运动学点的运动及刚体的简单运动

1、2021-7-10 2021年年7月月10日日 2021-7-10 运动学的研究对象运动学的研究对象 几何点，称为几何点，称为“动点动点”；刚体。；刚体。 运动学的研究任务运动学的研究任务 研究物体的空间位置随时间变化的几何研究物体的空间位置随时间变化的几何 性质性质。包括运动方程运动方程，点的运动轨迹点的运动轨迹，速度速度 方程方程，加速度方程加速度方程。 表征运动几何性质的基本物理量表征运动几何性质的基本物理量 、 、 、 、 、 、 2021-7-10 点点(point) 刚体刚体(rigid body) 运动学模型及运动形式运动学模型及运动形式 模型模型 点：点：不计几何形状和尺寸的理

2、不计几何形状和尺寸的理 想物体，此时转动和变形想物体，此时转动和变形 对运动的影响忽略不计。对运动的影响忽略不计。 2021-7-10 运动形式运动形式 A.直线运动直线运动(rectilinear motion) B.曲线运动曲线运动(curvilinear motion) 点的运动形式点的运动形式 2021-7-10 刚体刚体的的运动形式：运动形式： A A、平移、平移(Translation) 其上任一直线永远平行于自己的初始位置其上任一直线永远平行于自己的初始位置 刚体上或拓展空间内有一直线始终保持不刚体上或拓展空间内有一直线始终保持不 动，其上各点均绕此直线作圆周运动。动，其上各点均

3、绕此直线作圆周运动。 B B、定轴转动：、定轴转动：(Fixed-axis rotation ) 2021-7-10 C C、平面运动：、平面运动：（Planar motion） 刚体上各点到某一平面距离相同。刚体上各点到某一平面距离相同。 D D、定点转动：、定点转动： Rotation around a Fixed Point 其上有一点永远保持不动。其上有一点永远保持不动。 刚体的复杂运动。刚体的复杂运动。 F F、一般运动：、一般运动：General motion 2021-7-10 运动的转换关系运动的转换关系 2021-7-10 物体的运动是相对于不同的观察者物体的运动是相对于不同

4、的观察者 而言的。而言的。 运动学中对参照系的选取无任何要运动学中对参照系的选取无任何要 求，但不同的坐标系下对同一物体运动求，但不同的坐标系下对同一物体运动 的数学描述则完全不同。故的数学描述则完全不同。故应选取最易应选取最易 进行数学描述的参照系进行数学描述的参照系。 参考系和参照体参考系和参照体 2021-7-10 参考系参考系(reference system) ：用于描述物体运用于描述物体运 动特征的坐标系（如直角、自然、极坐标系、动特征的坐标系（如直角、自然、极坐标系、 柱坐标系、球坐标系等）；柱坐标系、球坐标系等）； 参照体参照体(reference body) ：参考系的载体参

5、考系的载体 ； 定参考系定参考系(fixed reference system)：参照体通参照体通 常为地球的参考系，如地面，简称常为地球的参考系，如地面，简称定系定系； 动参考系动参考系(moving reference system)：与定参与定参 考系有相对运动的参考系，简称考系有相对运动的参考系，简称动系动系。 参考系和参照体参考系和参照体 1-1 1-1 点的运动点的运动 1-2 1-2 刚体的平动刚体的平动 1-3 1-3 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动 运动方程运动方程 trr M r r M z O x y v r 1-1 1-1 用用( (一动点相对于坐标一动点相对于坐标

6、系原点的位置矢量系原点的位置矢量) ) 描述动点描述动点 在参考系中的运动特征；在参考系中的运动特征； 的末端描绘出的一条连续的末端描绘出的一条连续 曲线曲线( (矢端曲线矢端曲线) )即为动点的即为动点的 运动轨迹运动轨迹。 速度速度(velocity)(velocity) r dt rd t r v t lim 0 位移位移 (Displacement) r 切线方向切线方向 描述点在某瞬间运描述点在某瞬间运 动的快慢和方向动的快慢和方向 位矢位矢 端线端线 一、一、 rv 加速度加速度(acceleration)(acceleration) M点的速度矢端图点的速度矢端图 (hodogr

7、aph of velocities) 描述点的速度矢量对时间的变化率描述点的速度矢量对时间的变化率即即 点在该瞬间速度的大小和方向的变化率点在该瞬间速度的大小和方向的变化率 dt vd t v a t 0 lim 将点在不同瞬时速度平将点在不同瞬时速度平 移至移至O点，连接速度矢端点，连接速度矢端 构成的连续曲线构成的连续曲线； 描述速度大小和方向变描述速度大小和方向变 化的图像化的图像 。 v 二、二、 1. 点的运动方程：点的运动方程： kzj yi xr )()( 1 txtfx )()(2tytfy )()(3tztfz 点的轨迹方程：点的轨迹方程： 0),(zyxf r ),(zyx

