第5章 波动学基础

1、力学 波动学基础 授课教师 杨宏春 5.1 机械波概述机械波概述 (1) 相关概念相关概念 机械波机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 形成条件形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质存在波源；存在传播波的弹性介质 纵波纵波：振动方向与波的传播方向相同的波：振动方向与波的传播方向相同的波 横波横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波 传输条件传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播 波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结

2、果波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果 (2) 机械波产生的物理机制机械波产生的物理机制 (3) 机械波模型机械波模型 振源与观察者保持相对静止振源与观察者保持相对静止 弹性介质无阻尼或能量吸收弹性介质无阻尼或能量吸收波在传递过程中振幅不变波在传递过程中振幅不变 结论结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (4) 机械波的运动学方程机械波的运动学方程 目标目标：给出距振源任意距离：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程处质点的振动方程 o x y x 振动方向振动方向 v 推导推导：设：设 t 时刻时刻 x=0 处的质元振动方程为

3、处的质元振动方程为 )cos(), 0( tAtu t 时刻时刻 x 处的质元振动相位处的质元振动相位 )( v x t t 时刻时刻 x 处的质元振动频率应当等于振源的频率处的质元振动频率应当等于振源的频率 v x tAtxucos),( xtA v cos 22 T Tv 0 2 kk 波矢波矢 kxtAtxucos),( kxtAtxucos),( 讨论讨论 描述一个机械波，需要确定描述一个机械波，需要确定 A， ，k， 波函数给出任意时刻波函数给出任意时刻 t，媒质各质点的振动状态，媒质各质点的振动状态 (相位或振动状态相位或振动状态) 波函数给出了任意时间段波函数给出了任意时间段 t

4、=t2-t1 媒质各质点振动状态差媒质各质点振动状态差 (5) 描述机械波的解析参量描述机械波的解析参量 波长波长 ( )：沿波传播直线上两个相邻同相点：沿波传播直线上两个相邻同相点 (相位差为相位差为2 ) 之间的距离之间的距离 波数波数 ( )：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目 频率频率( )：单位时间内给定的完整波的个数：单位时间内给定的完整波的个数 周期周期(T)：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数 波速波速(v)：单位时间波向外传播完整波数对应的距离：单位时间波向外传播完整波数对

5、应的距离 024681012141618 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x t+ 024681012141618 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x t+ 波长、频率、相位之间的普适关系波长、频率、相位之间的普适关系 T v 例例5.1.1：直线右行平面简谐波：直线右行平面简谐波 v= 20 m/s，A 点的振动方程点的振动方程 y =3 cos4 t 求求：(1) 以以A为坐标原点的波动方程为坐标原点的波动方程 (2)以以B为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程 (3) 以以B为坐标原点，为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式两点的振动方程及振动

6、速度表达式 A D 5m 8m 9m B C (1) 由由ty4cos3 解：解： 20 4 v kA=3， =4 ， =0， kxtAtxucos),(依简谐波标准方程依简谐波标准方程 波函数为波函数为) 5 4cos(3) 20 44cos(3),( x t x ttxu (2) 以以B为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程 ) 5 4cos(3 20 4)(4cos3),( x t xAB ttxu v (3) 以以B为坐标原点，为坐标原点，C、D 两点的振动方程及振动速度表达式两点的振动方程及振动速度表达式 ) 5 13 4cos(3),( ttxu c ) 5 9 4cos

7、(3),( ttxu D ) 5 13 4sin(12),( ttxcv ) 5 9 4sin(12),( ttxDv 例例5.1.2：平面波沿：平面波沿 x 轴正向传播，振幅为轴正向传播，振幅为A，频率为，频率为，波速为，波速为 v ， 设设 t=t时波形如图时波形如图 求求：(1) x=0 处质点的振动方程处质点的振动方程 (2) 该波的波动方程该波的波动方程 024681012141618 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x t+ 解解：已知：已知 A2 (0, )cos()utAt (0,0)0u 3 cos(2)02, 22 tt 平面波沿平面波沿 x 轴正向传播轴正向传

