二次函数的最值问题精选教学文档

1、典型中考题(有关二次函数的最值)一、选择题1 .已知二次函数y=a (x-1) 2 +b有最小值 t,则a与b之间的大小关()a. abd 不能确定答案：c2 .当一2wx制，二次函数y=- (x-m) 2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()a、- 7b、石-73c、2或-73d2或-氏或-4答案：c当一2wx司寸，二次函数 y=- (x-m) 2+m 2+1有最大值4,，二次函数在一2wxwt可能的取值是 x=2或x=1或x=m.当 x= 2 时，由y=-(x-m ) 2+m 2+1 解得 m= -, y =652+5 ,它在一2wx说最大值,与题意不符.当 x=1 时，由 y=- (x

2、-m ) 2+m 2+1 解得 m=2 ,此时 y=- (x-2)是4,与题意相符.当 x= m 时，由 4=- (x-m ) 2+m 2+1 解得 m=j3，当 m= - j3 此时 y=- (x+ j3 ) 2+4 .它在一2wx湎最大值是4,与题意相符；当 m= 6 , y=- (x- v3 ) 2+4它在2w x在以=1处 取得，最大值小于 4,与题意不符.综上所述，实数 m的值为2或-j3 .故选c.123.已知0wx2,那么函数y=-2x+8x-6的最大值是()a -10.5b.2 c . -2.5 d. -6答案：c解：= y=-2x2+8x-6=-2 (x-2) 2+2.，该抛

3、物线的对称轴是x=2,且在xv 2上y随x的增大而1增大.又 0x1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。真确的个数是（）a,1个b、2个 c 3个d、4个答案：b 分析：将（1, 0）点代入函数，解出 k的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判断；当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当kw 0时，函数为抛物线，二出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：真，将（1, 0）代入可得：2k- （4k+1 ） -k+1=0 ,解得：k=0 .运用方程思

4、想；假，反例：k=0时，只有两个交点.运用举反例的方法；b 5.,.一 一 一一 一 假，如k=1 ,-=-,当x 1时，先减后增；运用举反例的方法；真，当k=0时，函数无最大、最小值；4ac-b 224k2+1y 最=- 4a 8k当k 0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正.运用分类讨论思想.二、填空题：ab1、如图，已知；边长为 4的正方形截去一角成为五边形abcde其中af=2, bf=l,在上的一点p,使矩形pndm有最大面积，则矩形 pndm的面积最大值是 ef答案：12针析1延长yp交ef于g点，设pg=x，则pn=；r，利用平行线枸造相儡三扇形,得出统段的比

5、相等从而森示矩膨fhni的长、宽，再表示矩形的面积，利用削方法求的额的对称帼，根据x的取值范围来最大值.t第普1解：延长f交ef于g点，设夏g=k 9 cllpk=4-x *vf&/bf -:.工pgs aabf，二-梏=空，即冬=，解得上。=言，ar fb 2 1，mf=eg=eatg=2e，,-srndm=pm*pk= (2+2x) ( d-z)=-2x26ets =-2 (x-)( ocscl )，12,.-20. pg=xbf=i -，,抛柳蛀开口向下，当k=：时，函数背最大值为2、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为 时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4,

6、8解：设直角三角形得一直角边为x,则，另一边长为 8-x ;设其面积为s. s= x (8-x)(0x8).配方得 s=- (x 2-8x)=-(x-4)2+8当x=4时，s最大=8.及两直角边长都为 4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数y=2 - ,4x-x2(0 w x w 4)的最大值与最小值分别是 答案：2,0解：j4x-x 2最小值为0,当4x-x2取最大彳1时 “x-x 2最大，即x=2时，,4x-x 2最大为4,所以，当x=0时，y最大值为2,当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数 y=x2+2x+a(0x0,0yxw0.2而 y =60(1 -x ) -50

7、(1 -xj一 2 一=50x40x 10=-50 x -0.4 2 18当x 0.4时，利用二次函数的增减性，y随x的增大而增大，而0 y x 0.2 ,.当x =0.2时，y最大值=18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函 数的最值。2、如图，二次函数的图象经过点 得的线段ab的长为6.d(0,),且顶点c的横坐标为4,该图象在x轴上截求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴

