固体物理学_金属电子论之驰豫时间近似和导电率公式

1、06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论01/22 ( ) k q fbaEk 3 3 (, )1( , ) (, ) (2 ) ( , )1(, ) ( ,) (2 ) d bftft d aftft k k k kkk k k kkk k 06_04 驰豫时间近似和导电率公式驰豫时间近似和导电率公式 玻耳兹曼方程玻耳兹曼方程 一个积分一个积分 微分方程微分方程 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 0 ( ) ff ba k 0 ffff t ()ff t / 0 () t t ffe 驰豫时间驰豫时间 反映了分布函数恢复平衡所需的时间反映了分布函数恢复平衡所需的时间

2、1 驰豫时间近似驰豫时间近似 采取近似方法采取近似方法 假定碰撞项表示为假定碰撞项表示为 碰撞促使系统趋于平衡碰撞促使系统趋于平衡 只有碰撞的情形只有碰撞的情形 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 玻耳兹曼方程玻耳兹曼方程 0 ( ) k ffq f Ek (,) xyz ff EEEk 012 ffff 2 欧姆定律欧姆定律 求解玻耳兹曼方程得到求解玻耳兹曼方程得到 可以将分布函数按电场强度的幂级数展开可以将分布函数按电场强度的幂级数展开 第一、第二、第三项第一、第二、第三项 分别是电场强度的零次、一次、二次幂分别是电场强度的零次、一次、二次幂 06_04_驰豫时间近似和导电率

3、公式 金属电子论 12 012kkk ffqqq fff EEE 1 0 2 1 k k fq f fq f E E 10k q ff E 是能量是能量 的显函数的显函数 0 f ( )E k 0 1 ( ) k fq fE E Ek 方程两边同次幂的项相等方程两边同次幂的项相等 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 0 1 ( ) k fq fE E Ek 1 ( )( ) kE v kk 0 1 ( ) f fq E E v k 12 012kkk ffqqq fff EEE 在一般电导问题中在一般电导问题中 电流与电场成正比，只考虑分布函数中电场的一次项电流与电场成正比，只考

4、虑分布函数中电场的一次项 01 fff 0 0 ( ) f fq E E v k 05/22 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 3 2( ) ( ) (2 ) d qf k jk v k 01 33 2( )2( ) (2 )(2 ) dd qfqf kk jv kv k 1 3 2( ) (2 ) d qf k jv k 2 0 3 2( )( ) (2 ) fd q E k jv kv kE 电流密度电流密度 第一项第一项 平衡分布时，积分结果为零平衡分布时，积分结果为零 欧姆定律欧姆定律 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 a jE 2 0 3 2( )(

5、)( ) (2 ) fd q E k k vk vk 3 导电率公式导电率公式 固体的各向异性，导电率是一个张量固体的各向异性，导电率是一个张量 2 0 3 2( )( ) (2 ) fd q E k jv kv k E 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 是关于的一个是关于的一个 函数函数 0 11 11 FF BB E EE E B k Tk T f Ek T ee 积分的贡献主要来自积分的贡献主要来自 附近附近 F EE 2 0 3 2( )( )( ) (2 ) fd q E k k vk vk 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献导电率主要取决于费米面附近电子的贡献 0

6、6_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 22 * 2 k E m 2 * 1( ) 2 k m E v k k H 各向同性的固体各向同性的固体 导带中的电子具有单一的有效质量电子的能量导带中的电子具有单一的有效质量电子的能量 电子的能量电子的能量 电子的速度分量电子的速度分量 2 2 0 *23 2( ) (2 ) fd qk k mE k k 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 只要只要 2 2 0 *23 2( ) (2 ) fd qk k mE k k 各向同性下，驰豫时间各向同性下，驰豫时间 与与 无关无关( )kk kk 0 积分中其余的因子都是球对称积分中其

7、余的因子都是球对称_积分结果为奇函数积分结果为奇函数 导电率导电率 10/22 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 2 4dk dkk 2 * k dEdk m 2 2 0 *23 2( ) (2 ) fd qk k mE k k 各向同性各向同性 1122330112233 1 () 3 22 222 0 0123 *23 2 ( ) 3(2 ) fqd kkkk mE k 22 * 2 k E m 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 2 0 0 2* 3 ( ) 3 kk fq dE mE 导电率导电率 对比金属电子总数的积分式和结果对比金属电子总数的积分式和结