8、播 2 k v d 2sin(2)02 d2 x Att t v (0, )cos2 () 2 utAtt ( , )cos2 () 2 x u x tAtt v (6) 描述机械波的几何参量描述机械波的几何参量 波线波线：波向外传播的方向构成的曲线：波向外传播的方向构成的曲线 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量 波面波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面：介质中振动相位相同的点构成的曲面 波前波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面：某时刻

9、介质中刚开始振动的点构成的曲面 0 2 kk 课堂讨论课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位：波前的相位等于波源的初相位 A 波线与波面、波前一定垂直。波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 证明证明：设振源的简谐振动为：设振源的简谐振动为 0 cos()xAt 时刻时刻 t 振源的相位为振源的相位为 0 ( ) tt 设机械波传到波前所需时间为设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后，波前的相位比振源相位落后 t 于是，于是，t 时刻波前的相位为时刻波前的相位为 00 ( )( )()tt

10、ttt 5.2 波动动力学方程波动动力学方程 5.2.1 典型波动的动力学方程典型波动的动力学方程 (1) 轻质、柔弦的横波方程轻质、柔弦的横波方程 T2 2 1 T1 x+dx x x y 由牛顿定律由牛顿定律 2 2 1122 dsinsin t y sTT 0coscos 1122 TT 微振动时微振动时1coscos 21 x x y 1 sin xx x y d 2 sin 0 2 2 2 2 2 x y a t y T a 如果弦在振动过程中还受到力密度如果弦在振动过程中还受到力密度 (F/ ) 为为 f(x,t) 的横向外力，则的横向外力，则 ),( 2 2 2 2 2 txf

11、x y a t y x x+dx A B C u u+du A B C x (2) 杆中纵波方程杆中纵波方程 设杆的质量密度为设杆的质量密度为 ，杨氏模量为，杨氏模量为Y，横截面积为，横截面积为S，t 时刻时刻dx微元两端微元两端 点偏离平衡位置的距离分别为点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为，那么，微元伸长量为 ( , ) (d , )( , )dd xx u x t u xx tu x txux x 称微元伸长量与原长之比为称微元伸长量与原长之比为相对伸长量相对伸长量 (d , )( , )( , ) d xx u xx tu x tu x

12、 t u xx 由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为 2 2 (d , )( , ) ( d ) u xx tu x tu YSYSS x xxt x x+dx A B C u u+du A B C x 化简得化简得 22 2 22 0 uu a tx 其中其中 Y a 课堂讨论课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案解释方案) 2 2 2 ( , ) cos() u x t x At t v 2 2 22 ( , ) cos() u x t x At x v v 22 2 22 0 yy tx v

13、 对比对比 22 2 22 0 uu a tx T a v 波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度 5.2.2 波动动力学方程求解波动动力学方程求解 在无界空间中，动力学方程的解为在无界空间中，动力学方程的解为 ( , )cos()cos() x u x tAtxAt vv 验证验证 绳的微振动横波绳的微振动横波T：绳的张力：绳的张力 杆的纵向微振动波杆的纵向微振动波 Y：杨氏弹性模量：杨氏弹性模量 杆的横向微振动波杆的横向微振动波G：切变弹性摸量：切变弹性摸量 声音在空气中传播声音在空气中传播B：体变模量：体变模量 T a Y a G a B

14、 a 5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度机械波的能量、能量密度和能流密度 (1) 机械波的动能机械波的动能 设简谐波设简谐波 )cos(),(xtAtxu v x x x+dx u(x,t) u(x+dx ,t) (2) 机械波的势能机械波的势能 弹性模量弹性模量 Yu x Ys F x u Y s F 类比弹簧类比弹簧kxF 2 2 1 kxE p 2 2 2 )( 2 1 x uVY u x Ys E p )(sin 2 1 )( 2 1 2222 v x tAVVE p （应变）（应变）弹性模量弹性模量 微元动能微元动能 v v x tAV t u VmEk 222 2 2 sin

