L(三章6讲)守恒定律

1、光电信息学院 李小飞 第三章第第三章第6 6讲：讲： 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 对称性与守恒律 1. 经典物理中的守恒量与条件（对称性） 机械能空间平移不变动量守恒（空间均匀性） 机械能空间转动不变角动量守恒（空间各向同性） 机械能时间平移不变能量守恒（时间均匀性） 2. 量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 守恒量：力学量的值不随时间变化 引入：物理学中的守恒定律 * FF d * ( )( , ),( , ).F tt Ftt drrcr 量子力学中有哪些守恒定律，成立条件又是什么？ * * dFF F ddFd dtttt （1） H

2、it 1 * * ) ( 1 H it 由薛定谔方程有 * ( )( )( )F tt F tt d 一、一、力学量平均值随时间的力学量平均值随时间的演化演化 (1) 体系所处的状态 随时间变化 (2) 力学量算符 ， 随时间变化 ( )F t ( ) t 表明：平均值随时间的演化有两方面的原因: * 11 dFF dFHdHFd dttii * 1 () dFF dxFH HFdx dtti ) ( 1 FHHF it F dt Fd （2） * 11 dFF dFH dHFd dttii 因 是厄米算符 H HFdHF d 1 , dFF F H dtti 则 二、守恒二、守恒的条件的条件

3、 0 dF dt 如果： F c. 充分条件： 0 ,0 F t FH , 1 HF it F dt Fd 证明：（）若F是守恒量，则其测量值的概率分 布也不随时间改变 考虑到 可以选择包含 和 在内的一组力学量完全集， 将其共同本征态记为 ，有： 0,HF H F n nnn EH nnn FF 在 态下，t 时刻测量 得到 的概率为)(t F n F 2 )(tCn 2 ( )0 n d C t dt 因此，实际要证明 三、守恒量的三、守恒量的 性质性质 dttC nn )()( * 体系的任一状态 均可用 展开： )(t n ( )( ) nn n tC t )()()()()()()(

4、 * 2 tC dt d tCtCtC dt d tCtC dt d tC dt d nnnnnnn * )()()()(tC dt d tCtC dt d tC nnnn * ( )( )( )( ) nnnn dd C tC ttdt d dtdt * ( )( ) nn t dt d t * ( ) ( ) nn Ht t dd i * 1 ( )( ) nn t dHt d i * 1 ( )()( ) nn t dHt d i * ( )( ) n nn E t dt d i 2 * ( )( )( ) nn nnn EE t dt dC t ii 2 * ( )( )( ) n n

5、nn Ed CtCtCt dti 22 * ( )( )( ) ( ) nn nnnn EEd CtCtCtCt dtii 2 * ( )( )( )( )( )0 nnnnn ddd C tC tC tC tC t dtdtdt 得 结论： 如果某力学量A为守恒量，则无论体系处于何种状态， 其平均值及其各测量值的概率分布都不随时间变化。 * 1 ( )()( ) nn t dHt d i 又 2 1 2 HTp 2 1 , , 0 2 p Hpp 0 p t pi 不显含时间 四、常用守恒定律四、常用守恒定律 证明（证明（1 1）：自由）：自由粒子的粒子的动量是守恒量动量是守恒量 1 ,0

6、dpp p H dtti 守恒 p 证明：证明：动量守恒源于空间平移不称性动量守恒源于空间平移不称性 设体系沿x轴方向作一无穷小平移 xxxx D xxxx D )()(xx )()(xxxD 波函数的变化为： 显然即 )(exp )()()( x x x x xxxxxD 作变换xxx 则上式可化为 /iexpexp)( x px x xxD x px i 则平移x的算符可表示为 Note: 与平移变换无穷小算符对应。 /exp)(prrD ip 推广：对于三维空间： rrrr 若体系具有平移不变性，D, H=0 对于无穷小平移 /i1prD 则可推出0,Hp =动量守恒 与三维平移变换无穷

