逐渐衰减而趋于振荡不可能是等幅的，且幅度将逐渐衰减而趋于 零。这种振荡称为零。这种振荡称为阻尼振荡阻尼振荡或衰减振荡。或衰减振荡。 如果电阻较大，储能在初次转移时其大部分就可如果电阻较大，储能在初次转移时其大部分就可 能被电阻所消耗，因而不可能发生储能在电场与能被电阻所消耗，因而不可能发生储能在电场与 磁场之间的往返转移现象，电流、电压终将衰减磁场之间的往返转移现象，电流、电压终将衰减 为零，但不产生振荡。为零，但不产生振荡

8、。 下面对下面对LCLC回路中振荡的变化方式作进一步分回路中振荡的变化方式作进一步分 析。析。 设设LCLC回路如图所示，且设回路如图所示，且设L=1HL=1H，C=1FC=1F， u uC C(0)=1V(0)=1V，i iL L(0)=0(0)=0。 根据元件的根据元件的VCRVCR可得：可得： 这是描述该二阶电路的两个联立的一阶微分这是描述该二阶电路的两个联立的一阶微分 方程。方程。 该两式表明：电流的存在要求有电压的变化；该两式表明：电流的存在要求有电压的变化； 电压的存在也要求有电流的变化。因此，电压、电压的存在也要求有电流的变化。因此，电压、 电流都必须处于不断的变化状态之中。结合

9、初始电流都必须处于不断的变化状态之中。结合初始 条件：条件： 因此，因此，LCLC回路中的等幅振荡是按正弦方式随回路中的等幅振荡是按正弦方式随 时间变化的。时间变化的。 第七章第七章 二阶电路二阶电路 7.1 LC7.1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 7.2 RLC7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 7.3 RLC7.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 7.4 GCL7.4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 设含有电感和电容的二阶电路如图设含有电感和电容的二阶电路如图(a)(a)所示，所示， 运用戴维南定理可得图运用戴维南定理可得图(b)(b)所示的所示的

10、RLCRLC串联电路。串联电路。 写出每一个元件的写出每一个元件的VCRVCR如下：如下： 这是一个线性二阶常系数微分方程，未知量这是一个线性二阶常系数微分方程，未知量 为为u uC C(t)(t)。 为求出解答，需要两个初始条件，即为求出解答，需要两个初始条件，即u uC C(0)(0)和和 duduC C/dt/dtt=0 t=0。 。u uC C(0)(0)是其中一个初始状态，另一个初是其中一个初始状态，另一个初 始状态可通过下式得到，即：始状态可通过下式得到，即： 而而i(0)i(0)就是就是i iL L(0)(0)，即电感的初始状态。因此，根，即电感的初始状态。因此，根 据电路的初始

11、状态据电路的初始状态u uC C(0)(0)、i iL L(0)(0)和和t0t0时电路的时电路的 激励就可完全确定激励就可完全确定t0t0时的响应时的响应u uC C(t)(t)。 对于零输入响应，则有对于零输入响应，则有u uOC OC(t)=0 (t)=0，微分方程，微分方程 变成：变成： 特征方程如下：特征方程如下： 根据特征根公式：根据特征根公式： 解得特征根为：解得特征根为： 特征根又称为特征根又称为固有频率固有频率。而特征根根据。而特征根根据R R、L L、C C 数值不同具有四种不同的情况：数值不同具有四种不同的情况： a acbb s 2 4 2 2, 1 1 1、当、当 时

12、，即时，即 时，时，S S1 1、S S2 2 为两个不相等的负实根，其响应形式为：为两个不相等的负实根，其响应形式为： LC 1 ) L2 R ( 2 C L 2R ts 2 ts 1c 21 eKeK)t (u 2 1 1, 2 22 RR s LLLC 称为过阻尼称为过阻尼0 U C L 2R 2 2、当、当 时时, S, S1 1、S S2 2 为两相等的负实根，为两相等的负实根， 其响应为：其响应为： C L 2R st 21c e)tKK()t (u LC 1 L2 R L2 R s 2 2,1 称为临界阻尼称为临界阻尼 称为临界电阻称为临界电阻 3 3、当当 时，即时，即 时，时

13、，S S1 1、S S2 2 为一对共轭复根：称为欠阻尼。响应形式为：为一对共轭复根：称为欠阻尼。响应形式为： LC 1 ) L2 R ( 2 C L 2R )tcos(Ke) t (u d t c 式中：式中： ； ; 2L R 2 2 0d LC 1 0 LC 1 L2 R L2 R s 2 2,1 4 4、当当R=0R=0时，即时，即 0 0时，时，S S1 1、S S2 2 为一对共轭虚为一对共轭虚 根：称为无阻尼。则响应形式为根：称为无阻尼。则响应形式为 )tcos(K) t (u 0c LC 1 L2 R L2 R s 2 2,1 0 U 第七章第七章 二阶电路二阶电路 7.1 L

14、C7.1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 7.2 RLC7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 7.3 RLC7.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 7.4 GCL7.4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 如果在下图所示电路中，如果在下图所示电路中，u uOC OC(t)=U (t)=US S(t0)(t0)， 则可得如下微分方程：则可得如下微分方程： 该方程右端不为零，数学上称为非齐次方程。该方程右端不为零，数学上称为非齐次方程。 非齐次方程的解由两部分组成。其一是对应非齐次方程的解由两部分组成。其一是对应 齐次方程的解，即前面给出的零输入响应，一般齐次方程的

15、解，即前面给出的零输入响应，一般 称为固有响应或瞬态响应；其二为非齐次方程的称为固有响应或瞬态响应；其二为非齐次方程的 特解，又称为强迫响应或稳态解。特解，又称为强迫响应或稳态解。 齐次解的形式随特征根性质而定，而特解的齐次解的形式随特征根性质而定，而特解的 形式一般与方程右端的函数有关。形式一般与方程右端的函数有关。 对于满足对于满足 的特解是的特解是 u uCp Cp=U =US S(t0)(t0)。因此，若特征根是两个不相等的实。因此，若特征根是两个不相等的实 数，则电路的全响应可表示为：数，则电路的全响应可表示为： 第七章第七章 二阶电路二阶电路 7.1 LC7.1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡 7.2 RLC7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 7.3 RLC7.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 7.4 GCL7.4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 把该式与上节的把该式与上节的RLCRLC串联电路方程进行对比：串联电路方程进行对比： 可以发现：把串联电路方程中的可以发现：把串联电路方程中的u uC C换成换成i iL L，L L换成换成 C C，C C换成换成L L，R R换成换成G