二次函数的最值问题和复习

1、精品教案教师：刁婿国土堂或中小学1修1热事用申e二次函数的最值问题【知识要点】,24ac - b4a二次函数的一般式 y = ax2+bx+c（a#0）化成顶点式y=a（x + -b）22ai、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2一 b（i）当a a 0时，函数有最小值，并且当 x = - - 2a（2） a 0时，函数有最大值，并且当 x , 2a24ac - by最小值二4a24ac 一 by最大值4a2、如果自变量的取值范围是x1 x x2 ,（1）如果顶点在自变量的取值范围 x1 wxwx2内，则当xb=一丁， y最值2a4ac - b;4a（2）如

2、果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性; 如果在此范围内y随x的增大而增大，则当x = x2时，当x = x1时, 如果在此范围内y随x的增大而减小，则当当x = xi 时,x =x2 时,y最大=ax2 +bx2 +c, y 最小=axi2 + bxi + c ; y最大=axi2 + bxi + c, y最小=ax2 + bx2 + c.例：求下列二次函数的最值：（i）求函数y =x2 +2x-3的最值.（2）求函数y = x2 + 2x-3的最值.（0 x 0时u抛物线开口向上 u顶点为其最低点；当a父0时u抛物线开口向下 u顶点为其最高点.y = ax2 (a =

3、 0).y轴的抛物线.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为3 .二次函数 y = ax2 +bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)4 .二次函数y = ax2+bx+ c用配方法可化成：y = a(xh f + k的形式，其中h =-,k = 4ac- b . 2a4a5 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y = ax2 ；y = ax2 + k ;y = a(x - h f ；y = a(x - h 2 + k ; y = ax2 + bx + c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当 a0 (即

4、a、b同号)时，对称轴在 y轴左侧; 2aab 0 ,与y轴交于正半轴； c 0 ,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 - 0时 开口向上当a 0时 开口向卜x = 0 ( y 轴)(0,0 )2y = ax + kx = 0 ( y 轴)(0, k)22 2y =a(x -h)x = h(h,0)22 2y =a(x -h) +kx = h(h，k)y = ax2 + bx + cbx =2a/ b 4ac - b2(c ，) 2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y =ax2 + bx+c.已知图像上三点或三对

5、x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：y =a(x -h 2 +k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 必、x2,通常选用交点式：y = a(x x1(x-x212.直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线 y = ax2 +bx + c得交点为(0, c).(2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax2+bx + c有且只有一个交点(h , ah 2 + bh + c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数 y = ax2 +bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2 ,是对应一元二次方程2ax +bx+c = 0的两个实数根.抛

6、物线与x轴的交点情况可以由对应的一兀二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 aa0u抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)u & = 0 0抛物线与x轴相切；没有交点 u 工0, c 0d. ab0, c 一一一y = ax , bx , c中，其函数3、抛物线y =x2 2x3与x轴分别交于a、b两点，则ab的长为x01234y410144、已知二次函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:点a（x1，y1）、b（x2,丫2）在函数的图象上，则当1 x12, 3x2v2b-vi c-vi v2d .vi 0)的两个实数根 x1、x2满足x1 + x2 = 4和xj_x2 = 3,

7、那么次函数y =ax+ bx+c(a 0)的图象有可能是(2)6、二次函数2y=ax +bx + c的图像如图所不，反比列函数a ，y =一与正比列函数 y = bx在同一坐标系内的大致图像是()aycbd2x值恰好有三个，则k的值为x -1 -1 x0)与x轴交于a、b两点. 4(1)求证：抛物线的对称轴在 y轴的左侧；112(2)若，=2 ( o是坐标原点)，求抛物线的解析式；ob oa 3(3)设抛物线与y轴交于点c,若aabc是直角三角形，求 abc的面积.10、已知抛物线 y = x2+mx m+ 2.(1)若抛物线与x轴的两个交点 a、b分别在原点的两侧，并且 ab= j5,试求m的值；(2)设c为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点m n并且 mnc的面积等于27,试求m的值.匡士空11、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1 ： 11000的比例图上，跨度 ab= 5 cm,拱高oc= 0.9 cm,线段de表示大桥拱内桥长，de/ ar如图（1）.在比例图上，以直线 ab为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1