第三章光的干涉

1、第三章第三章 光的干涉光的干涉 基基 本本 要要 求求 一、深入理解两个光波的非相干叠加和相干叠加，深入理解相干一、深入理解两个光波的非相干叠加和相干叠加，深入理解相干 条件和光的干涉定义。条件和光的干涉定义。 二、掌握位相差和光程差之间的关系二、掌握位相差和光程差之间的关系, 牢固掌握分波前干涉装置的牢固掌握分波前干涉装置的 干涉光强分布的各种规律，包括干涉条纹间距和条纹形状等干涉光强分布的各种规律，包括干涉条纹间距和条纹形状等. 三、掌握分振幅等倾干涉和等厚干涉的条纹特征和光强分布及其三、掌握分振幅等倾干涉和等厚干涉的条纹特征和光强分布及其 应用；能计算增透及增反膜、劈尖膜、牛顿环等干涉问

2、题。应用；能计算增透及增反膜、劈尖膜、牛顿环等干涉问题。 四、四、了解波场的时间相干性和空间相干性，以及它们对干涉条纹了解波场的时间相干性和空间相干性，以及它们对干涉条纹 可见度的影响。可见度的影响。 五、五、掌握迈克尔孙干涉仪的结构、光路及各项应用。掌握迈克尔孙干涉仪的结构、光路及各项应用。 六、了解多光束干涉的光强分布特点和法布里六、了解多光束干涉的光强分布特点和法布里珀罗干涉仪的光珀罗干涉仪的光 学结构及其在谱线精细结构分析上的应用。学结构及其在谱线精细结构分析上的应用。 3.1 光的相干条件光的相干条件 光的干涉现象：是当两个或多个光波（光束）在空间相遇叠光的干涉现象：是当两个或多个光

3、波（光束）在空间相遇叠 加时，在叠加区域内出现的各点强度稳定的强弱分布现象。加时，在叠加区域内出现的各点强度稳定的强弱分布现象。 实际光波不是理想单色光波，因而要使实际光波发生干涉，实际光波不是理想单色光波，因而要使实际光波发生干涉， 必须利用一定的装置，让光波满足某些条件（干涉条件）。必须利用一定的装置，让光波满足某些条件（干涉条件）。 光源光源 干涉装置干涉装置能产生两束或多束光波并形成干涉现象的装置。能产生两束或多束光波并形成干涉现象的装置。 干涉图形干涉图形 1、干涉问题的三个要、干涉问题的三个要 素素 其性质由位置、大小、亮度分布和光谱组成等因素决定；其性质由位置、大小、亮度分布和光

4、谱组成等因素决定； “干涉装置干涉装置”的性质主要体现它对各个光束引入的位相延迟；的性质主要体现它对各个光束引入的位相延迟； 由辐照度分布描述，包括干涉条纹的形状、间距、由辐照度分布描述，包括干涉条纹的形状、间距、 反衬度和颜色等。通常它可以被直接测量。反衬度和颜色等。通常它可以被直接测量。 2、干涉问题干涉问题 研究干涉三个要素之间的关系，从而由其中两者求出第三者。研究干涉三个要素之间的关系，从而由其中两者求出第三者。 考虑两单色点源在波场中某点考虑两单色点源在波场中某点P P 相遇时产生干涉的条件。相遇时产生干涉的条件。 设两光束的波函数分别为：设两光束的波函数分别为： )cos(),(

5、10111101 trkEtrE )cos(),( 20222202 trkEtrE 1 r ),( 11 1 k s P 2 r ),( 22 2 k s 则则P点的瞬时合振动为点的瞬时合振动为: ),(),(),( 21 tPEtPEtPE 由于光振动频率极高，实际可观测量的是在某段时间间隔由于光振动频率极高，实际可观测量的是在某段时间间隔 中的中的电场平均能流密度即光强，忽略某些常数，它可记为：电场平均能流密度即光强，忽略某些常数，它可记为： ),(),( 1 )( 2 0 2 tPEdttPEPI 于是，有于是，有 )()()( 2121 EEEEPI 212211 2EEEEEE 2

6、121 2)()(EErIrI )()()cos( )()()cos(2 1020121122 2010212211201021 trkrk trkrkEEEE 干涉项干涉项 干涉项的表示式中：干涉项的表示式中： 右端第一个时间平均值为零。即右端第一个时间平均值为零。即 右端第二个时间平均值，仅当右端第二个时间平均值，仅当 d且且Lx , 并且并且z 轴通过轴通过 S1, S2 中点时中点时, 则双孔屏右侧空间任一点则双孔屏右侧空间任一点P至至S2, S1的光程差为：的光程差为： )( 12 rrn 屏幕上屏幕上P点光强为：点光强为： coscos2 2121 IIIII 1cos, 0 因因

7、 L d ，所以，所以 21 2 ()n rr 为两光波在为两光波在P点的相位差。点的相位差。 cos2 2121 IIIII 式中式中 , 021 III cos22 00 III 2 cos4 2 0 II 若若 双缝光强双缝光强 因此光强分布公式为：因此光强分布公式为： （a）当）当,2 2 ,2, 1cos mm 即即: 时，时， m 光强取得极大值：光强取得极大值： ,4 0 II M 形成明条纹。形成明条纹。 ), 2, 1, 0( mm为为明条纹明条纹干涉级次干涉级次。 （b）当）当,)12( 2 ,)12(, 1cos mm 即即:时，时， ) 2 1 ( m光强取得极小值：光

8、强取得极小值： 0 m I ), 2, 1, 0( mm为为暗条纹暗条纹干涉级次干涉级次。 ,cos2 2121 IIIII 由由 21 22 ()n rr 由于由于 I1 ( p )，I2 ( p ) 和和 都是都是P点位置的函数，所以干涉点位置的函数，所以干涉 场中的等强度面具有复杂形状。但是场中的等强度面具有复杂形状。但是, 在远离在远离S1和和S2的区域内的区域内, I1( p ) 和和 I2 ( p ) 的变化要比式中余弦项的变化慢得多。的变化要比式中余弦项的变化慢得多。 因此，等强度面与等光程差面十分接近，以致可以近似因此，等强度面与等光程差面十分接近，以致可以近似 地用后者代替前

