高中数学 课后提升训练十四 2.1.1 合情推理 2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精课后提升训练 十四合情推理（45分钟70分)一、选择题（每小题5分,共40分）1。观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（)【解析】选a.图形规律：每行都有两个阴影图形。2.平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比我们可以得到()a.空间中平行于同一直线的两直线平行b.空间中平行于同一平面的两直线平行c。空间中平行于同一直线的两平面平行d。空间中平行于同一平面的两平面平行【解析】选d。利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比。3。类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,则在正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是(）各棱长相等,同一顶点上的任

2、意两条棱的夹角都相等;各个面都是全等的正三角形,任意相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形。a。b。c。d。【解析】选c.由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的.【补偿训练】类比平面内一点p(x0,y0)到直线ax+by+c=0(a2+b20)的距离公式,猜想空间中一点p(x0，y0，z0)到平面ax+by+cz+d=0（a2+b2+c20)的距离公式d=_.【解析】类比平面内点到直线的距离公式d=，易知空间中点到直线的距离公式为。答案：4.（2017临沂高二检测）平面内的小圆形按照图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列an,则下列结论正确的是（）a5=1

3、5；数列an是一个等差数列;数列an是一个等比数列;数列an的递推关系是an=an-1+n（nn*)。a.b.c.d。【解析】选d。因为a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以有a2-a1=2，a3-a2=3,a4-a3=4.因此必有a5a4=5，即a5=15。故正确.同时正确.而an显然不是等差数列也不是等比数列，故错误.5。已知集合a=3m+2n|mn且m,nn,若将集合a中的数从小到大排成数列an,则有a1=31+20=3，a2=32+20=9，a3=32+21=11,a4=33=27,，以此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵,则第六行第三个数为()a1a2a3a4a5a6a

4、.247b。735c.733d。731【解题指南】观察数阵图可找出规律，第s行第t个数应该为3s+2(t-1）.【解析】选c.由条件可以得出，第s行第t个数是3s+2(t-1）,所以第六行第三个数应为36+2（3-1）=729+4=733.【举一反三】在本题条件不变的情况下,求a10+a11。【解析】由三角形数阵可知因为1+2+3+4=10，所以a10是第四行第四个数，a11是第5行第一个数，所以a10=34+23=87，a11=35=243，所以a10+a11=87+243=330.6。如图，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来(n=1，2，3，)，则第n个图形中的顶点个数为()a。（

5、n+1）（n+2）b.(n+2）（n+3）c.n2d.n【解析】选b.第一个图形共有12=34个顶点,第二个图形共有20=45个顶点,第三个图形共有30=56个顶点，第四个图形共有42=67个顶点,，故第n个图形共有(n+2）(n+3)个顶点.7.观察式子：1+,1+，1+,根据以上式子可以猜想:1+（)a.b。c。d.【解析】选b。观察可以发现,第n（n2)个不等式左端有（n+1)项,分子为1,分母依次为12，22,32,（n+1)2;右端分母为n+1，分子成等差数列，首项为3，公差为2.因此第n个不等式为1+。所以当n=2016时不等式为1+.8.(2017全国甲卷)甲、乙、丙、丁四位同学

6、一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则()a.乙可以知道四人的成绩b.丁可以知道四人的成绩c.乙、丁可以知道对方的成绩d。乙、丁可以知道自己的成绩【解析】选d.由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果。二、填空题(每小题5分,共10分)9.黑白两种颜色的正六边形地板砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中，白色地板砖的块数是_。【解析】a1=6，a2=6+4(2

7、-1），a3=6+4（31)，,由归纳推理,得an=6+4(n-1）=4n+2。答案：4n+210.（2017济南高二检测)若等差数列an的前n项和为sn，则s2n-1=(2n1）an.由类比推理可得，在等比数列bn中,若其前n项的积为pn,则p2n-1=_。【解析】在等差数列an中，s2n1=（2n-1)an,类比可知在等比数列bn中，p2n1=.答案：【补偿训练】在公比为4的等比数列bn中,若tn是数列bn的前n项积，则有,，也成等比数列，且公比为4100;类比上述结论,相应地，在公差为3的等差数列an中,若sn是an的前n项和。可类比得到的结论是_.【解题指南】等比数列的商类比等差数列中