8、上找一点巳使pa+pdm小，求出点 p的坐标；在抛物线上是否存在点 q,使 qab与4abc相似？如果存在，求出点 不存在，请说明理由.q的坐标；如果解：(1)设二次函数的解析式为：y=a (x-h) 2+k 顶点c的横坐标为4,且过点(0, m) -y=a (x-4) 2+k, 9=16a+kcd又.对称轴为直线 x=4,图象在x轴上截得的线段长为 6 a (1, 0), b (7, 0) .0=9a+kv3由解得a= 9 , k= -v3v3二次函数的解析式为：y= 9 (x-4) 2-43(2)二点a、b关于直线x=4对称pa=pbpa+pd=pb+p氏 db，当点p在线段db上时pa+

9、pd取得最小值 .db与对称轴的交点即为所求点p设直线x=4与x轴交于点 m1. pm / od, ./ bpm=/ bdo, 又/ pbm=/ dbo . bpma bdo ph bkv3.点p的坐标为（4, 3）(3)由(1)知点 c (4,年),又 am=3,v3 在 rtaamc 中，cot/acm= 3 , ./acm=60 ,.ac=bc, ./ acb=120当点q在x轴上方时，过 q作qn x轴于n如果 ab=bq,由 abb4abq有 bq=6, / abq=120 ,则/ qbn=60 .qn=3 口 bn=3, on=10,此时点q (10, v3),如果ab=aq,由对

10、称性知q（- 2, wl）当点q在x轴下方时， qab就是aacb,此时点q的坐标是（4, 一如）,经检验，点（10, 36）与（-2, w1）都在抛物线上综上所述，存在这样的点 q,使 qabs abc点q的坐标为（10, v3）或（-2, v3）或（4, 一陋）.03、如图，抛物线经过 一*一 一三点.（1）求出抛物线的解析式； p是抛物线上一动点，过 p作 并r-轴，垂足为 m,是否存在p点，使得以a, p,m为顶点的三角形与 韩一相似？若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线ac上方的抛物线上有一点 d,使得 料*.的面积最大，求出点 d的坐标.解：(1)

11、 .该抛物线过点 c (0,-2), . 可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2,将 a (4, 0), b (1, 0)代入，160 + 4i-2 = 0, 得曰+l，1a j2b 一 -解得i 2 ,，此抛物线的解析式为(2)存在,125m 十一阳一工如图，设p点的横坐标为 m,则p点的纵坐标为22175pm - - + m - 222当 1vmv4 时，am=4-m ,. /coa=/ pma=90 ,am ao _2当pm oc t时， apma aco,即 4-m=2 （二加解得mi=2, m2=4 （舍去）， p （2,1）;am oc_ 1当pm oa 2时， apma ca

12、o,2(4-ni) - -m2 + -m2即2 上，解得mi=4, m2=5 (均不合题意，舍去)当 1vm4时, 当 m1 时，p (-3, -14) 综上所述，符合条件的点1),p (5,-2),p 为(2, 1)或(5-2)或(-3, -14);acb(3)如图，设d点的横坐标为t (0vt44 5(2 )根据ziageiaad j-cd 得出ag=q eg= k f 同理可得：ch=j fh=j (百-x ),再根据5= 4 k*x 4(tx)2然后进行整理即可求出最大值. x jx j d解翠；解：(1) vegad . cd1a0 ,/.egiicd fage7adc .a eg

13、ac =cp r,ad4,cd3,，ac二2-4二=5 f:.ae* eg ,同理可得；cf=| fh，ae+cf + ef=5 r eg+fh = ef ,ef*ef=5(2 )1age7adc ,ag eg ad cd *44.ag = ； eg：, x t勺最八值44 i s同理可得：ch= fh= ( -g- -x )7564 =5.如图，点c是线段ab上的任意一点(c点不与a、b点重合)，分别以ac bc为边在直线 ab的同侧作等边三角形 acd和等边三角形 bce, ae与cd相交于点 m, bd与ce相交于点 n.(1)求证：mn/ab;(2)若ab的长为10cm,当点c在线段a

