对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究联丰中学 王培良315000在一次偶然的机会， 我去上海听了这么一节课， 但听课过程中遇到了一点疑问：就是用代数法解一类含绝对值的函数问题最小值的等价性问题，并作了一些思考，具体如下：问题 1 ：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2| 的最小值。方法一(一般解法) ：数形结合将函数 f(x)=|x-1|+|x-2| 化为：32x,(x1)f (x)1,(1 x 2) 然后作图，由图易知， f(x) 的最小值为 1 。2x3,(x2)方法二：几何法( 1 )在数轴上取点a(1，0

2、)和点b(2 ， 0) ；( 2)在数轴上取动点p(x ， 0) ；即 |pa|+|pb| 的最小值为所求。则f(x) 1 (当且仅当1 wxw2时，取“二”号)。方法三：代数法2 ：求函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值。也有类似的三种解法其中方法三：代数法类比推广问题3:求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。方法二：由画数轴可知：|x-10| r, |x-9|+|x-11|2 ,|x-1|+|x-19|当且仅当x=10时，它们的和最小。即 f(x) 0+2+4+18=90方法三(代数法)经过尝试发现也是可以的再推广问题3:求函数f(x)=|x

3、-1|+|x-2|+|x-n|的最小值。(1)当 n=2k-1(k r)时,|x-k| 0 ,|x-(k-1)|+|x-(k+1)|2 ,|x-1|+|x-(2k-1)| 封2k-2 ,当且仅当x=k时，它们的和最小，口(02k 2)k一小即 f(x)0+2+4+- +(2k-2) ak(k1)(2)当 n=2k(k c r)时,|x-k|+|x-(k+1)|1 ,|x-(k-1)|+|x-(k+2)|3,|x-1|+|x-2k|2k-1 ,当且仅当xck, k+1时，它们的和最小,(1 2k 1)k , 2即 f(x) 1+3+5+- +(2k-1)- k2n n 1 , n育 n=2k-1

4、(k c r)时,fmin (x) i = k ii i 2i 1=k 1 k 22 10 12 k 1 = k(k 1)当 n=2k(k c r)时，=k2结论这个方法也是适合的但是对于这个结论的普遍性在听课的过程中我一直存在的疑惑，感觉这个方法是不等价转化的。我首先试着用 f (x) ax 1 bx 2(a,b 0)和f (x) x a x b x c的形式去研究这种方法的可行性试探1 ：求函数f (x) 2 x 1 x 2的最小值正解： 将函数f(x)=2|x-1|+|x-2| 化为：4 3x,(x 1)f (x)x,(1 x 2)然后作图，由图易知当x=1时，f(x)的最小3x 4,(

5、x 2)试解1 ：(代数法)要使f(x) 2x 1 x 2值最小试解2 :要使f(x) 2x 1 x 2 x 1 x 1 x 2的值最小一 4一. 一 .一4当x4时，g(x)取小，即心n(x)-。 33从以上两个试解发现这种方法是不行的，但是却发现通过这个方式得到的值6 2 464都是大于实际最小值的。 而试解1中的g(x) 5(x -)2 顶点(，)555 5和试解2中的g(x) 3(x )2顶点(-,)这两个顶点都是在y=1333 3的下方作出三个函数 f(x) 2x 1 x 2, g(x) 5(x -)2 -,1155，、4、2 2.一，, 一 ，g(x) 3(x -)一 的 图像，感

6、觉二次函数 336 2 44 2 2一 ，一 ，g(x) 5(x -)g(x) 3(x -)- 是 折 线5533f(x) 2x 1 x 2的两个近似抛物光滑曲线。的最小值。”为什反思：突然想到“问题 1:求函数f(x)=|x-1|+|x-2|么用方法三代数法可行？带着这个疑问，我试着也作出了g(x) (x 1)2 (x 2)2 2x2 6x 5的图像与f(x)的图像进行了比较，f(x)的图像当1 x 2时是平行于x轴的一条线段，函数值总是为最小值 1, 而223、21g(x) (x 1)2(x 2)22(x -)22的顶点横坐标恰好落在1, 2上。对于问题2:求函数f(x)=|x-1|+|x

7、-2|+|x-3|的最小值，也作出图像 易知当x=2时f(x)的最小值是2,2,- 2，一、2， 2一、2一相应参考的二次函数g(x)(x1)(x2)(x3)3(x2)2的顶点恰好在x=2处。+|x-19|的最小值。也对于后面问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+类似的可以得到结论：当x=10时，f(x)的最小值是 90。不难发现，对于 f (x) x a1 x a2x an其中数列an是个等差数列，都可以用代数法解决,nai当x 口一时f(x)为最小值 n由于得到图像的启示对于函数f (x) x a1x a2x an ,数列an是否一定是等差数列呢,不然。我想到如下例子试探2 :求

8、函数 f (x) x 1 x 2 xx 5的最小值用常规分段函数易解得到：当2 x 4时，f(x)的最小值为6用 代数 法解：可以考虑 相 应 函 数g(x) (x1)2 (x 2)2 (x4)2(x5)2即g(x) 4x2 24x 46 4(x 3)2 10。当 x=3 时 f(x)的最小值为 6其实不难得到；对于 f (x)x a1xa2an(aia2naix 对称的时候, nan) 只要各个点(k,ak) (k 1,2 n)关于直线naif(x)的最小值就是 f(二一)(即f(a-an)n2对于 f(x) x aix a2x an(ai a2an)如果各个点(k,ak) (k 1,2 n

9、)没有上面的对称性，那可不可以用该方法解吗？试探3：求函数 f(x) x 1 x 2 x 7 x 11的最小值易知道当2 x 7时f(x)取到最小值为15用代数法解： 可以考虑相应函数 2_ 222-g(x)(x1)2(x 2)2(x7)2(x11)2即一2 2212.21,、g(x)4x42x 1754(x一)m，则当 x 一 时 f(x)的最小44值为15。代数法是可行的。试探4：求函数f (x)x 1x 2 x3x 11的最小值易解：当2 x 3时，f(x)取到最小值为11代 数法： 可 以考虑 相应 函数g(x)(x 1)2 (x 2)2 (x 3)2 (x 11)2即g(x)217、

10、2 383174x2 34x 168 4(x )2 ，当 x 一时，f(x)的最小值444为红代数法不可行试探5：求函数 f(x) x1 x2 x6 x7 x 11的最小值易知道当x 6时，f(x)的最小值为15用代数法解：可以考虑相应函数2_2_222227 2g(x) (x 1)2(x 2)2(x 6)2(x 7)2(x 11)25x254x n 5(x )25一，,2778,则认为f(x)的最小值为f()一代数法不可行55结论：从试探3 ,试探4试探5可发现，对于an)f (x) x ax a21)如果n为偶数时，a1，a2,an的算术平均数a a迎满足a n a a n，那么这种代数法n23 1可适用的2)如果n为奇数时，除非a1,a2an的算术平均数a恰好为中间一个，即a an 1可以，否则这种代数法一般是不可行的。2下面证明该结论：1 ) n 为偶数时，x a1 x an an a1 an a1当且仅当x an,an时，各式取等号，它们的和最小i22a1a2an .一