9、者。地用后者代替前者。 由几何观点知：与两个定点（由几何观点知：与两个定点（S1和和S2）之间距离差等于）之间距离差等于 常数的动点的轨迹为以常数的动点的轨迹为以S1和和S2为焦点的旋转双曲面。故三维为焦点的旋转双曲面。故三维 空间的干涉图样是亮、暗相间的旋转双曲面族。空间的干涉图样是亮、暗相间的旋转双曲面族。 在三维干涉场中放置二维观察屏，可观察到明暗相间的在三维干涉场中放置二维观察屏，可观察到明暗相间的 干涉条纹。干涉条纹实际上是干涉最大（或最小）强度面与干涉条纹。干涉条纹实际上是干涉最大（或最小）强度面与 二维观察平面的截线，所以干涉条纹的形状和性质，不仅取二维观察平面的截线，所以干涉条

10、纹的形状和性质，不仅取 决于干涉强度分布，而且与观察屏的位置有关。决于干涉强度分布，而且与观察屏的位置有关。 三三 维维 空空 间间 中中 的的 干干 涉涉 图图 样样 平面上的干涉图样平面上的干涉图样三维空间干涉图样与该平面的截线三维空间干涉图样与该平面的截线 1 S 2 Sx 0 x 0 y y 1 1 2 2 3 3 两个球面波干涉的等强度面及屏上的干涉图形两个球面波干涉的等强度面及屏上的干涉图形 以上讨论了以上讨论了S1和和S2都是都是“实实”点光源的情形。点光源的情形。 如果如果S1和和S2之中有一个是之中有一个是“虚虚”点光源，也即形成干涉场点光源，也即形成干涉场 的不是两个发散球

11、面波，而是一个发散球面波和一个会聚球面的不是两个发散球面波，而是一个发散球面波和一个会聚球面 波，波，则等光程差面的形状将由旋转双曲面变成旋转椭球面。则等光程差面的形状将由旋转双曲面变成旋转椭球面。 22 2 11 2 Ly d xPSr 22 2 22 2 Ly d xPSr 设屏上考察点设屏上考察点P的坐标为的坐标为(x, y, L)，S1(d/2,0,0)，S2(-d/2,0,0)，则：，则： xdrr2 2 1 2 2 21 12 2 )( rr nxd rrn 则则P至至S2, S1的光程差为：的光程差为： 傍轴近似下傍轴近似下, Ld , 且且 Lx , 则：则： Lrr2 21

12、L xd n rrn )( 12 例如当例如当S1是是“虚虚”点光源时点光源时, 向向S1会聚的球面波将先经过观察点会聚的球面波将先经过观察点 P, 然后到达然后到达S1, 则观察点则观察点P和和S1之间的光程可以看作是之间的光程可以看作是“负负”值值, 使得使得“光程差光程差”在空间上表现为在空间上表现为“距离和距离和”, 而与两个定点而与两个定点 （S1和和S2）之间距离和等于常数的动点的轨迹是旋转椭球面。）之间距离和等于常数的动点的轨迹是旋转椭球面。 式中，式中，x 是考察点是考察点P 的坐标，的坐标，n为介质的折射率。若整个装置为介质的折射率。若整个装置 在空气中，则在空气中，则n=1

13、。即：。即： L xd nrrn )( 12 L xd rr )( 12 所以明条纹中心满足：所以明条纹中心满足： , m L x d 明条纹中心坐标：明条纹中心坐标： d L mx )2, 1, 0( m 暗条纹的中心坐标：暗条纹的中心坐标： 条纹间距：屏幕上相邻两个明条纹（或暗条纹）中心之条纹间距：屏幕上相邻两个明条纹（或暗条纹）中心之 间线距离，称为条纹间距间线距离，称为条纹间距e。由上式，可得。由上式，可得 暗条纹中心满足：暗条纹中心满足： ,) 2 1 ( m L x d d L mx ) 2 1 ( )2, 1, 0( m d L e 由以上分析可知，杨氏实验的结果是在屏幕上沿垂直

14、于由以上分析可知，杨氏实验的结果是在屏幕上沿垂直于S1、 S2连线方向形成一系列光强度为极大值的亮条纹和一系列光强连线方向形成一系列光强度为极大值的亮条纹和一系列光强 度为极小值的暗条纹，各级条纹的位置由度为极小值的暗条纹，各级条纹的位置由x坐标值确定，条纹坐标值确定，条纹 走向与走向与 y轴平行。轴平行。 L dx I L dx IxI 2 00 cos4) 2 cos1(2)( 明纹位置：明纹位置： , m L x d d L mx ) , 2 , 1 , 0( m 暗纹位置：暗纹位置： ) 2 1 ( m L x d 2 12 d L mx ) , 2 , 1 , 0( m 杨氏条纹的强

15、度分布公式为：杨氏条纹的强度分布公式为： 光强分布曲线为：光强分布曲线为： 0 2 2 3 2 2 1 2 3 2 -4 -3 -2 - 0 2 3 4 I 2 cos4 2 0 I d L 2 x d L d L 2 3 d L 2 d L 2 d L d L 2 3 d L 2 0 条纹特点：条纹特点： a. 干涉条纹是平行于狭缝方向的明暗相间的条纹；干涉条纹是平行于狭缝方向的明暗相间的条纹； 明明纹纹；中中央央00 mx称称为为中中央央明明纹纹 b. 两两相邻明（或暗）条纹间的距离为相邻明（或暗）条纹间的距离为条纹间距条纹间距e c. 条纹位置条纹位置 ；条纹间距条纹间距 d L e d