7、小算符对应 证明（证明（2 2）：粒子）：粒子在中心力场中运动的在中心力场中运动的角动量是守恒量角动量是守恒量 求哈密顿算符在球坐标系中的形式： 2 2 ( ) 2 H T VU r 2 0 ( ), 4 s s Zee U re r 222 2 222 22 2222 1111 (sin) sinsin xyz r rr 11 sin sincoscoscos sin 11 cos sinsincossin sin 1 cossin0 xrrr yrrr zrr 22 2 222 11 ()(sin)( ) 2sinsin HrU r rrr 2 22 22 11 (sin) sinsin

8、L 22 2 22 ( ) 22 L HrU r rrrr 角动量各分量及角动量平方均为守恒量角动量守恒定律！ （1）在球坐标系中算符 等只是 的函数，与时间t 无关，相对于时间的变化率为零。 （2）角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易 2 , , , LLLL zyx ( ,) 可见：角动量守恒源于可见：角动量守恒源于空间转动空间转动对称性（自己证明）对称性（自己证明） 22 2 22 ( ) 22 L HrU r rrrr 22 2 ( ) 22 r pL HU r r 总能径向动能+转动动能+势能 2222 2 22 1 ( ) 2222 r r ppLL Tp rr 2

9、22 2 r L pp r 2 22 2 rpr rrr 1 rp ir r 证明（证明（3 3）：哈密顿算符）：哈密顿算符不显含时间的不显含时间的体系，能量守恒体系，能量守恒 0 t H 当 不显含t时，H 0 , HH 又 1 ,0 dHH H H dtti 能量守恒源于时间平移对称性能量守恒源于时间平移对称性 （自己证明）（自己证明） 2 ( , )( , )(, )( , )Pr tP Pr tPr tr t 证明（证明（4 4）：）： 哈密顿算符哈密顿算符对空间反射对空间反射不变，则宇称守恒不变，则宇称守恒 ( , )(, )Pr tr t 空间反演算符也称为宇称算符空间反演算符也称

10、为宇称算符 定定义空间义空间反射反射算符：算符： 2 1P 反射算符 的本征值： P 本征值 1P ( , )r t (, )r t 空间反射含义： r r 22 ( , )( , ), ( , )( , )( , ) Pr tPr t Pr tPPr tPr t 1 1、宇称算符、宇称算符： 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定宇称的 波函数。宇称是对空间对称性的描述。 2 2、证明宇称守恒定律、证明宇称守恒定律 体系的哈密顿算符具有空间反射不变性， (, )( , )Hr tH r t 即 ( , )( , )(, )(, ) ( , )( , ) PH r tr tHr tr t H

11、r t Pr t 有有： ( , )( , )Pr tr t ( , )( , )Pr tr t (偶宇称) (奇宇称) 1 1 P PHHP ,0P H 故 1 ,0 dPP P H dtti 因此,为运动恒量，证毕！ P 0 P t 又 不显含t， P 含义： 若体系的哈密顿量具有空间反射不变性， 宇称守恒。此时，哈米顿算符和宇称算符具有共同 本征函数，即：能量本征函数也是宇称的本征函数 对称性与守恒定律的对应关系对称性与守恒定律的对应关系 杨振宁，杨振宁， 李政李政道，吴健雄：道，吴健雄： 弱相互作用体系弱相互作用体系宇称不守恒宇称不守恒 杨杨- -米尔斯规范场米尔斯规范场理论理论 19

12、561956年提出，年提出，19571957年获诺奖年获诺奖 19541954年提出后，实现弱相互作年提出后，实现弱相互作 用与电磁相互作用的统一用与电磁相互作用的统一 CP对称破缺 1980年诺奖年诺奖 Higgs, 2013年诺奖年诺奖 中微子，中微子，2015年诺奖年诺奖 外尔费米子，外尔费米子， Where is yang，where is bang 光子：光子：质量质量0,电荷电荷0，自旋自旋 电子：质量电子：质量e, 电荷电荷-1，自旋，自旋1/2， 中微子：中微子：质量很质量很小小, 电荷电荷0， 自旋自旋1/2 (2015诺奖）诺奖） 外外尔尔费米子：质量费米子：质量0, 电荷

