柯西中值定理[青苗教育]

1、2 柯西中值定理和 不定式极限 一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 定式极限的问题. 般的中值定理，本节用它来解决求不 二、不定式极限 定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理) 设函数设函数 , 在区间在区间 )(xf)(xg ,ba 上满足上满足: (i) f(x) , g(x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续; (iii);0)()( 22 xgxf (iv). )()(bgag 则在开区间则在开区间 内必定内必定 (至少至少) 存在一点存在一点 , 使得使得),(ba 一、柯西中值定理 (ii) f(x) , g(x) 在开区间在开区间 (a, b) 上可导上

2、可导; ( )( )( ) . ( )( )( ) ff bf a gg bg a 几何意义 首先将首先将 f , g 这两个函数视为以这两个函数视为以 x 为参数的方程为参数的方程 , )(xgu . )(xfv 它在它在 O- uv 平面上表示一段曲线平面上表示一段曲线. 由由拉格朗日定理拉格朗日定理 恰好等于曲线端点弦恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率的斜率(见下图见下图): d d x v u 的几何意义的几何意义, 存在一点存在一点 ( 对应于参数对应于参数 ) 的导数的导数 . )()( )()( agbg afbf kAB )(, )( fgP )(, )(bfbgB ( ( )

3、,( )A g af a Ou v 证证 作辅助函数作辅助函数 ).()( )()( )()( )()()(agxg agbg afbf afxfxF 显然显然, 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件, 所以存在点所以存在点)(xF ),(ba 使得使得 , 即即0)( F . 0)( )()( )()( )( g agbg afbf f ( )0( )(iii),gf因因为为否否则则也也为为零零, ,与与条条件件矛矛盾盾 . )()( )()( )( )( agbg afbf g f 从而从而 例例1 设函数设函数 f 在区间在区间 a, b(a 0) 上连续上连续, 在在(a, b) .l

4、n)()()( a b fafbf 证证 设设 , 显然显然 f (x), g(x) 在在 a, b 上上满足满足xxgln)( 柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件,于是存在于是存在, 使得使得),(ba , 1 )( lnln )()( f ab afbf 变形后即得所需的等式变形后即得所需的等式. ),(ba 上可导上可导, 则存在则存在, 使得使得 在极限的四则运算中在极限的四则运算中, 往往遇到分子往往遇到分子, 分母均为无分母均为无 0 1. 0 型型不不定定式式极极限限 二、不定式极限 究这类极限究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限称为

5、不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研现在我们将用柯西中值定理来研 比较复杂，各种结果均会发生比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统我们将这类极限统 穷小量穷小量 ( (无穷大量无穷大量) ) 的表达式的表达式. 这种表达式的极限这种表达式的极限 定理定理6.6满足：满足：和和若函数若函数gf 00 0(i) lim( )lim( ); xxxx f xg x 00 (ii)() xUx在在点点的的某某空空心心邻邻域域内内两两者者均均可可导导， 0( );g x 且且 0 ( ) (iii) lim,. ( ) xx fx AA g x 可以为实数，可以为实数， 则则 00 ( )

6、( ) limlim. ( )( ) xxxx f xfx A g xg x 证证 00 0()(),f xg xf g我们补充定义所以我们补充定义所以 ,),(. 000 xxxUxx则在区间则在区间任取任取连续连续在点在点 有有上应用柯西中值定理，上应用柯西中值定理，),( 0 xx 0 0 0 ( )()( )( ) (. ( )( )()( ) f xf xf xf xx g xg xg xg 介于与之间)介于与之间) 000 ( )( )( ) limlimlim. ( )( )( ) xxxxxx f xffx A g xgg x 注注，改为改为中的中的将定理将定理 000 1xx

7、xxxx 00 ,令令故故xxx 根据归结原理根据归结原理 只只要要修修正正相相应应的的邻邻域域，的的情情形形, xx 结论同样结论同样成立成立. . 例例 4 1tan lim. sin4 求求 x x x 解解 0 0 .容易验证：这是一个型不定式容易验证：这是一个型不定式 2 44 1tansec21 limlim. sin44cos442 xx xx xx 0 0 0 ( ) lim, ( ) xx fx g x 如如果果仍仍是是型型不不定定式式极极限限 只只要要满满足足洛洛 例例2. )1ln( )21(e lim 2 2 1 0 x x x x 求求 解解 22 01ln() ,x

8、xx因为当时，所以因为当时，所以 11 22 22 00 e(12 )e(12 ) limlim ln(1) xx xx xx xx 13 22 00 e(12 )e(12 ) limlim1. 22 xx xx xx x 0 ( ) lim ( ) xx fx g x 考考察察必必达达法法则则的的条条件件, ,可可再再用用该该法法则则. . 存在性存在性. . 这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的 代换，其目的就是使得计算更简洁些代换，其目的就是使得计算更简洁些. 例例3 0 1 lim. e 求求 x x x 解解可直接利用洛必达可直接利用洛

9、必达型不定式极限型不定式极限这显然是这显然是, 0 0 法则法则. 但若作适当变换但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些在计算上会显得更简洁些. 于是于是时有时有当当令令,00, txxt 000 1 1 1 1 limlimlim. ee e tt x xtt xt 例例4 1 0 (1)e lim. x x x x 求求 解解 11 00 (1)(1)e limlim 1 xx xx xx x 1 2 0 ln(1) 1 lim(1) x x x x x x x 2 0 (1)ln(1) elim x xxx x 0 1ln(1)1e elim. 22 x x x 2. 型型不不定定式式