16、 L x 其余情况不变时其余情况不变时， d e d x 1 , 1 ，缝缝距距 exd,条纹向中央聚拢，变得密集；条纹向中央聚拢，变得密集； ，缝缝距距 exd,条纹向两边分散条纹向两边分散, , 变得稀疏变得稀疏, , 便于观察便于观察 d L xxe mm 1 等间距分布等间距分布 其余情况不变时，其余情况不变时，LeLx , exL,即屏越远越易于观察即屏越远越易于观察 其余情况不变时，其余情况不变时， ex, 红光条纹间距红光条纹间距最大最大，紫光条纹间距最小，紫光条纹间距最小， 即红光条纹带最宽，紫光条纹带最窄。即红光条纹带最宽，紫光条纹带最窄。 上面讨论的是一个原子发光的情况。实

17、际上，光源中有上面讨论的是一个原子发光的情况。实际上，光源中有 许许多多的原子发光。不同原子所发的光波是不相干的。许许多多的原子发光。不同原子所发的光波是不相干的。 但是，若用单色点光源，对于每一个原子，但是，若用单色点光源，对于每一个原子， ，L , d 都都 相同，因此产生的干涉条纹具有相同的宽度，相同级次在相相同，因此产生的干涉条纹具有相同的宽度，相同级次在相 同的位置。不同原子的干涉条纹不相干的重叠在一起。它们同的位置。不同原子的干涉条纹不相干的重叠在一起。它们 明纹和明纹相重，暗纹和暗纹相重，使得条纹更加清晰可见。明纹和明纹相重，暗纹和暗纹相重，使得条纹更加清晰可见。 若将小孔改为狭

18、缝，除了明条纹更加明亮外，条纹会在若将小孔改为狭缝，除了明条纹更加明亮外，条纹会在 缝宽方向上展宽。在缝宽方向上展宽。在 、L、d 不变的情况下，条纹的位置和不变的情况下，条纹的位置和 宽度不变。宽度不变。 若用白光光源若用白光光源, , 不同波长的零级干涉极大重叠在屏幕中央不同波长的零级干涉极大重叠在屏幕中央, 是是 白色，带彩边。白色，带彩边。中心中心两侧对称分布各级两侧对称分布各级紫内红外紫内红外的的彩色条纹彩色条纹。 其他级次，不同波长的同一级次出现在不同的位置。其他级次，不同波长的同一级次出现在不同的位置。 I 01 2 m -1-2 0 12 -1-2 0 1 2 -1 -2 仅以

19、三种波长为例：仅以三种波长为例： 较低级次形成彩色条纹，越高级次，条纹重叠得越厉害，较低级次形成彩色条纹，越高级次，条纹重叠得越厉害， 条纹由屏幕中心向两边逐渐模糊，较高级次条纹消失，变成条纹由屏幕中心向两边逐渐模糊，较高级次条纹消失，变成 一片光亮，干涉消失。一片光亮，干涉消失。 2-231-10 中央明纹中央明纹 S 1 S 2 S L d 1 r 2 r o x 例例1 1：杨氏实验遮盖：杨氏实验遮盖 S1 缝，设遮盖物为厚度缝，设遮盖物为厚度t，折射率，折射率n 的透的透 明材料，屏上条纹有何变化？明材料，屏上条纹有何变化？ 解：原中央明纹解：原中央明纹O 处处： 0 12 rr o

20、遮盖后：遮盖后： )( 1122 nttrnrn o 1 21 nn tnrr)1()( 12 tn)1( 原中央明纹必移动原中央明纹必移动 中央明纹是等光程点的相遇处，即移动后应使中央明纹是等光程点的相遇处，即移动后应使 = =0 条纹整体形状不变条纹整体形状不变, , O点（点（原中央明纹）原中央明纹）上移。上移。 白光干涉这种零级条纹为白色的特征，提供了判断零级条白光干涉这种零级条纹为白色的特征，提供了判断零级条 纹的可能性，在干涉测量中常用到。纹的可能性，在干涉测量中常用到。 S S1 S2 P 例例2：在双缝干涉实验中在双缝干涉实验中SS1=SS2 ，用波长为，用波长为 的光照射双缝

21、，的光照射双缝， 通过空气后在屏幕上形成干涉条纹。已知通过空气后在屏幕上形成干涉条纹。已知P点处为第三级明条点处为第三级明条 纹，则纹，则S1、S2 到到P点的光程差为：点的光程差为： 若将整个装置放于某种透明液体中，若将整个装置放于某种透明液体中， P点为第四级明条纹，则该液体的折点为第四级明条纹，则该液体的折 射率为：射率为：n= 解：解： P 点明纹点明纹,干涉加强干涉加强,为第三级为第三级 3 2 2 3 m m 3 由已知可有：由已知可有： 21 21 3 ()4 空气 液 rr n rr n 液液空空气气 3 4 n 34 （A）中央明条纹也向下移动，且条纹间距不变）中央明条纹也向

22、下移动，且条纹间距不变； （B）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大； （C）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大； （D）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变。 例例3. 在双缝干涉实验中，若单色光源在双缝干涉实验中，若单色光源 S 到两缝到两缝 S1、S2 距离相距离相 等，则观察屏上中央明条纹位于图中等，则观察屏上中央明条纹位于图中 O 处，现将光源处，现将光源 S 向下移动到示意图中的向下移动到示意图中的 S 位置，则：位置，则： S1 S2S S O D 例例4. 在双缝干涉实验中，

