北京市2019年中考数学专题练习题精选-提分专练(六)特殊四边形相关的计算与证明

1、提分专练（六）特殊四边形相关的计算与证明(18年21题,17年20题)|类型1|平行四边形的判定+线段长度1. 2017 通 州一模如图 t6-1,四边形 abcd的对角线 acl bd于点 e, ab=bcf为四边形 abcd外一点,且 / fca=0 , / cbfn dcb.图 t6-1 求证：四边形dbfc1平行四边形；(2)如果 bc平分/ dbf / f=45 , bd=2,求 ac的长.2. 2017 石景山二模如图t6-2,四边形abcd1矩形，点e在ad边上，点f在ad的延长线上，且be=cf.图 t6-2求证：四边形ebc喔平行四边形(2)若/ bec=0 , / abe=

2、0 , ab= 求 ed的长.abcd外一点，且3. 2015 西城一模 如图t6-3,在四边形 abcd中,bd垂直平分 ac垂足为 f, e为四边形/ adey badae! ac.d图 t6-3 求证：四边形abde1平行四边形；(2)如果 da平分/ bdeab=5, ad=6,求 ac的长.4. 2018 房山一模如图t6-4,在 abc, / acb=0 ,点d, e分别是bcab的中点，连接deh1延长至点 f,使ef=2de连接ceaf.图 t6-4(1)证明：af=ce(2)若/ b=30 , ac2,连接 bf 求 bf的长.|类型2|菱形的判定+ 线段长度5. 2018

3、顺义一模如图t6-5,在四边形 abc由，ad/ bc, z a=90 , bd=bc点e为cd的中点，射线be交ad的延长线于点f,连接cf.图 t6-5求证：四边形bcfd1菱形；(2)若 ad=, bc2,求 bf的长.6. 2018 平谷一模如图t6-6,在？abc珅，bf平分/ ab ad于点f, a红bf于点o交bc于点e,连接ef.图 t6-6求证：四边形abef菱形；(2)连接 cf 若/ abc=0 , ab=4, af=2df 求 cf的长.7. 2018 门头沟一模如图t6-7,在矩形abc由，连接ac ac的垂直平分线交 ac于点o分别交ad bc于点e, f,连接ce

4、和 af.图 t6-7求证：四边形aec叨菱形；(2)若ab=4, bc8,求菱形aecf勺周长.8. 2018 西城一模如图t6-8,在aabd，/abdw adb分别以点b d为圆心，ab长为半径在bd的右侧作弧，两弧交于点c分别连接bcdcac记acf bd的交点为o.图 t6-8(1)补全图形，求/ aob勺度数并说明理由.(2)若 ab苞cos / abd=,求 bd的长.|类型3|菱形的判定+图形面积9. 2018 延庆一模如图 t6- 9,rt abc43, / abc90。，点 d f 分别是 ac ab的中点,ce/ db be/ dc.图 t6-9求证：四边形dbeo菱形；

5、(2)若ad3 df=,求四边形 dbect积.10. 2018 大兴一模如图t6-10，矩形abcd勺对角线 acbd交于点o且de=occe=od.图 t6-10求证：四边形oce遑菱形；(2)若/ bac=0 , ac4 求菱形 oced)面积.11. 2018 怀柔一模直角三角形 abc，/bac=0 , d是斜边bc上一点，且ab=ad点c作caad交ad的延长线于点e,交ab的延长线于点f.图 t6-11求证：/ acb式dce(2)若/ bad=5。，af=2+u过点b作bgl fc于点g连接dg依题意补全图形，并求四边形 abgdj面积.12. 2018 海淀一模如图 t6-1

6、2, ?abcd勺对角线 acbd相交于点 o 且 ae/ bd be/ ac oe=cd.求证：四边形abco菱形；(2)若ad2则当四边形 abcd勺形状是 时，四边形aobe勺面积最大,最大值是|类型4|矩形的判定+ 线段计算13. 2018 石景山一模如图 t6-13,在四边形 abc用，/a=/ bcd=0 , bc=cd=而，cel ad点 e.图 t6-13(1)求证：ae=ce (2)若 tan d=3,求 ab的长.14. 2018 丰台一模已知：如图t6-14,菱形abcg另1j延长 ab cb到点f, e,使彳导bf=babe=bc连接ae ef fc ca.求证：四边形