10、极极限限 定理定理6.7满足：满足：和和若函数若函数gf 00 (i) lim( )lim( ) xxxx f xg x ； 00 (ii)() xUx 在在点点的的某某右右邻邻域域内内二二者者均均可可导导， 0( );gx 且且 0 ( ) (iii) lim,. ( ) xx fx AA g x 可可以以为为实实数数 则则 00 ( )( ) limlim. ( )( ) xxxx f xfx A g xg x 证证 10 0.(),AxUx 设设为为实实数数 对对于于任任意意的的， 01 ,xxxx满满足足不不等等式式的的每每一一个个 ( ) , ( ) fx A g x 使使由柯西中值

11、定理，存在由柯西中值定理，存在, 1 xx 1 1 ()( )( ) . ()( )( ) f xf xf g xg xg 从而有从而有 1 1 ()( )( ) ,(1) ()( )( ) f xf xf AA g xg xg 另一方面，另一方面， 1 11 1 11 1 1 1 () ( )()( )()( )( ) . () ( )()( )()( ) ( ) g x f xf xf xf xf xg x f x g xg xg xg xg x f x 上式的右边的第一个因子有界上式的右边的第一个因子有界; 第二个因子对固定第二个因子对固定 10 0,xxx 的是当时的无穷小量 所以的是

12、当时的无穷小量 所以 , 0,)1( 100 时时当当存在正数存在正数式式由由xxxx , 0 1 有有时时当当, 100 xxx 001 12( )( ),xxx 综合和对一切满足不等式综合和对一切满足不等式 ( ) , ( ) f x A g x 这就证明了这就证明了 0 ( ) lim. ( ) xx f x A g x , 或或，若若请大家想一想请大家想一想A应应该该如如何何证证明明？ 的的 x 有有 1 1 2 2 ( )()( ) ,( ) ( )()( ) f xf xf x g xg xg x 注注 000 xxxxxx 这里的可以用，这里的可以用， 件要作相应的改变件要作相应

13、的改变. 例例5. ln lim x x x 求求 解解.型型不不定定式式这这是是一一个个 1 ln limlim0. 1 xx x x x .xx ，来替换 当然定理的条，来替换 当然定理的条 ,x 例例6. e lim 3 x x x 求求 解解 . 6 e lim 6 e lim 3 e lim e lim 23 x x x x x x x x xxx 例例7 . sin2 sin2 lim xx xx x 求极限求极限 解解,.如如果果用用洛洛必必达达法法则则型型不不定定式式这这是是一一个个 22 3 22 sincos limlim.( ) sincos xx xxx xxx 2 2

14、 cos lim, cos x x x 而极限不存在 但是原极限而极限不存在 但是原极限 . 1 sin 2 sin 2 lim sin2 sin2 lim x x x x xx xx xx (3) 式不成立式不成立. 这就说明这就说明: limlim. xx fxf x gxg x 不不存存在在时时, ,不不能能推推出出不不存存在在 我们再举一例我们再举一例: 例例8. 2arctan arctan lim x x A x 求极限求极限 解解 lim arctan, lim arctan2, 22 xx xx 因为因为 所以所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则：若错误使用洛必达法则： 2

15、 2 arctan114 limlim2, arctan212 xx xx xx 这就产生了错误的结果这就产生了错误的结果. 这说明这说明: 在使用洛必达法在使用洛必达法 则前，必须首先要判别它究竟是否是则前，必须首先要判别它究竟是否是 0 . 0 或或型型 3. 其他类型的不定式极限其他类型的不定式极限 00 010, 不不定定式式极极限限还还有有， ， ，等等类类型型 它它 0 . 0 们们一一般般均均可可化化为为型型或或者者型型 .下面我们举例加以说明下面我们举例加以说明 解解 1 ln ln, x xx x 注意到则注意到则 0000 2 11 1 ln limlnlimlimlim(

16、)0. xxxx x x xxx x x 但若采用不同的转化方式但若采用不同的转化方式: 2 0000 2 1 limlnlimlimlimln 11 lnln xxxx x xxxx xxx 很明显很明显, 这样下去将越来越复杂这样下去将越来越复杂, 难以求出结果难以求出结果. 例例9 0 limln . x xx 求求0() 型型 , 解解 2 2 1 lncos 2 0 lncos0 (cos )e,lim. 0 x x x x x x x 而而是是型型 由于由于 , 2 1 cos2 sin lim cosln lim 0 2 0 xx x x x xx 因此因此 2 1 1 2 0

17、lim(cos )e. x x x 例例10 2 1 0 lim(cos ). x x x 求求(1) 型型 解解 lnarctan 2 lim k x x x 12 1 lim arctan1 2 x k xkxx 1 11 lim arctan 2 x k k xx 例例11 1 0 2 limarctan() . k x x xk 求求 0 0()型型 x x k k x arctan 2 lim 1 1 , 0lim 1 1 1 lim 1 2 2 k x k x x k k x x k k 所以，原式所以，原式 = = e0 = = 1. . 例例12 2 0 1 lim2cot.

18、1cos x x x 求求() 型型 解解 x xx 2 0 cot2 cos1 1 lim xx xxx x 2 322 0 sincos1 cos2cos2sin lim 4 322 0 cos2cos2sin lim2 x xxx x 3 2 0 4 cossin6cossin6 lim2 x xxxx x x x xx 2 2 0 sin cos2 cos1 1 lim 例例13 ( ),0 ( ). 0 ,0 g xxx f x x 设设 (0)(0)0,(0)3,(0).gggf已已知知求求 解解 000 ( )( )(0) lim( )limlim 0 xxx g xg xg f x xx 因因为为 (0)0, g ( )0.f x