23、双缝间距在双缝干涉实验中，双缝间距d=0.45mm ，双缝与屏间距，双缝与屏间距 离离 D=1.2m, 若测的屏上干涉条纹相邻明条纹间距为若测的屏上干涉条纹相邻明条纹间距为 1.5mm, 求光源发出的单色光的波长求光源发出的单色光的波长 。 解：根据公式解：根据公式dDmx/ 可知可知, 相邻条纹间距：相邻条纹间距： d D e 则有则有 Dde/ nm5 .562 2 . 1/105 . 11045. 0 33 DOPdrr/ 012 例题例题4: 在双缝实验中，单色光源在双缝实验中，单色光源 S0 和两缝和两缝 S1 、S2的的距离分别距离分别 为为 l1和和 l2， ，并且 并且 ，双缝

24、之间的距离为，双缝之间的距离为d ，双缝到屏，双缝到屏 幕的距离为幕的距离为D ( D d).如图，求：如图，求：1） 零级明纹到屏幕中内零级明纹到屏幕中内O 的距离；的距离；2）相邻明纹间的距离。）相邻明纹间的距离。 3 21 ll 解：解：1) 如图所示，零级明纹中心的位置为如图所示，零级明纹中心的位置为P0 3 2112 llrr dDdrrDOP/ )( 3 120 0 1122 )()(rlrl又因为零级明纹：又因为零级明纹： (/)3d x D 2）由扬氏双缝干涉光程差公式：由扬氏双缝干涉光程差公式： 1,2,3kk 光强极大时：光强极大时： (3 )/ k xkD d 可得各级明

25、纹的位置为：可得各级明纹的位置为： 1 / kk exxDd 所以相邻明纹的间距为：所以相邻明纹的间距为： 二、分波前干涉的其它实验装置二、分波前干涉的其它实验装置 S 1 S 2 S d 屏幕屏幕 1 L 2 L 两两 虚虚 象象 等等 效效 于于 杨杨 氏氏 双双 孔孔 ,2 1 Ld 21 LLL A B 1 M 2 M 干涉区干涉区 条纹间距为条纹间距为: : 1 21 2 )( L LL x 屏上屏上AB为干涉区为干涉区。 以上计算中利用了小角近似以上计算中利用了小角近似, 即当即当 很小时很小时, 有有.sin tg 菲涅耳双棱镜装置如图示：菲涅耳双棱镜装置如图示： s d 1 L

26、 2 L A B 屏幕屏幕 干涉区干涉区 1 s 2 s 从点光源从点光源S 来的一束光，经双棱镜折射后分为两束，在交叠来的一束光，经双棱镜折射后分为两束，在交叠 区产生干涉。两折射光相当于从棱镜形成的两个虚像区产生干涉。两折射光相当于从棱镜形成的两个虚像S1、S2 发出的一样。像发出的一样。像 S1、S2 相当于杨氏干涉中双孔，相当于杨氏干涉中双孔，L1+L2=L。 若棱镜折射率为若棱镜折射率为n，则，则S1、S2的间距为：的间距为： )1(22 1 nLad 条纹间距为：条纹间距为： 1 )1(2Ln L d L e 双棱镜的顶角双棱镜的顶角 非常小，点光源的像在其上方和下方距非常小，点光

27、源的像在其上方和下方距 S 为为 a 处处 。可以证明：。可以证明： )1( 1 nLa 点（线）光源点（线）光源S 放在平面镜左侧且接近镜平面处，在右侧垂放在平面镜左侧且接近镜平面处，在右侧垂 直于镜面方位放置接收屏，就构成了劳埃德镜，如下图所示。直于镜面方位放置接收屏，就构成了劳埃德镜，如下图所示。 B A S a d S L S 与 其与 其 像像S 等 等 效于杨效于杨 氏双缝氏双缝 条纹间距条纹间距 d L e 干涉区干涉区 光源光源S向向M掠入射掠入射 洛埃镜与前两装置区别在于洛埃镜与前两装置区别在于: 此时，光程差为：此时，光程差为： 2 x L d 它是利用光源发出的原光波和光

28、源的镜像反射光波的叠它是利用光源发出的原光波和光源的镜像反射光波的叠 加构成的干涉。两者之间有加构成的干涉。两者之间有 的位相差别。的位相差别。 0 x M Q 观察屏的下半部分没有条纹；观察屏的下半部分没有条纹； 它验证了光波由光疏介质射向光密介质时，在分界面上反射它验证了光波由光疏介质射向光密介质时，在分界面上反射 的光存在有半波损失这一事实。的光存在有半波损失这一事实。 实验结果的分析方法与前面相似，但是：实验结果的分析方法与前面相似，但是： 当屏幕移至与当屏幕移至与M边缘即边缘即Q处接触时，波程差：处接触时，波程差：0 0 满足明纹条件，满足明纹条件， 点点Q为明纹为明纹 但实验结果是

29、暗纹。但实验结果是暗纹。 矛盾矛盾 表明反射光有表明反射光有 的位相突变的位相突变验证了半波损失验证了半波损失 比耶对切透镜是把一块凸透镜沿着直径方向剖开成两半比耶对切透镜是把一块凸透镜沿着直径方向剖开成两半 做成，半透镜在垂直于光轴方向拉开一些距离做成，半透镜在垂直于光轴方向拉开一些距离a，其间隙以光，其间隙以光 屏挡住，如下图所示。屏挡住，如下图所示。 点光源点光源S由对切透镜形成两个实像由对切透镜形成两个实像S1和和S2，通过，通过S1和和S2射射 出的两光束在屏幕出的两光束在屏幕上产生干涉，上产生干涉，S1和和S2是一对相干光源。是一对相干光源。 S1和和S2到对切透镜的距离到对切透镜

30、的距离l可按几何光学可按几何光学中的成像公式求出，中的成像公式求出， fll 111 式中，式中，l 是点光源是点光源 S 到对切透镜的距离，到对切透镜的距离，f 是透镜的焦距。是透镜的焦距。 S1和和S2之间的距离由下式计算之间的距离由下式计算: : l ll ad S1和和S2形成的干涉条纹的间距为：形成的干涉条纹的间距为： d L e S S1 S2 L ll K a 将一个凸透镜沿直径切开后沿光轴拉开一些距离，两半将一个凸透镜沿直径切开后沿光轴拉开一些距离，两半 透镜对光源所成的像透镜对光源所成的像S1和和S2位于光轴上分开一定距离的两个位于光轴上分开一定距离的两个 点上，在点上，在S