8、M z O x y x y z j i k 3. 点的速度点的速度:(定参考系定参考系) zyx vvv kzi yi x dt kzi yi xd dt rd v )( 点的速度在直角坐标轴上的投影等点的速度在直角坐标轴上的投影等 于点的各对应坐标对时间的一阶导数于点的各对应坐标对时间的一阶导数 r ),(zyxM z O x y x y z j i k 2021-7-10 222 zyxvvvv v v v v v v z y x ),cos( ),cos( ),cos( kv jv iv 4 点的加速度：点的加速度： kzj yi x kvjviv kajaia dt vd a zyx

9、zyx 222 zyxaaaa a a a a a a z y x ),cos( ),cos( ),cos( ka ja ia 解：解： 建立图示直角坐标系，建立图示直角坐标系， 由几何关系可得由几何关系可得M点点 的运动方程为：的运动方程为： cos)(CMOCx sinAMy talcos)( talsin)( 例例1 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC可绕定轴可绕定轴O转动，其端点转动，其端点C与规与规 尺尺AB的中点以铰链相连接，的中点以铰链相连接，A、B端分别在相互垂直端分别在相互垂直 的滑槽中运动。已知：的滑槽中运动。已知：OC = CB = CA = l，MC = a， = t。试求规

10、尺上点。试求规尺上点M的运动方程、运动轨迹、速度的运动方程、运动轨迹、速度 和加速度。和加速度。 1 )()( 2 2 2 2 al y al x 消去参数消去参数t可以得到显函数形式的轨迹方程：可以得到显函数形式的轨迹方程： 经求导后可得经求导后可得M点的速度和加速度方程：点的速度和加速度方程： talxv x sin)( talyv y cos)( talxa x cos)( 2 talya y sin)( 2 椭圆椭圆 合成速度与加速度：合成速度与加速度：P118 taly talx sin)( cos)( 例例2如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒如图所示，当液压减振器工作时，

11、它的活塞在套筒 内作直线往复运动。设活塞的加速度内作直线往复运动。设活塞的加速度 （v为活为活 塞的速度，塞的速度，k为比例常数为比例常数)，初速度为，初速度为v0。 求活塞的运动规律求活塞的运动规律。 akv 解：解：1 活塞作直线运动，取坐标轴活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图如图 kv t v a d d 2 由 v v t tk v v 0 0 d d 得 kt evvkt v v 0 0 ,ln kt ev t x v 0 d d 3 由 tevx kt x x t dd 0 0 0 得 kt e k v xx 1 0 0 三、三、自然坐标法自然坐标法 自然法适用于描述非自由质点运动自

12、然法适用于描述非自由质点运动 O M s (+) (-) 运动方程运动方程( (沿轨迹的运动规律沿轨迹的运动规律) ) )(tfs 弧坐标弧坐标 （ arc coordinate ） 弧长为代数量弧长为代数量 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 M 密切面密切面(osculating plane) M M M M 密切面密切面 自然轴系自然轴系(trihedral axes of a space curve) 主法线单位矢量主法线单位矢量n 切向单位矢量切向单位矢量 副法线单位矢量副法线单位矢量 b nb 过过M点的密切面点的密切面 主法线指向曲线凹侧主法线指向曲线凹侧 副法线垂直于切线和主法线

13、副法线垂直于切线和主法线 构成右手系构成右手系 法平面法平面 与与M点的点的 切线垂直切线垂直 以以M点为原点，以点为原点，以切线切线、主法线主法线和和副法线副法线 为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M 的的自然坐标系自然坐标系，三轴称为，三轴称为自然轴自然轴。 M 密切密切 面面 3. 速度：速度： v dt ds dt ds ds rd dt rd v M MM 弧长为弧长为 s v 0，同向，与 v 点沿轨迹的负向运动点沿轨迹的负向运动. v 0时，时， 与 与 同向；同向； tanq q 0, 0，点该如何运动 ，点该如何运动? 如果如果 0, 0