15、 2 1 2 1 2 1 v v x tAV t u VmEk 222 2 2 sin 2 1 2 1 2 1 )(sin 2 1 )( 2 1 2222 v x tAVVE p （应变）（应变）弹性模量弹性模量 (3) 机械波的能量机械波的能量 v x tAVEEE pk 222 sin (4) 机械波的能量密度机械波的能量密度 vv x tA x tA V E 2cos1 2 1 sin d d 22222 22 02 1 d 1 At T T 平均能量密度平均能量密度 2 1 pk 平均动能、势能能量密度平均动能、势能能量密度 讨论：讨论： 机械波的能量传输特性机械波的能量传输特性 A

16、关于能量守恒关于能量守恒 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量；机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量； 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒；机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒； 机械波能够向外传输；机械波能够向外传输； B 关于能量传输特性关于能量传输特性 机械波能量密度传输速度仍为机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的，但频率是机械波频率的 2 倍；倍； 介质微元的动能、势能和能量密度介质微元的动能、势能和能量密度同步同步传输；传输； (5) 简谐波的能流密度简谐波的能流密度 (波的强度波的强度) 能流能流：单位时间通过介质中与传播速度垂

17、直的某一面积的能量：单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量 sp v sp )(v 平均能流：平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量 能流密度能流密度 (坡印亭矢量坡印亭矢量) v I 平均能流密度矢量平均能流密度矢量v I 对平面简谐波对平面简谐波 v 22 2 1 AI 课后作业课后作业：练习：练习p180-182，例，例5.4.1-例例5.4.3 5.4 声波、超声波和次声波声波、超声波和次声波 (自学章节自学章节) 5.5 波的干涉、驻波波的干涉、驻波 5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射惠更斯原理、波的反

18、射与折射 (1) 惠更斯原理惠更斯原理 任一时刻波前上各点都可作为任一时刻波前上各点都可作为子波子波的波源，向前发出子波；的波源，向前发出子波； 后一时刻各子波的后一时刻各子波的包迹包迹，就是该时刻新波的波前；，就是该时刻新波的波前； 课堂讨论课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律 A B C D i i (2) 波的反射与折射波的反射与折射 (1) 波的叠加原理波的叠加原理 各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播；各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播； 在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加在各列波相遇的区域里，质点的

19、振动为各列波在该点引起振动的叠加 (2) 波的干涉波的干涉 5.5.2 波的叠加原理、波的干涉波的叠加原理、波的干涉 相干波相干波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波 波的干涉波的干涉：相干波在其公共区域内叠加形成波强度稳定的空间强弱分布：相干波在其公共区域内叠加形成波强度稳定的空间强弱分布 A 相关概念相关概念 B 波强度稳定的空间分布波强度稳定的空间分布 设两列相干波源的振动分别为设两列相干波源的振动分别为 )cos(), 0( 111 tAtu )cos(), 0( 222 tAtu S2 S1 r1 r2 P ) 2 cos(),

20、( 1 1 111 r tAtru ) 2 cos(),( 2 2 222 r tAtru )cos(),(),(),( 2211 tAtrutrutru p cos2 21 2 2 2 1 AAAAA )( 2 )( 1212 rr 讨论：讨论：I 波强度波强度 cos2 2121 IIIII II 相长干涉相长干涉 )12()( 2 )( 1212 krr 2, 1, 0 k 21 AAA III 相消干涉相消干涉 IV 波程差与波的干涉波程差与波的干涉 )( 2 )( 1212 rr 21 2 )( 2 12 rr krr 12 2, 1, 0 k 21 AAA 相长干涉相长干涉 ) 2

21、 1 ( 12 krr 2, 1, 0 k 相消干涉相消干涉 21 AAA 2)( 2 )( 1212 krr 2, 1, 0 k 21 AAA 例例 5.5.1：如图，已知振源：如图，已知振源 S1，S2，PS1= 4 m，S1S2= 3 m，两振动有如下共，两振动有如下共 同物理量：同物理量：A=5 cm，v=330 m/s，v =165 Hz， 2- 1= 求求：P 点的干涉结果点的干涉结果 3m 4m S2S1 P 解解：相位差相位差 2 v )( 2 )( 1212 rr 10 21 AAA 543 22 2 PS 12 0 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA波强度波强度 5