31、1和和S2间的交叠区就会产生干涉，观察屏间的交叠区就会产生干涉，观察屏表面垂表面垂 直于光轴直于光轴(S1和和S2的连线），与两次波源联系的波一为发散波的连线），与两次波源联系的波一为发散波 (S1)，一为会聚波，一为会聚波(S2)，可根据波的叠加由二光波在，可根据波的叠加由二光波在平面的平面的 复振幅分布求出该平面上的强度分布及条纹特点。复振幅分布求出该平面上的强度分布及条纹特点。 S S1S2 L1 L2 d1d2 梅斯林实验中屏梅斯林实验中屏上干涉图样的形状及特点：上干涉图样的形状及特点： 设屏设屏位于位于S1和和S2间间, 与与S1和和S2间的距离分别为间的距离分别为d1和和d2. 设

32、设次级点次级点 源源Sl初相为初相为0, 由于轴向光线通过由于轴向光线通过S1后再经距离后再经距离dl + d2而到达而到达S2， 故故S2点初相为点初相为k(dl+d2)。中心在。中心在S1的发散波和中心在的发散波和中心在S2的会聚的会聚 波在波在平面的复振幅分布分别为平面的复振幅分布分别为(设设S1、S2强度近似相同强度近似相同)： ),exp( 1 1 1 ikr r A E )(exp)exp( 212 2 2 ddikikr r A E 式中式中A为常数，为常数，rl、r 2分别为分别为面上所考察点面上所考察点P(x、y)到到S1,S2的的 距离，即距离，即 22 22 22 11

33、, drdr 其中其中 。傍轴近似下：。傍轴近似下： 222 yx ) 2 1(exp 2 1 2 1 1 1 d ikd d A E )(exp) 2 1(exp 21 2 2 2 2 2 2 ddik d ikd d A E ) 2 (exp 2 2 1 2 d dik d A 平面上光强分布为平面上光强分布为: 2 2 2 21 2 1 2 2 21 ) 2 exp( 1 ) 2 exp( 1 1 d k i dd k i d AeEEI ikd ) 11 (cos 211 2 2121 2 2 2 1 2 dddddd A 轴上点轴上点0，为零级亮点；第，为零级亮点；第m级亮纹发生于级

34、亮纹发生于 显然，这些条纹为以轴上点为中心的圆环，其半径及圆环间显然，这些条纹为以轴上点为中心的圆环，其半径及圆环间 距分别为距分别为 m dd 2) 11 ( 2 21 m dd ddm m 21 21 2 mddm dd dm d e m m 1 )(2 21 21 可见圆环越向外越密。可见圆环越向外越密。 考虑到干涉场的区域限考虑到干涉场的区域限 制，制，面上只呈现各圆面上只呈现各圆 环的下半部。环的下半部。 3.3 光场的相干性光场的相干性 光源的光源的空间展宽空间展宽光源光源的的大小或宽度大小或宽度 光源的光源的光谱展宽光谱展宽光源光源的的辐射波长范围（非单色性）辐射波长范围（非单色

35、性） 前面分析干涉条纹性质，都假定前面分析干涉条纹性质，都假定S是单色点光源或线光源。是单色点光源或线光源。 而实际的光源往往有大小或宽度，而且是非单色性的。从而导致而实际的光源往往有大小或宽度，而且是非单色性的。从而导致 干涉条纹衬比度下降，干涉条纹衬比度下降， S1、 S2相干性降低。相干性降低。 非非相相干干叠叠加加）( 21n IIII 3.3.1 光源光源空间展宽空间展宽的影响，的影响，光场的光场的: : 一、光源一、光源空间展宽对干涉条纹对比度的影响空间展宽对干涉条纹对比度的影响 若光源只含有一个波长成份，即单色的。若光源只含有一个波长成份，即单色的。 对于一个扩展的面光源对于一个

36、扩展的面光源S来言，可将其看成是由多个微小面元来言，可将其看成是由多个微小面元 （点源）的集合（点源）的集合（S1,S2,Sn），每个点源发出的光波是满足相干），每个点源发出的光波是满足相干 条件的，但各个点源发出的光波之间则无法干涉，在观察屏上出条件的，但各个点源发出的光波之间则无法干涉，在观察屏上出 现的图样将为每个点源发出的光波的干涉图样的合成：现的图样将为每个点源发出的光波的干涉图样的合成： 与理想情况相比，此时，尽管每个点源光波之间是完全相干与理想情况相比，此时，尽管每个点源光波之间是完全相干 的，是有零级小，但由于点源的扩展将使各个点源产生的完全相的，是有零级小，但由于点源的扩展将

37、使各个点源产生的完全相 干条纹有一横向移动，最终将使得在观察屏上看到的条纹极小值干条纹有一横向移动，最终将使得在观察屏上看到的条纹极小值 不为零，对比度下降，直致完全看不到条纹。不为零，对比度下降，直致完全看不到条纹。 A、 光源的临界宽度：光源的临界宽度： 由于光源的扩展，使得由于光源的扩展，使得观察屏上条纹观察屏上条纹为构成扩展光源的为构成扩展光源的点源点源 的干涉图样的线性叠加的干涉图样的线性叠加结果。光源向横向扩展，使得各个轴外点结果。光源向横向扩展，使得各个轴外点 源产生的完全相干条纹有一对应偏离量，（条纹是在零级对称分源产生的完全相干条纹有一对应偏离量，（条纹是在零级对称分 布，零

