第三章 应力分析与应变分析

1、2021-7-11 第三章 应力分析与应变分析 3.1应力与点的应力状态 o3.1.1 六个基本假设六个基本假设 o3.1.2 外力外力 o3.1.3 应力和内力应力和内力 o3.1.4 点的应力状态点的应力状态 o3.1.5 张量与应力张量张量与应力张量 2021-7-12 3.1 应力状态基本概念应力状态基本概念 o金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产 生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工 中工件所受的外力及其在工件内的应力和应中工件所受的外力及其在工件内的应力和应 变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及变。本

2、章讲述变形工件内应力状态的分析及 其表示方法。这是塑性加工的力学基础。其表示方法。这是塑性加工的力学基础。 2021-7-13 o型钢轧制型钢轧制 2021-7-14 o轧辊的断裂轧辊的断裂 2021-7-15 锤锻过程锤锻过程 2021-7-16 o飞机蒙皮的成形飞机蒙皮的成形 破裂破裂 起皱起皱 能否一次成形，用什么样的模具能否一次成形，用什么样的模具? ? 变形量是否满足要求（厚度减薄量等）变形量是否满足要求（厚度减薄量等）? ? 要想定量的研究变形过程，建立理论公式，要想定量的研究变形过程，建立理论公式， 在研究塑性力学行为时，必须采用一些假设。在研究塑性力学行为时，必须采用一些假设。

3、 F F 2021-7-17 3.1.1 六个基本假设 o（1）连续性假设。）连续性假设。变形体内均由连续介质组成，即整个变形体变形体内均由连续介质组成，即整个变形体 内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物理量都是连续变化的，内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物理量都是连续变化的， 可化为坐标的连续函数。可化为坐标的连续函数。 o（2）匀质性假设。）匀质性假设。变形体内各质点的组织、化学成分都是均匀变形体内各质点的组织、化学成分都是均匀 且相同的，即各质点的物理性能均相同，且不随坐标的改变而变化。且相同的，即各质点的物理性能均相同，且不随坐标的改变而变化。 o（3）各向同性假设。

4、）各向同性假设。变形体内各质点在各个方向上的物理性变形体内各质点在各个方向上的物理性 能、力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。能、力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。 o（4）初应力为零假设。）初应力为零假设。物体在受力之前是处于自然平衡物体在受力之前是处于自然平衡 状态，即物体变形时内部所产生的应力仅由外力引起。状态，即物体变形时内部所产生的应力仅由外力引起。 o（5）体积力为零假设。）体积力为零假设。体积力如重力、磁力、惯性力等体积力如重力、磁力、惯性力等 与面力相比十分微小，可忽略不计。与面力相比十分微小，可忽略不计。 o（6）体积不变假设。）体积不变假设。 物体在塑性变形前后体

5、积不变。物体在塑性变形前后体积不变。 2021-7-18 o在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何 学和物理学等角度考虑。静力学角度是从变形 体中质点的应力分析出发、根据静力平衡条件 导出应力平衡微分方程。几何学角度是根据变 形体的连续性和匀质性假设，用几何的方法导 出小应变几何方程。物理学角度是根据实验和 基本假设导出变形体内应力与应变之间的关系 式，即本构方程。此外，还要建立变形体由弹 性状态进入塑性状态并使继续进行塑性变形时 所具备的力学条件，即屈服准则。 2021-7-19 3.1.2 外力外力 o塑性成形是利用金属的塑性，在外力外力作用下使 其成形的一种加工方法。 o作用于金属的外

6、力分为两类： o面力或接触力：面力或接触力：作用于金属表面的力，可以是 集中的，但一般是分布的力。 o体积力：体积力：作用在金属物体的每个质点上的力。 2021-7-110 1.面力面力 o作用力作用力 塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的 力，用于使金属坯料产生塑性变形，又称主动力。可以力，用于使金属坯料产生塑性变形，又称主动力。可以 实测或理论计算，用于验算设备强度和设备功率。在不实测或理论计算，用于验算设备强度和设备功率。在不 同的加工工序中，可以是压力、拉力或剪切力。同的加工工序中，可以是压力、拉力或剪切力。 o反作用力反作用力 一般情况下，