22、.5.3 驻波驻波 (1) 驻波形成条件驻波形成条件 振幅、频率、振动方向相同的两列波在同一条直线上反向传播振幅、频率、振动方向相同的两列波在同一条直线上反向传播 (2) 驻波的运动学参量的时空分布驻波的运动学参量的时空分布 ) 2 cos(),( 1 x tAtxu ) 2 cos(),( 2 x tAtxu t x Atxutxutxu cos 2 cos2),(),(),( 21 -1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 t=T/2 t=3T/8 t=T/4 t=T/8 t=0 u x 讨论：讨论：A

23、 振幅分布规律振幅分布规律 x tAt x Atxu 2 coscos2cos 2 cos2),( 给定空间点，质点以确定振幅谐振给定空间点，质点以确定振幅谐振 给定时刻给定时刻 t，驻波是一空间波分布，驻波是一空间波分布 相邻波腹、波节的距离相邻波腹、波节的距离 2 x t x Atxu cos 2 cos2),( 2 2 kxk x 时时AA2 2, 1, 0 k波腹波腹 4 )12( 2 )12( 2 k xk x 2, 1, 0 k 时时0 A波节波节 B 相位分布规律相位分布规律 -1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

24、 1.0 1.5 2.0 t=T/2 t=3T/8 t=T/4 t=T/8 t=0 u x I 相邻波节内的质点振动相位相同相邻波节内的质点振动相位相同 在第在第 k 和和 k+1 波节内的质点波节内的质点 4 32 4 12 k x k 4 322 2 12 kxk t x Atxu cos 2 cos2),( 在第在第 k 和和 k+1 波节内的所有质点都具有相同相位波节内的所有质点都具有相同相位 = t II 同一节点两侧对称质点相位相反同一节点两侧对称质点相位相反 对第对第 k 波节两侧的质点波节两侧的质点 4 12 k x 2 122 kx cos 2 cos2),(),( t x

25、Atxutxu k kk 4 12 k x 2 122 kx 在第在第 k 波节两侧对称质点，其相位相差波节两侧对称质点，其相位相差 (3) 驻波能量的时空分布驻波能量的时空分布 t x Atxu cos 2 cos2),( t x Atx sin 2 cos2),( v 以弹簧纵驻波为例讨论驻波能量时空分布以弹簧纵驻波为例讨论驻波能量时空分布 222 )cos 2 (cos4),( 2 1 ),(t x kAtxkutxE p 222 )sin 2 (cos4),( 2 1 ),(t x kAtxmtxEk v 2222 ) 2 (cos4),( 2 1 ),( 2 1 ),( x kAtx

26、mtxkutxE v 给定空间质点的势能、动能相互转换；能量变化频率为振动频率的给定空间质点的势能、动能相互转换；能量变化频率为振动频率的 2 倍倍 给定空间质点的总能量守恒；驻波不定向传输能量给定空间质点的总能量守恒；驻波不定向传输能量 (4) 简正模式简正模式 -1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 u x 简正模式简正模式：由某一频率及其整数倍分离频率组成的工作模式：由某一频率及其整数倍分离频率组成的工作模式 本征频率本征频率：简正模式中的分离频率：简正模式中的分离频率 基频基频：简正模式中的最低频

27、率：简正模式中的最低频率 案例分析案例分析：两端固定绳中的稳定波：两端固定绳中的稳定波 (驻波驻波) 由驻波条件由驻波条件 2 kl k l k 2 l kfk 2 v 5.5.4 半波损失半波损失 (1) 驻波节点的半波损失驻波节点的半波损失 课堂讨论课堂讨论：将驻波节点考虑为反射点，讨论波的反射存在半波损失：将驻波节点考虑为反射点，讨论波的反射存在半波损失 课堂讨论课堂讨论：分析半波振子天线的通带和阻带：分析半波振子天线的通带和阻带 (2) 一般界面反射的相位突变问题一般界面反射的相位突变问题 波阻抗波阻抗 Z： ， 介质密度，介质密度，v 波速波速 波密媒质波密媒质：具有较大波阻抗的介质