38、级对应光程差为零时的情况，光源的扩展，使零级位置移布，零级对应光程差为零时的情况，光源的扩展，使零级位置移 动）。动）。 1. 两个分离点光源的情况。两个分离点光源的情况。 设设S,S为同波长的两个分离点光源。为同波长的两个分离点光源。若若S的干涉花样的最大的干涉花样的最大 值同值同S 的干涉花样的最小值重合时的干涉花样的最小值重合时, ,干涉条纹的可见度降为零。干涉条纹的可见度降为零。 若若S位于位于z轴上，且轴上，且R1=R2。则观察屏上零级条。则观察屏上零级条 纹中心纹中心P0亦在亦在z轴上，有轴上，有 r1=r2 。 S位于位于S正上方，且正上方，且SS=b, 则观察屏上零级条纹中心则

39、观察屏上零级条纹中心P0， 傍轴近似下，傍轴近似下， ad Z a rrbd Z b RR s 2112 , P0相对相对P0有一位移错动量有一位移错动量a， 21122211 ,rrRRrRrR 即即 1 R 2 R S 1 r 2 r 0 P b r2 S S1 S2 r1 x 0 P 1 R 2 R z a 满足满足 d S Z Z S 1 S 2 S 1 r 2 r o x I P S 附加光程差附加光程差 12 SSSS 2 若：若：光强分布与光强分布与S点发出的相干波相差点发出的相干波相差 观察屏上的强度分布是它们的迭加。若观察屏上的强度分布是它们的迭加。若I1=I2,则则 观察区

40、各点强度一致，干涉条纹消失观察区各点强度一致，干涉条纹消失 (V=0)。 S Z Z xb Z Z a ss 实实际际关关系系式式为为, 上上移移则则条条纹纹下下移移。即即SxS, 00 S 1 S 2 S 1 r 2 r o x I P S 可见：可见： 光源线度光源线度 可引起条纹清晰程度可引起条纹清晰程度 的变化。的变化。 （大小）（大小）（相干与否）（相干与否） 2 若：若： 观察屏上的强度分观察屏上的强度分 布是它们的迭加。布是它们的迭加。 光强分布与中心点光强分布与中心点 有一定的错位。有一定的错位。 光强分布仍有周期性的强弱区别。但：光强分布仍有周期性的强弱区别。但：条纹不清晰。

41、条纹不清晰。 令令V=0时的时的b为为b1，则：，则： 222 1 d Ze Z Z b ss 当当b再增加时衬比度又逐渐回升；一直到再增加时衬比度又逐渐回升；一直到b=2b1，ae时，时， 两套条纹在互相错动一个条纹间距后又实现了极强与极强重两套条纹在互相错动一个条纹间距后又实现了极强与极强重 合、极弱与极弱重合，使得合、极弱与极弱重合，使得V=1。 图图3.3.2 两套平行等距条纹错动两套平行等距条纹错动a，合强度曲线，合强度曲线V的变化图的变化图 图图3.3.2分别画出了这几种情况分别画出了这几种情况(其中其中(a)因为单点源情况以作对因为单点源情况以作对 比比)，图中虚线为各点源单独产

42、生的强度。实线为合强度。若，图中虚线为各点源单独产生的强度。实线为合强度。若b 继续增加，则合强度周而复始地重复以上变化过程，干涉条纹继续增加，则合强度周而复始地重复以上变化过程，干涉条纹 衬比度衬比度V也相应地在也相应地在1和和0之间呈周期性变化，如图之间呈周期性变化，如图3.3.3所示。所示。 屏上实际强度屏上实际强度各点产生的干涉条纹强度之和各点产生的干涉条纹强度之和 2. 扩展光源（宽度为扩展光源（宽度为b） 普通光源各点不相干。普通光源各点不相干。 b为连续源宽度，为连续源宽度，b从从0时，衬比度时，衬比度V。 但与两点源不同，当但与两点源不同，当b = b1，光源两端点，光源两端点

43、 相应条纹错动为相应条纹错动为e/2时，尽管时，尽管S 和和S 两端点两端点 产生的条纹亮暗互补，但由产生的条纹亮暗互补，但由 于中间连续点的存在，其合于中间连续点的存在，其合 强度分布仍具有一定的起伏，强度分布仍具有一定的起伏， 即即V 0。 只有当只有当b=2b1, 两端点相两端点相 应条纹错动为应条纹错动为e时，条纹才时，条纹才 匀化消失，从而匀化消失，从而V =0。 扩展光源上所有的独立点源可以被分成许多相扩展光源上所有的独立点源可以被分成许多相 距距b1的的“点光源对点光源对”，每对点光源产生的干涉条纹相对移动半，每对点光源产生的干涉条纹相对移动半 个条纹间距，叠加后干涉条纹消失。则

44、整个线光源在屏幕上不个条纹间距，叠加后干涉条纹消失。则整个线光源在屏幕上不 产生干涉花样。产生干涉花样。 b=2b1时时V=0。 衬比度衬比度V 第第次降为次降为0时的光时的光 源宽称为光源的临界宽度源宽称为光源的临界宽度bM： M b 光源的容许宽度光源的容许宽度bp: 44 1 Mp bb 用积分法可以得出干涉条纹衬比度的定量关系如下（过程略）用积分法可以得出干涉条纹衬比度的定量关系如下（过程略） ： )(sin)sin( b c b b V 二、光场的空间相干性二、光场的空间相干性 1空间相干性的概念及度量空间相干性的概念及度量 以杨氏实验为例，设有两独立点源以杨氏实验为例，设有两独立点

45、源S、S。 2 S E S S1 S2 1 S E 相干相干 sin() b Vc p b M b 2 S E S S1 S2 1 S E 相干相干 空间总光场空间总光场 2121 SSSS EEEEE 相干相干相干相干 不相干不相干 不相干不相干 不相干不相干 称次波源（称次波源（S1,S2）部分相干。）部分相干。 在干涉过程中，两次波源光场的瞬时变化是不可测的，在干涉过程中，两次波源光场的瞬时变化是不可测的， 但它们所产生的宏观效果但它们所产生的宏观效果干涉条纹是可以观测的，而且干干涉条纹是可以观测的，而且干 涉条纹的衬比度涉条纹的衬比度V直接与两次波源的相干程度有关。直接与两次波源的相干