8、果_不计不计 0 2 02 ( ) ()()()() 6 FFFB f NQ EdE E Q EQ EQEk T 2 0 B F k T E 0 33 0 ( )( ) F E f kkdEkk E 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 22 0 0 * 2 F k E m 23 0 00 *2 () 3 qk k m 3 0 3 4 2 (2 )3 V kN 3 0 2 3 Nk n V 20 0 * () F nqE m 导电率导电率 0 F EE 在在k空间的等能面是球面空间的等能面是球面 等能面内的状态数等能面内的状态数 电子密度电子密度 导电率导电率 06_04_驰豫时间

9、近似和导电率公式 金属电子论 4 金属电子论金属电子论 特鲁德关于金属电子模型的假设特鲁德关于金属电子模型的假设 * 金属由原子实和自由电子构成，原子实不动金属由原子实和自由电子构成，原子实不动 电子可以自由运动，忽略电子与电子电子可以自由运动，忽略电子与电子 电子与原子实相互作用，电子与原子实可以发生碰撞电子与原子实相互作用，电子与原子实可以发生碰撞 就像硬橡皮球与固定的物体发生碰撞一样就像硬橡皮球与固定的物体发生碰撞一样 在无外场作用下，每个电子做匀速直线运动在无外场作用下，每个电子做匀速直线运动 电子的能量就是动能电子的能量就是动能 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 特鲁

10、德关于金属电子模型的假设特鲁德关于金属电子模型的假设 * 电子与原子实的碰撞是随机事件电子与原子实的碰撞是随机事件 可以改变电子运动的方向可以改变电子运动的方向 每次碰撞后，电子的运动方向也是随机的每次碰撞后，电子的运动方向也是随机的 忽略电子与电子的碰撞忽略电子与电子的碰撞 15/22 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 特鲁德关于金属电子模型的假设特鲁德关于金属电子模型的假设 /dt 1/ * 电子与原子实连续两次发生碰撞的时间间隔电子与原子实连续两次发生碰撞的时间间隔 平均自由时间平均自由时间 时间里，电子发生碰撞的次数为时间里，电子发生碰撞的次数为 1 dt时间里碰撞的次

11、数时间里碰撞的次数 单位时间内电子发生碰撞的几率单位时间内电子发生碰撞的几率 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 特鲁德关于金属电子模型的假设特鲁德关于金属电子模型的假设 * 假设电子和周围环境达到热平衡假设电子和周围环境达到热平衡 仅仅是通过电子与原子实碰撞实现的仅仅是通过电子与原子实碰撞实现的 碰撞前后电子的速度毫无关联碰撞前后电子的速度毫无关联 速率和碰撞发生处的温度相适应的速率和碰撞发生处的温度相适应的 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 0 v 0 0v 0 0 ()0nqjv 无外场情形无外场情形 任一时刻、任一电子的速度任一时刻、任一电子的速度 在观察

12、时间在观察时间 t内，电子的平均速度内，电子的平均速度 电子对电流的贡献电子对电流的贡献 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 0 vvv 0 t q dt m vE 0 0 q dt m vvE q m E v 2 () nq nq m jvE 有外场的情形有外场的情形 任一时刻、任一电子的速度任一时刻、任一电子的速度 在观察时间在观察时间 t内，电子的平均速度内，电子的平均速度 电子对电流的贡献电子对电流的贡献 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 2 nq m 0 lv 2 0 13 22 B mvk T 5 0 10/vm s 0.11lnmnm 实际电子的自由程在低温下可达到实际电子的自由程在低温下可达到 以上以上 100 nm 对比对比jE 2 nq m jE 电子的自由程电子的自由程 根据能量均分定理根据能量均分定理 室温下室温下 20/22 06_04_驰豫时间近似和导电率公式 金属电子论 2 nq m 0* () F Eand m 金属电子论的结果金属电子论的结果 20 0 * () F nqE m 导电率导电率 m and 电子的质量和连续两次碰撞所需的时间电子的质量和连续两次碰撞所需的时间 金属电导理论金属电导理论 驰豫时间