13、电荷0, 自旋自旋1/2 ， Arthur B.Mcdonald 加拿大 Takaaki Kajita 日本 . 中国科学院方忠中国科学院方忠 美国普林斯顿大学扎伊德美国普林斯顿大学扎伊德哈桑哈桑 2015-7-16 Science The Standard Model of elementary particle 1. Gravity. 2. Dark matter 3. dark energy. 4. Neutrino masses 5. Weyl fermion 6. Matterantimatter asymmetry. (1)(1)量子量子体系的守恒量并体系的守恒量并不一定取不一定取

14、确定确定值；值； (2) (2) 量子体系的各守恒量子体系的各守恒量一般不能同时有确定量一般不能同时有确定值值. . 五、五、关于量子体系的守恒量的几点关于量子体系的守恒量的几点说明（附）说明（附） 若初始时刻体系处于守恒量F的本征态,则体系保持在该 本征态，有确定值; 反之,若初始时刻体系并不处于守恒量F 的本征态,则以后的状态一般不是F的本征态, 因此没有确定 值。但无论是不是本征态，F的平均值和测量值概率分布都 是确定的，不随时间变的. 各量都是守恒量，只能说明它们都与哈密顿量对易，但 并不能说明它们之间也对易。即算对易，体系并不一定处 于它们共同的本征态。因此一般不能同时有确定值 定理

15、 体系有两不对易的守恒量F和G，（即有 F,H=0,G,H=0,但F,G0）, 则能级一般简并 证明： F, H=0,则F, H有共同的本征函数 FFEH , 又因为 G, H=0, 则 ()()H GGHGEE G 即G也是H的本征函数，对应的本征值也是E。 因为F和G并不对易，它们有不同的本征函数系，因此， 本征能量为E的两个函数和G一般不会相同，即能级一 般是简并的。 (3) (3) 守恒量与能级简并守恒量与能级简并. . 推论：推论： 非简并能级非简并能级E E对应的态对应的态E E必是守恒量必是守恒量F F的本征态的本征态 EEEE FEEFHFFH 证明：设E 是能量为E的一个本征

16、态。因F是守恒量，则F, H=0 即：FE也是能量为E的一个本征态。 EE FF 即E也是F的本征态，对应的本征值是F，证毕！ 重要：重要： 体系的体系的守恒量守恒量总是与体系总是与体系的的对称性对称性相联系，而相联系，而能级能级简并简并 也往往也与也往往也与体系体系的的对称性对称性相关。相关。 根据根据能级简并，可找出体系的守恒量；根据能级不简并能级简并，可找出体系的守恒量；根据能级不简并， 又可又可找到守恒量找到守恒量的相应本的相应本征态征态。 ()() EE H FE F 由于能级E 不简并， FE与E两态之间差一个常数，设为F 作业作业1: 1: (1)试述定态与守恒量的区别 (2)在

17、非定态下,力学量的平均值随时间变化吗？ (3)当体系处于定态,不含时力学量测量值的概率分布 随时间变化吗？ (4)设Hamilton量为守恒量,则体系一定处于定态吗？ (5)试述守恒量与能级简并的关系 (1)定态是体系的一种特殊的状态,即能量的本征态, 在定态 下,一切不显含时间t的力学量的平均值和测量值概率分布 都不随时间变化; 守恒量与定态的区别 (2)守恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的 Hamilton量对易,它在任意状态下(不管是否 定态)的平均值和测量值概率分布都不随时间变化. 只有当： 一个体系不处于定态, 同时所讨论的力学量又不是守恒量时, 才需要研究该力学量的平均值和

18、测量值概率分布随时间的变化 问题. 4.4 守恒量与对称性的关系 1. 经典力学的守恒量与对称性的关系 机械能对空间平移不变性（空间均匀性）动量守恒 机械能对空间转动不变性（空间各向同性）角动量守恒 机械能对时间平移不变性（时间均匀性）能量守恒 1918年 德国数学家 A. E. Noether : 从自然界的每一对称性可 得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。 2. 量子力学中的对称性 (1) 对称变换与对称性群 ) 1 ( iH t Q H t i HQQ t i HQQ t 1 i 体系的状态满足薛定谔方程 若存在变换Q ,在此变换下有 体系对变换不变性的要求 即 用