7、aef矩形；(2)连接de交ab于点g如果de! abab=4,求de的长.图 t6-1415. 2018 通州一模如图t6-15,在平行四边形 abc丽,dbl ab点e是bc边的中点，过点e作ef, cd垂足为f,交ab的延长线于点g.图 t6-15(1)求证：四边形bdf境矩形； (2)若 ae平分/ bad 求 tan / baebm1.16. 2017 朝阳一模如图t6-16,在 abn , ab=acad是bc边的中线,过点a作bc的平彳t线,过点b作ad的平彳t线,两直线交于点e.图 t6-16求证：四边形adbe1矩形；(2)连接de交ab于点o若bc6 ao=,求cos /

8、aed削1.参考答案1.解:(1)证明：.ac_ bq/fca=90 ,：bd/ cf. . /cbf= dcb- -dcc/ bf. 四边形dbfc1平行四边形.(2)由(1)得四边形dbfc1平行四边形， .cf=bd2=.过点 c作 chl bf于点 hf=45 , . ch”. bc平分 / dbf ：ch=ce=,.ab=bcbdl ac.ac：2ce=2 .2.解:(1)证明：二四边形abcd1矩形，：/ a=z cdf=0 , ab=dcad=bc.9-dc, &后三匕尸在 rta ba rtacdf,. .rt abae rta cdf.z1=z f. be/ cf.又 v b

9、e=cf：四边形ebc思平行四边形.(2) .在 rta bae43, z2 =30 , ab第,ae=ab tan /2 =1,abbe=os/二=2, /3 =60 .he 2在 rtabec, bc=：=cos60“=4.ad=bo=：ed=adae=4-1=3.3.解: 证明：: / aden bad/.ab/ ed.bd直平分 ac垂足为f,.bdl ac af=fc.又ael ac：/ eac= dfc=0 ,.ae/ bd：四边形abde平行四边形.(2)如图，连接be交ad于点o. daw / bde：/ ade= 1 .又/ade= badz1=z bad ：ab=bd. ?

10、abde!菱形.：adl be.1bd=ab= oa=ad3i f- 22在 rta oab , ob犷/m-=4.1 1abd= ad. ob=bd- af：6x4=5af解得 af=4. 8.v bm直平分 ac ： ac=af=9. 6.4.解:(1)证明：=de分别是bcab的中点,：deabc勺中位线,：de/ ac ac2de.又ef=2de：ef=ac：四边形ace叨平行四边形，：af=ce.(2)/ acb=0 , / abc=0 , ac2 .bc=27* de=, / edb90 . d为bc中点, .bd=.又ef=2de .ef=2. .df=3.在rtbdf中，由勾股

11、定理得bf=2 .5.解:证明:. bd=bce是cd的中点,z1=z2 . ad/ bc z2=z3,：/l=/3, ：bd=df.v bd=bc： df=bc.又 v df/ bc：四边形bcfd1平行四边形.又 v bd=bc：?bcfd1 菱形.(2) . /a=90 , ad=,bd=bc2：abed ad=.四边形bcfd1菱形，df=bc2=.af=ad+di3=.bfab=2,.6.解:(1)证明：:bf平分/ abc：/ abfn cbf. ?abcd：ad/ bc.：/ afbncbf.ab=af.ae1bez abfy baon cbf叱 beo90 z baon beo

12、. .ab=be.af=be.：四边形abe呢平行四边形.？abe提菱形.(2) ad=bgf二be-.df=ce.bece.,.ab=4,1 be4：cea过点a作agl bc于点g.v z abc60 , ab=be.ab玛等边三角形.2 bg二 af=cg四边形agc尾平行四边形：?agc混矩形.ag=cf.在 rtaabgj, / abc=0 , abn,：ag2 .3 .cf=2 .7.解: 证明：:ef是ac的垂直平分线, .ao=oc aoeg cof90 ,丁四边形abco矩形，：ad/ bc / eao= fco.在aeof口cf8 ,v z eao= fcoao=c,o a