7、作用力与反作用力互相平行，一般情况下，作用力与反作用力互相平行， 并组成平衡力系。并组成平衡力系。 o摩擦力摩擦力 沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力，沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力， 其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动趋其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动趋 势相反。摩擦力最大值不应超过金属的抗剪强度。摩擦势相反。摩擦力最大值不应超过金属的抗剪强度。摩擦 力的存在往往会引起变形力的增加，对金属的塑性往往力的存在往往会引起变形力的增加，对金属的塑性往往 是有害的。是有害的。 o正压力正压力 沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或沿工具和工件接触面法向阻碍工件

8、整体移动或 金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。 2021-7-111 2021-7-112 2.体积力体积力 o体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如 重力、磁力和惯性力等。重力、磁力和惯性力等。 o对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的 面力比较起来要小的多，在实际工程计算中一般可面力比较起来要小的多，在实际工程计算中一般可 以忽略。以忽略。 o但在高速加工时，如高速锤锻造、爆炸成形等，金但在高速加工时，如高速锤锻造、爆炸成形等，金 属

9、塑性流动的惯性力应该考虑。如锤上模锻时，坯属塑性流动的惯性力应该考虑。如锤上模锻时，坯 料受到由静到动的惯性力作用，惯性力向上，有利料受到由静到动的惯性力作用，惯性力向上，有利 于金属充填上模，故锤上模锻通常形状复杂的部位于金属充填上模，故锤上模锻通常形状复杂的部位 设置在上模。设置在上模。 2021-7-113 3.1.2 外力外力 外力外力 体积力体积力 面力面力 重力重力 惯性力惯性力 电磁力电磁力 特点：分布在物体体积的外力，它作特点：分布在物体体积的外力，它作 用在物体内部的每一个质点上用在物体内部的每一个质点上 特点：分布在物特点：分布在物 体表面的外力体表面的外力 作用力（主动力

10、）作用力（主动力） 反作用力反作用力 约束反力约束反力 摩擦力摩擦力 正压力正压力 2021-7-114 3.1.3 内力和应力内力和应力 o内力：在外力作用下，物体内各质点之间产内力：在外力作用下，物体内各质点之间产 生的相互作用的力。生的相互作用的力。 o应力：单位面积上的内力。应力：单位面积上的内力。 2021-7-115 0 lim F PdP S FdF S为截面C-C上点Q的全应力。全应力为矢 量，可分解成两个分量，一个垂直于截面 C-C，即C-C截面外法线N上的分量，称为 正应力，一般用表示；另一个平行于截面 C-C，称为切应力，用表示。则： 222 S 2021-7-116 若

11、将C-C截得的下半部分放在 空间直角坐标系oxyz中，使C- C截面垂直于某坐标轴，如y轴， 即C-C截面外法线方向N平行于 y轴，则过Q点的微分面称为y 面。将Q点的全应力S在三个坐 标轴上的投影称为应力分量。 每个应力分量可用两个下角标 的符合表示，第一个角标表示 该应力分量所在的平面，第二 个下角标表示其作用方向。 2021-7-117 1.单向受力下的应力及其分量 一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。 过试棒内一点Q并垂直于拉伸轴线横截面C-C上的应力为： 00 0 0 0 dPP S dFF 若过Q点做任意切

12、面C1-C1，其法线N与拉伸轴成角，面 积为F1。由于是均匀拉伸，故截面C1-C1上的应力是均布的。 此时截面上Q点的全应力S、正应力、切应力分别 为： 0 10 2 0 2 0 coscos coscos 1 sinsin 2 PP S FF S S 在单向匀速拉伸条件下，可用一个0来表示其一点的应力状态，称为单向应力状态。 2021-7-118 2.多向受力下的应力分量 o（1）应力分量的提出）应力分量的提出 设在直角坐标系中有一个承受外力 的物体，物体内有一个质点Q，现在围 绕Q点切取一个矩形六面体作为单元体， 六面体的棱边分别平行于坐标系的三根 坐标轴。取六面体中三个互相垂直的表 面作