46、程度有关。 V越大，越大， 两次波源的相干度越高。两次波源的相干度越高。 若若S为点光源，为点光源，, 1, 0 Vb 次波源次波源( (S1,S2) )完全相干；完全相干； 若若S为扩展光源，为扩展光源，, 10, 0 Vb一一般般次波源次波源( (S1,S2) )部分相干；部分相干； , 0, Vbb M ( (S1,S2) )完全不相干；完全不相干； , 0, Vbb M ( (S1,S2) )基本不相干；基本不相干； , 10,0 Vbb M ( (S1,S2) )部分相干；部分相干； , 1, 4 0 Vbb p ( (S1,S2) ) 相干度较高；相干度较高； 空间中不同位置的两点

47、处光场的相关程度称为空间中不同位置的两点处光场的相关程度称为光场的空光场的空 间相干性，间相干性，因因S1S2连线连线光的传播方向光的传播方向，常称为横向空间相干常称为横向空间相干 性，性，简称空间相干性。简称空间相干性。 或者说，空间相干性就是描述光场中或者说，空间相干性就是描述光场中 在多大横向范围内提取来的两子波源在多大横向范围内提取来的两子波源S1、S2仍是相干的。这仍是相干的。这 个范围大我们说空间相干性好，这个范围小，空间相干性差。个范围大我们说空间相干性好，这个范围小，空间相干性差。 M 1 S 2 S b M d S Z 当当S1、S2位置给定时，该两点光场的空间相干性取决于位

48、置给定时，该两点光场的空间相干性取决于 光源光源S的宽度。反之，若光源宽度的宽度。反之，若光源宽度b给定，给定， S1，S2的横向分的横向分 离离d越大，则越大，则S1，S2处光场的相干性越差。处光场的相干性越差。 2光场的横向相干范围光场的横向相干范围 在在S1、S2的相干性刚好消失的临界情况下，的相干性刚好消失的临界情况下，d 值为值为 d Z b S M b Z d s M s Z b 当当d 由由dM 再增大时，再增大时， S1、S2的相干性基本为零。定义的相干性基本为零。定义 dM为给定光场的横向相干宽度。为给定光场的横向相干宽度。 M 1 S 2 S 1 S 2 S b M d 1

49、 S 2 S S Z 对给定对给定b, ZS 越大，越大，dM 越大，而越大，而比值比值 , s s M Z b b Z d dMZS是不变的，故光场的横向相干范围的另一更为方便的是不变的，故光场的横向相干范围的另一更为方便的 表达方式是利用角宽度：表达方式是利用角宽度： b Z d S M M 如图如图绘出了绘出了dM、M、b等等量的关系量的关系, , 图中阴影区表示横向相干图中阴影区表示横向相干 范围范围, , S1,S2两点恰处于刚好不相干的临界状态。若将此两点保两点恰处于刚好不相干的临界状态。若将此两点保 持横向距离不变而移近持横向距离不变而移近S, , 例如到例如到S1, S2， ，

50、则该两点仍不相干； 则该两点仍不相干； 但若使它们远离但若使它们远离S，例如，例如 移到移到S1、S2处，则可以成为处，则可以成为 相干的。可见即使是对于较大相干的。可见即使是对于较大 的光源，如果在距离光源很远的光源，如果在距离光源很远 处取相距很近的两点，亦可得处取相距很近的两点，亦可得 到两相干次被源。到两相干次被源。 相干孔径角相干孔径角 1 S 2 S b d S Z e 若扩展光源为方形，则它照明的平面上的相干范围的面积为：若扩展光源为方形，则它照明的平面上的相干范围的面积为： S S yx S MM c A Z bb Z ddA yx 2222 3. 小结：一组反比关系小结：一组

51、反比关系 e b d 一般情况（求一般情况（求e） 临界情况临界情况 （已知（已知b，求，求M、dM；已知；已知d，求，求bM、bp） 共同形式：线量共同形式：线量以该线量中心为顶点的角量以该线量中心为顶点的角量 后两式：后两式：空间相干性的反比关系空间相干性的反比关系。 空间相干性来源于光源的空间展宽空间相干性来源于光源的空间展宽; 光源的空间展宽越大，其空间相干范围越小。光源的空间展宽越大，其空间相干范围越小。 3.3.2 光源光谱展宽的影响光源光谱展宽的影响 光场的时间相干性光场的时间相干性 一、光源的光谱展宽（非单色性）对干涉条纹衬比度的影响一、光源的光谱展宽（非单色性）对干涉条纹衬比

52、度的影响 设在杨氏实验中使用的光源为点源，但包含着一定的波设在杨氏实验中使用的光源为点源，但包含着一定的波 长范围，即具有一定的光谱宽度长范围，即具有一定的光谱宽度 。 零级中心：零级中心：R1+r1=R2+r2，与，与无关无关 ,e 不同，不同，e 不同不同 连续变化，多色条纹交叠。连续变化，多色条纹交叠。 白光，白光， ： 400-700nm 零级中心为白色，一级条纹有着内紫零级中心为白色，一级条纹有着内紫 外红的清晰色序，二级条纹的外侧起外红的清晰色序，二级条纹的外侧起 各级条纹即有交叠，而且级别越高交各级条纹即有交叠，而且级别越高交 叠越甚，使得较高级条纹逐渐模糊。叠越甚，使得较高级条