19、Q-1运算得 HQQHHHQQ , 1 与方程(1)比较得 或写成)4( 0,HQ 这就是体系（Hamilton）在变换Q下的不变性的数学表述。 凡满足式(4)的变换称为体系的对称变换。 物理学中的体系的对称 变换总构成一个群，称为体系的对称性群。 (2) 对称性变换与守恒量 在对称变换下考虑概率守恒有 ),(),(),(),( Q QQQ 则Q应该是幺正算符，即 IQQQQ FIQi对于连续变换，可考虑无穷小变换0+，令 IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2 FF (3)空间平移不变性与动量守恒 设体系沿x轴方向作一无穷小平移xxxx 即F是厄米算符，称为变换Q的无穷小算符。可

20、定义与 Q变换相 联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致 0,HF 即F是一守恒量。对称变换守恒量 D xxxx D )()(xx)()(xxxD 描述体系状态波函数的变化为 显然即 )(exp )()()( x x x x xxxxxD 作变换xxx 则上式可化为 /iexpexp)( x px x xxD x px i 则平移x的算符可表示为 Note: 是与平移变换相应的无穷小算符。 /exp)(prrD ip 推广：对于三维空间中的无穷小平移 rrrr 则 其中 设体系具有平移不变性，即 D, H=0 对于无穷小平移 /i1prD 则可推出0,Hp 动量守恒 是与三维平移变换对应的

21、无穷小算符。 (4) 空间旋转不变性与角动量守恒 设体系绕z轴旋转一无穷小角度， 波函数的变化是R )()(对标量波函数有 即)()(R )(exp )()()( R 作变换 则 / iexpexp)( z lR 则绕z轴旋转的算符是 i z l 注： rr r r O n rrrr rnrr 现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转 )()( ,rrR )()(rrrR 在上述变换下标量函数的变化是 即 )()(exp )()()( )()()( rrn rrnr rnrrrrR 作变换rrr 则 /iexp/ )(iexp /)(iexp)(exp)( lnprn prnrnnR 对于无穷小

22、旋转n 则 prl 其中 如果体系具有空间旋转不变性，R, H=0, 注：三个矢量的混合积 BACACBCBA )()()( 对于无穷小旋转 /i1lnR 则有 0,Hl 即角动量守恒 (5) 时间均匀性与能量守恒 (6) 空间反射对称性与宇称守恒 本章小结本章小结 1. 算符算符的定义的定义：算符、线性算符、厄米算符的定义：算符、线性算符、厄米算符的定义 3. 算符运算算符运算法法则则：算符的和、算符的：算符的和、算符的乘积乘积,. 4. 对易子运算法则，常用对易关系对易子运算法则，常用对易关系 5. 厄米算符本征值与本征函数的相关定理厄米算符本征值与本征函数的相关定理 6. 常用算符本征值

23、问题常用算符本征值问题 7. 不确定性原理不确定性原理 8. 共同共同本征函数问题本征函数问题 9. 运动守恒量运动守恒量 2. 算符与力学量的关系算符与力学量的关系：测量问题、平均值的计算：测量问题、平均值的计算 附录附录1 1：用到的部分积分公式：用到的部分积分公式 1 0 ! mx m m x edx 22 0 2 xx edxedx 2 2 4 b axbx a edxe a 22 22 0 1.3.5.(21) 2 (2 ) nxnx n n x edxx edx sin,cos 22 ikxikxikxikx eeee kxkx i 2 22 22222 111 ()(sin) sinsin r rrrrr 总结： 5、掌握动量算符及其本征函数、本征值。、掌握动量算符及其本征函数、本征值。 1、掌握算符基本假定的表述；物理上可观测量应该对应什么样的