14、 ，点该如何运动 ，点该如何运动? 如果如果 0，点该如何运动 ，点该如何运动? 如果如果 0, 0，点该如何运动 ，点该如何运动? 如果如果 0, =0，点该如何运动 ，点该如何运动? v n 下面曲线上哪些点的运动是下面曲线上哪些点的运动是 可能的运动？哪些是不可能的可能的运动？哪些是不可能的 运动？运动？ =0 =0 2021-7-10 0 ssvt 匀速曲线运动匀速曲线运动 匀变速曲线运动匀变速曲线运动 2 1 002 ssv ta t 0t vvat 22 0 2vva 0 s -s 2021-7-10 0, n a 直线运动直线运动 圆周运动圆周运动 =R=常数常数 匀速运动匀速运

15、动 a 常数常数 0,avconst 匀变速运动匀变速运动 2021-7-10 点沿着一螺旋线自外向点沿着一螺旋线自外向 内运动。点所走过的弧长内运动。点所走过的弧长 与时间的一次方成正比。与时间的一次方成正比。 请判断点的运动性质：请判断点的运动性质： 例例1 列车沿半径为列车沿半径为800m的圆弧轨道作匀加速运动。的圆弧轨道作匀加速运动。 如初速度为零，经过如初速度为零，经过2min后，速度达到后，速度达到54km/h。求起。求起 点和末点的加速度。点和末点的加速度。 const t v a d d 2 1 2 1 dd t t v v tav 2 m/s125. 0 602 0 3600

16、 1000 54 法向加速度等于零，列车只有切向加速度法向加速度等于零，列车只有切向加速度 解：解： 12 12 tt vv a 2 m/s125. 0 a 2 2 2 2 m/s281. 0 800 3600 1000 54 R v an 222 m/s308. 0 n aaa tan0.443 n a a q 4523 q 例例2：炮弹射出时，直角坐标下的运动方程为炮弹射出时，直角坐标下的运动方程为 2 2 1 0 0 sin cos gttvy tvx 求求t=0t=0时炮弹的切向加速度和法向加速度，时炮弹的切向加速度和法向加速度， 以及这时轨迹的曲率半径。以及这时轨迹的曲率半径。 o

17、x y 0 v 解： gtv dt dy vv dt dx v yx sin cos 00 2 0 22 0 22 sincosgtvvvvv yx g dt dv a dt dv a y y x x , 0gaaa yx 22 当当t=0时时gavv , 0 2 2 1 0 0 sin cos gttvy tvx 将加速度沿切线和法线方向将加速度沿切线和法线方向 分解有分解有 gaaa n 22 gtv v g dt dv a sin 0 当t=0时， singa cos 22 gaaan 2 0 n v a 由 cos 2 0 2 0 g v a v n 得 2 0 22 0 sincos

18、gtvvv 当t=0时 gavv , 0 例例3 半径为半径为R的轮子沿直轨道无滑动地滚动，设轮子转的轮子沿直轨道无滑动地滚动，设轮子转 角角 = t （ 为常值）。求弧坐标法表示的轮缘上为常值）。求弧坐标法表示的轮缘上 任一点任一点M的运动方程，并求该点的切向加速度、法的运动方程，并求该点的切向加速度、法 向加速度及轨迹线的曲率半径。向加速度及轨迹线的曲率半径。 1、先利用直角坐标法求点的运动轨迹、先利用直角坐标法求点的运动轨迹、 速度、加速度；速度、加速度； 2、再利用自然法求解本题。再利用自然法求解本题。 解：解：取取 = 0时点时点M与与 直线轨道的接触直线轨道的接触 点点O为原点，建

19、为原点，建 立直角坐标系立直角坐标系 Oxy。 由于纯滚动，有：由于纯滚动，有： OC= MC= R )sin(sin1ttRMOOCx )cos1 (cos11tRMOCOy 则则M点的运动方程为：点的运动方程为： )cos1 (tRxvx tRyvysin M点的速度方程为：点的速度方程为： 22 22cos2sin 2 xy t vvvRtRCM 2 =cot 方向方向 当当 t=2kp p/ 时时 即即 =2kp p 轮轨接触点轮轨接触点C vC =0 M CM y y + =90 2 tan( , x)= vy vx =tany y 大小大小 M点的加速度方程为：点的加速度方程为： tRxaxsin 2 tRyaycos 2 222 Raaayx 方向方向 永指向轮心永指向轮心 tan( , x) = ay ax =cot t=tan(90 - ) (当当 t= 2kp p 时时) 常量常量 大小大小 ？ 已知：半径为已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯的圆轮在直线轨道上作纯 滚动（只滚不滑）。轮心速度滚动（只滚不滑）。轮心速度u=常数。常数。 求：轮缘一点求：轮缘一点M的运动方程式、轨迹、的运动方程式、轨迹、 速度与加速度。速度与加速度。 取取 = 0时点时点M与直线轨道的接触与