13、oeg cof.ae拿cfasa), ：oe=of.又 oa=qc四边形aec喔平行四边形，又 efl ac :平行四边形 aecf菱形.(2)设af=x v ef是ac的垂直平分线，.af=cf=xbf=8-x,在 rtabf中，由勾股定理得：ab+bf=af,即 42+(8-x) 2=x2,解得 x=5, ：af：菱形aecf勺周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.z aob=0理由：由题意可知 bc=abdc=ab.v 在 abd43, / abd= adb：ab=ad：bc=dc=ad=ab：四边形abc时菱形,.acl bd：/ aob=0 .(2) v四边形abc四菱形，：

14、ob=od.在 rtaabo, / aob90 , ab=5,3cos/abd=,ob=ab cos/ abd3,:bd：2ob：6.9.解:(1)证明：.ce/ db be/ dc：四边形dbe提平行四边形.在 rtabc中，vd 是 ac的中点，/ abc90，: bd=dc：四边形dbe提菱形.(2) /f是ab的中点刀是八。的中点，：bc2df=2, / afdn abc90 ,在afd中,af=*。- * 厂二=2 .1 1sadbc=-bcx bf=x 2x=2/s 菱形 dbe=2sdb=4/2.10 .解: 证明：: de=occe=od：四边形oce遑平行四边形.丁四边形ab

15、c比矩形,|l i1 .ac=bdoc=acod=bd.：oc=od.;平行四边形oced1菱形.(2)在矩形abcw ,/ abc90 , / bac30 , ac=4,：bc22 .ab=dc2=.如图，连接oe交cd于点f.丁四边形oce西菱形，.f为cd中点.v0为bd中点，i3 .of=bc=1.oe2of2i .s 菱形oce=?oe- cd=x2x21：=11 .解:证明:vab=ad：/ abd= adb.v z adb= cde ： / abd= cde.v z bac90 , ： / abd+ acb=0v cel ae : / dce+ cde90 .：/ acb= dc

16、e.(2)补全图形，如图所示：v z bad45 , / bac=0 ,：/ bae= cae=5 , / f=z acf=5,. ae1cf bgl cf：ad/ bg.v bgl cf / bac90 且/ acb= dce ：ab=bg. ab=ad：bg=ad四边形abgdi平行四边形.,.ab=ad:平行四边形abg偎菱形.设八8=乂贝1 bg=gd=ad=x：bf=. bg= x.ab+bf=x+ x=2+,过点b作bfadf h向 s四边形abgfack bhr212 .解: 证明：:ae/bdbe/ac一四边形aebo平行四边形.v四边形abco平行四边形,dc=ab.v oe

17、=c,d,. oe=ab.平行四边形 aebo矩形.zboaqo , /.acibd平行四边形 abc屋菱形.正方形;2 .13 .解:证明：（法一）过点b作bfucet h如图.,.celad z bhcn ced90z1+zd=90v z bcd90 ,:z 1+7 2=90 ,z2=z d.又 bc=cd.bg ced.：bh=ce.,.bhl cecel ad/a=90 ,：四边形abhe矩形，：ae=bh.：ae=ce.(法二)过点c作chl ab交ab的延长线于 h.图略，证明略.(2) v四边形abhe1矩形，：ab=he.ce.在 rtaced ,tan d腌=3,设 de=x

18、ce=3x,：cd= x=2.1 x=2.2 .de2 ce=i.,.ch=de=3 .ab=he=-2=4.14.解:(1)证明：bf=babe=bc四边形aef8平行四边形四边形abc时菱形,：ba=bc： bf=be.：ba+bf=bc+be af=ec.：四边形aef矩形.(2)连接db.由(1)知，ad eb且 ad=eb：四边形aeb泗平行四边形./del ab：四边形aeb师菱形.：ae=ebab=2ag ed=2eg.v 矩形 aefc43, eb=abab=4,：ag2, ae4.rtaaeg, eg=肝.：edn .15.解:(1)证明：.bdl ab ef cd：/ abd90 , / efd90 .在?abc珅,ab/ cd：/bdc=abd=0 ,：bd/ gf.四边形bdf平行四边形 又/bdc90 ,：四边形bdfa矩形.(2)ae平分/ bad：/