8、的差.【解析】因为等差数列an的公差d=3，所以(s30s20)(s20-s10）=(a21+a22+a30)(a11+a12+a20）=100d=300,同理可得:(s40s30)-(s30-s20)=300,所以数列s20s10，s30-s20,s40s30是等差数列,且公差为300。即结论为:数列s20s10,s30s20，s40-s30也是等差数列,且公差为300.答案:数列s20-s10,s30-s20,s40-s30也是等差数列,且公差为300三、解答题(每小题10分,共20分)11.在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线由此猜出凸n边形有几

9、条对角线？【解析】凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条；，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n1）边形多（n2)条对角线，由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+(n2)=n(n3）(n4,nn）。【方法技巧】利用归纳推理法解决平面几何问题利用归纳推理法解决此类问题的一般步骤是:第一步：观察、分析所列特殊情况的共性,如图形中的点、线的个数，位置关系,数列中数的变化规律,一系列式子的共同运算特点等。第二步:将第一步中观察到的共性，进行推广形成一般化的结论，使之能够涵盖全面，如图形的结构或变化的规律,如数列的通项公式,式子的运算结果等

10、.第三步:产生猜想，得到合理的一般性结论.【补偿训练】1。根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律,试猜测第n个图形有多少个圆圈.【解析】图(1)中的圆圈数为120,图（2）中的圆圈数为22-1,图(3）中的圆圈数为32-2，图（4）中的圆圈数为42-3,图(5)中的圆圈数为524,，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2(n-1)=n2n+1.2。已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1（n=1，2,3，）。(1)求a2，a3,a4,a5.(2)归纳猜想通项公式an.【解析】(1）当n=1时,a1=1，由an+1=2an+1得a2=3,a3=7，a4=15，a5=31。(2）由a1=1=

11、21-1，a2=3=22-1,a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=251.可以归纳猜想出an=2n1（nn*).12.(2017沈阳高二检测）（1)在rtabc中,abac,adbc于点d，求证:=+.（2）在四面体abcd中，类比（1）中结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【解析】(1)由射影定理ad2=bddc，ab2=bdbc，ac2=dcbc，所以=。又因为bc2=ab2+ac2，所以=+.所以=+。(2)类比abac，adbc，猜想：在四面体abcd中,ab,ac,ad两两垂直,ae平面bcd,=+.理由如下:连接be并延长,交cd于点f，连接af。因为abac，

12、abad,acad=a,所以ab平面acd.而af平面acd,所以abaf.在rtabf中，aebf，所以=+.在rtacd中,afcd，所以=+。所以=+,故猜想正确。【拓展延伸】类比法的可靠性(1）类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的,是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性。（2)一般说来,共有属性越多，结论的可靠程度就越大;共有属性越是本质的,结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义。【能力挑战题】如图,双曲线=1，f1,f2是其两个焦点,点m在双曲线上。(

13、1)若f1mf2=90,求f1mf2的面积。（2)若f1mf2=60,f1mf2的面积是多少?若f1mf2=120，f1mf2的面积又是多少？（3)观察以上计算结果,你能看出随f1mf2的变化，f1mf2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论.【解析】由双曲线方程知a=2，b=3，c=，设mf1=r1，|mf2=r2（r1r2).(1)由双曲线定义,有r1-r2=2a=4，两边平方得+2r1r2=16，即|f1f22-4=16，所以52-16=4,求得=9.（2）若f1mf2=60,在mf1f2中，由余弦定理得|f1f2|2=+2r1r2cos60，|f1f22=(r1r2)2+r1r2,所以r1r2=36。求得=r1r2sin60=9。同理可求得若f1mf2=