53、纹逐渐模糊。 由于杨氏实验中使用的光源具有一定的光谱宽度，波长由于杨氏实验中使用的光源具有一定的光谱宽度，波长 范围范围 内的每一波长的光均形成各自的一组干涉条纹，各组内的每一波长的光均形成各自的一组干涉条纹，各组 条纹除零级以外，互相间均有一定的位移，所以各组条纹非相条纹除零级以外，互相间均有一定的位移，所以各组条纹非相 干叠加的结果使条纹的可见度下降。干叠加的结果使条纹的可见度下降。 x 0123 m1m 0123m1m M 设光源的波长为设光源的波长为 ，其波光范围为，其波光范围为 。, 刚开始级次交叠时刚开始级次交叠时, , ， m+1 级极大级极大 + + ， m 级极大级极大 重合

54、重合 () D xxm d 则第则第 m 级明条纹的宽度为：级明条纹的宽度为： D xm d 为双缝至观察屏距离。为双缝至观察屏距离。为双缝间距为双缝间距式中式中Dd, 对对 ，第，第 m 级亮纹的位置为：级亮纹的位置为： D xm d 对对 ，第，第 m级亮纹的位置为：级亮纹的位置为： 由上式可知，随着干涉级的提高，同一级干涉条纹的宽度增大，由上式可知，随着干涉级的提高，同一级干涉条纹的宽度增大， 条纹的可见度相应地降低。当波长为条纹的可见度相应地降低。当波长为 的的第第m 级级与与 的的第第 m +1级级条纹重合时，条纹的可见度降为零，无法观察到条纹。条纹重合时，条纹的可见度降为零，无法观

55、察到条纹。 )( (1)() M mm 与该干涉级对应的光程差为实现相干的最大光程差，即与该干涉级对应的光程差为实现相干的最大光程差，即 M m 该干涉级为能够看到条纹的最高干涉级：该干涉级为能够看到条纹的最高干涉级： 2 () M m 该式表明，光源的单色性决定该式表明，光源的单色性决定产生干涉条纹的最大光程差产生干涉条纹的最大光程差， 通常将其称为通常将其称为相干长度相干长度 L 。 2 M L (1)() M mm M m 可视为平均波长。可视为平均波长。 又光源的光谱展宽又光源的光谱展宽 是由于光源所发出的波列的持是由于光源所发出的波列的持 续时间续时间t的限制而引起的，且有关系式的限

56、制而引起的，且有关系式 )( 或或 1 t 为光速。为光速。c c , d c d 2 只考虑大小，取绝对值，有：只考虑大小，取绝对值，有： 2 c :为为时时间间的的光光源源所所发发波波列列的的持持续续波波列列展展宽宽为为t c t 2 1 相应的波列长度为：相应的波列长度为： 2 tcLc 可见，最大光程差（相干长度）恰好等于光源所发波列的可见，最大光程差（相干长度）恰好等于光源所发波列的 长度，即长度，即 2 Mc LL 物理意义：只有物理意义：只有 Lc 时，观察屏上同一点时，观察屏上同一点P才能接收到光源才能接收到光源S 发出的同一波列。当发出的同一波列。当 Lc时，时，观察屏上同一

57、点观察屏上同一点P所接收到从所接收到从S1, S2分别传播来的光波已经属于光源分别传播来的光波已经属于光源S在相继时间所发出的不同波在相继时间所发出的不同波 列，而不同波列的初相独立无关，故它们不相干。列，而不同波列的初相独立无关，故它们不相干。 2 c 二二 、光场的时间相干性：、光场的时间相干性： 由原子一次发光的持续时间由原子一次发光的持续时间t 确定的相干性。以杨氏双确定的相干性。以杨氏双 缝说明。缝说明。 用积分法可以得出用积分法可以得出条纹衬比度与光源光谱展宽及光程差条纹衬比度与光源光谱展宽及光程差 的的定量关系如下（推导过程略）：定量关系如下（推导过程略）： )(sin )sin

58、( 2 2 sin 2 2 c L c k k V 点源点源S 单色，整个单色，整个面面V 1. 点源点源S 非单色，非单色，面点面点P随与随与 P0的距离增加，的距离增加，V S S1 S2 P 0 P 1 R 2 R 1 r 2 r P 点场是点场是S 通过不同路径经通过不同路径经 不同时间在该点的交会叠加。不同时间在该点的交会叠加。 1122 12 , RrRr tt cc 2211 21 ()() P RrRr ttt cc P点的干涉效果取决于同一源点（点的干涉效果取决于同一源点（S）在时间差为）在时间差为 tP 的的 不同时刻发出的两光场的相关程度。不同时刻发出的两光场的相关程度。

59、 因同一源点（因同一源点（S）在不同时刻发出的光波沿光的传播方向）在不同时刻发出的光波沿光的传播方向 （纵向）传播到不同位置（纵向）传播到不同位置A和和B，故又称纵向空间相干性。，故又称纵向空间相干性。 同一源点（同一源点（S）在不同时刻光场的相关程度称为光场的时）在不同时刻光场的相关程度称为光场的时 间相干性。间相干性。 0 12 rr tcLc Lc= c t 。 来自于原子辐射发光的时间有限，所以波列有一定的来自于原子辐射发光的时间有限，所以波列有一定的长度长度 tcLc 可见，光源发出的波列越长，相干可见，光源发出的波列越长，相干 性越好，称性越好，称波列长度波列长度Lc为为。 因为波

60、列长度因为波列长度Lc = ct ，其中其中t 为发光持续时间，为发光持续时间，c为真空中的光速。为真空中的光速。 t ，则相干长度，则相干长度L，相干性就好。，相干性就好。 Lc = c t， t ，则相干长度，则相干长度L，相干性就好。，相干性就好。 所以相干长度所以相干长度 Lc 也可以用也可以用t 来描述，称它为来描述，称它为， 由它决定的相干性为时间相干性。由它决定的相干性为时间相干性。 显然，显然，。 激光的时间相干性远比普通光源好。例如：激光的时间相干性远比普通光源好。例如： 钠钠Na 光，光， 波长波长589.6nm，相干长度，相干长度 3.4 10-2m 氦氖激光氦氖激光 ，