13、为微分面，各个微分面上的全应力 都可以按坐标轴方向分解为一个正应力 和两个切应力，三个微分面共有九个应 力分量，其中三个正应力分量，六个切 应力分量。可以用这九个应力分量来表 示物体内点的应力状态。 2021-7-119 2.多向受力下的应力分量 o（2）应力分量的表示）应力分量的表示 o为了清楚的表示各个微分面上的应力分量，我们给三个 微分面命名为：X面、Y面、Z面；让每一个应力分量都 带上两个下标，第一个下标表示应力分量的作用面，第 二个下标表示应力分量的作用方向。所以，九个应力分 量可以表示为： o可以看出，两个下标相同的应力是正应力，如xx，一般 写成x的形式；两个下标不相同的是剪切应

14、力，如xy。 2021-7-120 2.多向受力下的应力分量 o（3）应力分量的正、负方向规定）应力分量的正、负方向规定 o应力分量的正、负按以下方法确定：在 单元体上，外法线指向坐标轴正向的微 分面叫做正面，在正面上，指向坐标轴 正向的应力分量取正号，指向负向的取 负号；相反的，外法线指向坐标轴负向 的微分面叫做负面，在负面上，正向坐 标轴正向的应力分量取负号，指向负向 的取正号。按照这个规定，正应力分量 以拉为正，压为负。 2021-7-121 2.多向受力下的应力分量 o（4）剪应力互等定律）剪应力互等定律 由于单元体是处于静力平衡状态，所以绕 单元体各轴的合力矩必须等于零，由此可 以得

15、到如下的关系式： o这个式子叫做剪应力互等定律。它表明了： 为了保持单元体的平衡，剪应力总是成对 出现。因此，实际上只需六个应力分量就 可以表示点的应力状态。即九个应力分量 只有六个是独立的。 2021-7-122 3.1.4 点的应力状态点的应力状态 o点的应力状态：指受力物体内一点任意方位微分面 上所受的应力情况。 o只有了解变形体内任意一点的应力状态，才能推断 整个变形体的应力状态。要想了解一点的应力状态 必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该 点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为 此必须采用其他方式进行描述。 o若已知过一点的三个相互垂直的微分面上的九个应 力分量，如何求

16、得过改点任意微分面上的应力分量？ 2021-7-123 3.1.4 点的应力状态点的应力状态 o已知某个坐标系中Q点的三个互相垂 直的坐标面上的九个应力分量。现过 Q点作一个任意斜切微分面ABC，这 样就组成一个微小四面体QABC。外 法线方向为N，则这个斜面与三个坐 标轴x、y、z的方向余弦分别为： o l = cos（ N，x）； o m = cos（ N，y ）； o n = cos（N，z）。 o假设斜面ABC面积为dF，则dF在三 个坐标面上的投影面积分别为： odFx =ldF；dFy = mdF；dFz = ndF 2021-7-124 3.1.4 点的应力状态点的应力状态 o现

17、设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方 向的分量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体 QABC处于平衡状态，由静力平衡条件由Fx = 0，Fy= 0，Fz = 0即有： o SxdF xdFx yxdFy zxdFz = 0 o SydF ydFy xydFy zydFz = 0 o SzdF zdFz yzdFy xzdFz = 0 o整理得： nmlS nmlS nmlS zyzxzz zyyxyy zxyxxx n m l S S S zyzxz zyyxy zxyxx z y x 或 2021-7-125 3.1.4 点的应力状态点的应力状态 o全应力： o全应力S在法线N上的投影就是斜

18、微分面上 的正应力，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之 和，即： o斜切微分面上的切应力为： 222 xyx SSSS )2( zxyzxy 2 z 22 nlmnlmnml nSmSlS yx zyx 22 S 2021-7-126 o综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通 过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个 应力分量来表示。应力分量来表示。 o或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所 截取的三个相互垂直的微分面上各应力截取的三个相互垂直的微分面上各应力 已知已知

19、 时，便可确定该点的应力状态。时，便可确定该点的应力状态。 x y z yxxy zyyz xzzx ij 2021-7-127 应力边界条件方程 o如果该四面体素的斜面如果该四面体素的斜面 恰好为变形体的外表面恰好为变形体的外表面 上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此 面素单位面积上的作用面素单位面积上的作用 力在坐标轴方向的分力力在坐标轴方向的分力 分别为分别为px、py、pz，则，则 nmlp nmlp nmlp zyzxzz zyyxyy zxyxxx 2021-7-128 o应力边界条件方程的物理意义：应力边界条件方程的物理意义： o建立了过外表面上任意点，单位表面力与过建立了过