28、：具有较大波阻抗的介质 波疏媒质波疏媒质：具有较小波阻抗的介质：具有较小波阻抗的介质 界面反射系数界面反射系数 v Z 21 21 ZZ ZZ 波由波疏媒质垂直和掠入射波密媒质，存在半波损失；而一般情形较复杂波由波疏媒质垂直和掠入射波密媒质，存在半波损失；而一般情形较复杂 例例5.5.2：o 点处波源振动方程点处波源振动方程 u(x,t) =Acos t，在，在 x= - 3 /4 的的Q点有反射壁点有反射壁 求求：(1) 沿沿x轴正向、负向传播的波动方程轴正向、负向传播的波动方程 (2) 反射的波动方程反射的波动方程 (3) oQ 区域内合成波的方程区域内合成波的方程 (4) x0 区域内的

29、合成波动方程区域内的合成波动方程 解解：(1) 沿沿 x 轴正向传播的波动方程轴正向传播的波动方程) 2 cos(),( 1 x tAtxu 0 x 沿沿 x 轴负向传播的波动方程轴负向传播的波动方程) 2 cos(),( 2 x tAtxu 0 x (2) 反射的波动方程，入射到反射的波动方程，入射到 Q 点的振动方程为点的振动方程为 ) 2 3 cos() 4 3 ( 2 cos),( tA x tAtxu Q 考虑半波损失，经考虑半波损失，经Q 点反射、且在点反射、且在oQ区域内区域内的波方程的波方程 xtAxtAtxur 2 cos 4 32 2 3 cos),( 在在 x0 区域区域

30、的反射波方程的反射波方程 xtAxtAtxur 2 cos 4 32 2 3 cos),( 在在所有区域所有区域的反射波方程的反射波方程 xtAtxur 2 cos),( (3) oQ区域内合成波的方程区域内合成波的方程 txAxtAxtAtxu cos 2 cos2) 2 cos() 2 cos(),( (4) x0 区域内的合成波动方程区域内的合成波动方程 ) 2 cos(2) 2 cos() 2 cos(),(xtAxtAxtAtxu 5.6 多普勒效应多普勒效应 波源、观察者存在相对运动时，观测频率随相对运动状态变化而变化波源、观察者存在相对运动时，观测频率随相对运动状态变化而变化 0

31、 5.6.1 机械波典型情形下的多普勒效应机械波典型情形下的多普勒效应 (1) 观察者与波源相对静止观察者与波源相对静止 相对静止时，观察者测得波的频率为单位时间内经过观察点的完整波数相对静止时，观察者测得波的频率为单位时间内经过观察点的完整波数 R v 观察者测得的频率等于振源的振动频率观察者测得的频率等于振源的振动频率 (2) 波源相对静止，观察者观察者以波源相对静止，观察者观察者以 vr 运动运动 观察者相对运动时观察者相对运动时 (相向相向)，单位时间多测得的波数为，单位时间多测得的波数为 vR v vv v vvvv RRR R 观察者测得的波的频率为静止时的观察者测得的波的频率为静止时的 1+vR/v 倍倍 (3) 观察者相对静止，波源以观察者相对静止，波源以 vs 运动运动 波源相对于媒质以速度波源相对于媒质以速度 vs 运动运动 (相向相向) ，测得的波长改变量为，测得的波长改变量为 s ssR TT vv vvv )( 0 sR R vv vv 观察者测得的波的频率升高观察者测得的波的频率升高 (降低降低) 0 课堂讨论课堂讨论：马赫锥、声障与声爆：马赫锥、声障与声爆 sR R vv vv 讨论讨论 I 当当 vsv 时，波源前方不引起振动，波前构成时，波源前方不引起振动，波前构成马赫锥马赫锥；机械波形成；机械波形成冲击波冲击波 vt vst Mt