14、b上移动时，是否存在这样的一点c,使线段mn的长度最长 *存在，请确定 c点的位置并求出 mn的长；若不存在，请说明理由.(1)由题中条件可得 aac图dcb,进而得出zacma don,即cm=cn, amcn是等边 三角形，即可得出结论；(2)可先假设其存在，设 ac=x, mn=y,进而由平行线分线段成比例即可得出结论.解答(1)证明：. acd与4bce是等边三角形，.ac=cd, ce=bc / ace玄 bcd, 在aace与adcb中， .ac=cd/ace=z bcdce=bc. .ac dcb (sas , / cae玄 bdc, 在aacm与adcn中， / cae玄 bd

15、cac=cdzacm=z dcnacma dcn,.cm=cn,又 / mcn=180 -60 -60 =60,. mcn是等边三角形，/ mnc=z ncb=60 即 mn / ab;(2)解：假设符合条件的点 c存在，设ac=x, mn=y, mn i ab,.nln _ enc=ec3即匚与”x 10-xy=- (x-5)2 5 (0x10).10当支=5日寸 jb ymflt =2.5cm.6、如图，在aabc中，/a=90。，bc=10, abc的面积为25 ,点d为ab边上的任意一点(d不与a、b重合)，过点d作de / bc ,交ac于点e .设de = x以de为折线将 ade

16、翻折，所得的mde与梯形dbce重叠部分的面积记为y.(1) .用x表示？ade勺面积；(2) .求出0 x05时y与x的函数关系式；(3) .求出5cx 10时y与x的函数关系式;(4) .当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?a解:即 sadev de/ bc/ adew b, / aedw cs ade de 2 二 (心) ad曰 aabc 二 saabcbc1 2=x4(2) bc=10 ；bc边所对的三角形的中位线长为 512.l y = s ade = 一 x.当 0c xm5 时4(3) 5 mx 10时，点a落在三角形的外部，其重叠部分为梯形saade=sad=1 x de

17、边上的高 ah=ah=2由已知求得af=5 .af=aa-af=x-5由amn ade 知s.amn _ / a f 2 =()s.adea h2s.amn = (x - 5)1 22y x -(x -5)4-x2 10x -2541 2y = - x(4)在函数4 中250 x5.当 x=5 时 y 最大为：43 2y = -x 10x -25在函数 4中b2025x 二一一二 一一当2 a3时y最大为：325254 325de的解析式：y24 丁.m (244120x =当 3时，y最大为:1 ，7、如图，抛物线y = x2 +bx2与x轴父于a、b两点，与y轴父于c点, 2且 a (-1

18、, 0)。(1)求抛物线的解析式及顶点d的坐标(2)判断 abc的形状，证明你的结论(3)点m ( m1 0)是x轴上的一个动点， 当mc+md的值最小时，求 m的值解：(1)将 a (1, 0)代入 y=1x2 +bx 22得b=3 ,所以抛物线的解析式y=1x2-x-2 222配方得：丫;工j.3)2 .空，所以顶点d1-,-25 1： 22828(2)求出 ac5 , bc 0 , .当n= 9时，线段pc最大且为4948(3) . pac为直角三角形，i)若点p为直角顶点，则/ apc=90 .由题意易知，pc / y轴，/ apc=45 ,因此这种情形不存在；ii )若点a为直角顶点，则/ pac=90如答图3-1 ,过点a ( 1 , 5 )作an x轴于点n ,则on= - , an=-2222过点a作am，直线ab ,交x轴于点m ,则由题意易知，4amn为等腰直角三 角形，mn=an= 5 , om=on+mn=+ 5 =3 22m (3, 0).设直线am的解析式为：y=kx+b ,则：一 k+b= -, 3k+b=0 ,解得 k=-1 , b=322,直线am的解析式为：y=-x+3又抛物线的解析式为：y=2x 2-8x+6 1联立式，解得：x=3或x=2(与点a重合，舍去)c ( 3, 0),即点 c、m 重合.当 x=3 时，y=x+2=5 ,pi (3