20、外表面上任意点，单位表面力与过 该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。 2021-7-129 3.5.1 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 o（1）求和约定）求和约定 o为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和 约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵 与向量的乘法：与向量的乘法： zyzxz zyyxy zxyxx z y x l l l zzyyzxxz zzyyyxxy zzxyyxxx lll lll lll zyxi iiz zyxi iiy zyxi iix l l

21、 l , , , 2021-7-130 o其中等式右边各项可以写为其中等式右边各项可以写为 或去掉求或去掉求 和符号而直接写为和符号而直接写为 。 o其中有一特征：同一项中其中有一特征：同一项中 i 为重复下标，逢为重复下标，逢 重复下标就相加，该下标称为重复下标就相加，该下标称为哑标哑标。非重复。非重复 下标下标 j 称为称为自由标自由标。 zyxji iijl , iijl iij a mmj b 哑标哑标哑标哑标 自由标自由标 2021-7-131 o求和约定的注意要点：求和约定的注意要点： o哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无 关紧要。如关紧要

22、。如 iin 3 1 3 2 1 、或，、zyxkji )( 3 1 zyx jj 3 1 kk 3 1 2021-7-132 o方程式左右两边的自由标必须相同。例如：方程式左右两边的自由标必须相同。例如： jiji np jkijik qpr njmnimij ba ，、zyxnmkji 2021-7-133 njmnimij ba 练习：把如下公式展开，以练习：把如下公式展开，以 为例。为例。 12 ) 3 2 1(，、nmji 12111112 ba 122112 ba 123113 ba 221211 ba 222212 ba 223213 ba 321311 ba 322312 ba

23、 323313 ba ? 23 ijjiij uu , 2 1 “，”表示求导数表示求导数 j u u i ji , 其中其中 2021-7-134 （2） 应力张量应力张量 o在斜面上的应力分析中，我们得到在斜面上的应力分析中，我们得到 nmlS nmlS nmlS zyzxznz zyyxyny zxyxxnx n m l S S S zyzxz zyyxy zxyxx nz ny nx 用矩阵表示为用矩阵表示为 2021-7-135 o变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平 行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来行于坐标面的三个微分面上的九个应

24、力分量来 表示。表示。 o根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一 种新的方法来表示它们，如下表所示。种新的方法来表示它们，如下表所示。 x y z yxxy zyyz xzzx 2021-7-136 zyzxz zyyxy zxyxx x 面面 y 面面 z 面面 x方向方向 y方向方向 z方向方向 2021-7-137 o去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符 号表示该矩阵。号表示该矩阵。 zyzxz zyyxy zxyxx T ij 2021-7-138 o该矩阵的特点：该矩阵的特点： o由材料力学剪切应力互等

25、定律，有由材料力学剪切应力互等定律，有 则此矩阵为一对称矩阵。则此矩阵为一对称矩阵。 o该对称矩阵称为该对称矩阵称为二阶对称应力张量二阶对称应力张量，矩阵中，矩阵中 的元素称为的元素称为应力张量分量应力张量分量。 yxxy zyyz xzzx zyzxz zyyxy zxyxx 2021-7-139 o张量在力学中是一个十分重要的概念。张量在力学中是一个十分重要的概念。 o标量是一个仅由标量是一个仅由数的大小数的大小表征的量，如温表征的量，如温 度、质量、能量等。度、质量、能量等。 o矢量是由矢量是由数的大小数的大小和和方向方向来表征的量，来表征的量， 如力、速度等，它可由空间中的有向线段表如

26、力、速度等，它可由空间中的有向线段表 示。示。 o张量则是由张量则是由数的大小、数的大小、方向方向和和方位方位来表来表 征的量，如应力张量、应变速度张量等。征的量，如应力张量、应变速度张量等。 2021-7-140 o标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。 不存在坐标变换，可以称之为不存在坐标变换，可以称之为零阶张量零阶张量。 o矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的 不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标 变换。变换。 jiji uau jjii uau ij a为正交矩阵，有为正交矩阵，有 ji T ijij aaa 1 矢量可以称之为矢量可以称之为一阶张量一阶张量 2021-7-141 o而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每 一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之 间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存 在坐标变换。在坐标变换。 , , 321 uuuT zzz yyy xxx uuu uuu uu