高一数学导数及其应用

1、第三章第三章 导数及其应用复习小结导数及其应用复习小结 本章知识结构本章知识结构 导数导数 导数概念导数概念 导数运算导数运算 导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度 最优化问题最优化问题 曲线的切线曲线的切线 以曲线的切线为例，在一条曲线以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x) 上取一点上取一点

2、P(x0，y0)，点，点Q(x0+x，y0+y) 是曲线是曲线C上与点上与点P临近的一点，做割线临近的一点，做割线PQ， 当点当点Q沿曲线沿曲线C无限地趋近点无限地趋近点P时，割线时，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就，我们就 把直线把直线PT叫做曲线叫做曲线C的在点的在点P处的切线。处的切线。 一知识串讲一知识串讲 此时割线此时割线PT斜率的极限就是曲线斜率的极限就是曲线C在点在点P处的切线的斜率，处的切线的斜率， 用极限运算的表达式来写出，即用极限运算的表达式来写出，即 k=tan= 00 0 ()() lim x f xxf x x （一）导数的概

3、念：（一）导数的概念： 1导数的定义导数的定义：对函数对函数y=f(x)，在点，在点x=x0处给自变量处给自变量 x以增量以增量x，函数，函数y相应有增量相应有增量y=f(x0+ x)f(x0)， 若极限若极限 存在，则此极限称为存在，则此极限称为 f(x)在点在点x=x0处的导数，记为处的导数，记为f (x0)，或，或y| ； 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x x 2导函数：如果函数导函数：如果函数y=f(x)在区间在区间(a，b)内每一点都可导，内每一点都可导， 就说就说y=f(x)在区间在区间(a，b)内可导即对于开区间内可导即对于开区间(a，b)

4、内每一个内每一个 确定的确定的x0值，都相对应着一个确定的导数值，都相对应着一个确定的导数f (x0)，这样在开区，这样在开区 间间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在在(a，b)内内 的导函数简称导数记作的导函数简称导数记作f (x)或或y. 即即f (x)=y= 0 ()( ) lim x fxxfx x 3导数的几何意义：函数导数的几何意义：函数y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意处的导数的几何意 义，就是曲线义，就是曲线y=f(x)在在P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点在点P(x0，

5、f(x0)处的切线斜率为处的切线斜率为kf (x0)所以曲线所以曲线 y f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为处的切线方程为 y y0=f (x0)(xx0) 4导数的物理意义：物体作直线运动时，路程导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间关于时间t 的函数为：的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度，那么瞬时速度 v 就是路程就是路程 s 对于时间对于时间t的导数，的导数， 即即v(t)=s(t). 基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式 1. 2.() 3. 4. 5.ln 6. 7. 8. nR a nn-1nn-1 xxxx xxxx a a 若f(x)=c，

6、则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0 若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx 若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx 若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx 若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a 若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e 1 1 若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)= xlnaxlna 1 1 若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)= x

7、 x 返回返回 导数的运算法则导数的运算法则: : 法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和( (差差) )的导数的导数, ,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的 和和( (差差),),即即: : ( )( )( )( )f xg xf xg x 法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个 函数函数, ,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 , ,即即: : ( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x 法则法则3:3:两个函数的积的导数两个函数的积的导

8、数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个 函数函数, ,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 , ,再除以第二个函再除以第二个函 数的平方数的平方. .即即: : 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x g x 返回返回 当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点 P P即即x0 x0时时, ,割线割线PQPQ如果有一如果有一 个极限位置个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线 PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的切线处的切线. . 设切线的倾

9、斜角为设切线的倾斜角为, ,那那 么当么当x0 x0时时, ,割线割线PQPQ的的 斜率斜率, ,称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的 切线的斜率切线的斜率. . 即即: : 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf xy kf x xx 切线 P Q ox y y=f (x) 割割 线线 切切 线线 T 返回返回 1) 1) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内单调递增；内单调递增； 2) 2) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0 f (x)0 如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒

10、有 ,则则 为常数为常数.0)( x f)(xf 返回返回 2)2)如果如果a a是是f f(x)=0(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧附近的左侧附近 f f(x)0(x)0(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函数函数 f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值. . 函数的极值函数的极值 1)1)如果如果b b是是f f(x)=0(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f f(x)0(x)0， 在在b b右侧附近右侧附近f f(x)0(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函数是函数f(x)f(x)的一个极大值的一个极大值 注：导数等于零的点不一

11、定是极值点注：导数等于零的点不一定是极值点 2)2)在闭区间在闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条连续不断的曲的图象是一条连续不断的曲 线线, ,则它必有最大值和最小值则它必有最大值和最小值. . 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数 x x y y 0 a a b b x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 f(a)f(a) f(xf(x3 3) ) f(b)f(b)f(xf(x1 1) ) f(xf(x2 2) ) g g 返回返回 （五）函数的最大值与最小值：（五）函数的最大值与最小值： 1定义：最值是一个整体性概念，是指函数

12、在给定区定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区 间间(或定义域或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小，最小 值记为值记为m. 2存在性：在闭区间存在性：在闭区间a，b上连续函数上连续函数f(x)在在a，b上必上必 有最大值与最小值有最大值与最小值 3求最大（小）值的方法：函数求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上最上最 值求法：值求法： 求出求出f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值； 将函数将函数f(x)的极值与的极

13、值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是比较，其中较大的一个是 最大值，较小的一个是最小值最大值，较小的一个是最小值. 两年北京导两年北京导 数题数题, ,感想如感想如 何何? ? 例例1已经曲线已经曲线C：y=x3-x+2和点和点 A(1,2)。求在点。求在点A处的切线方程？处的切线方程？ 解：解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切线方程为：所求的切线方程为： y2=2(x1), 即即 y=2x 变式变式1：求过点：求过点A的切线方程？的切线方程？ 例例1已经曲线已经曲线C：y=x3-x+2和点和点(1,2)求在求在 点点A处的切线方程？处的切线方程？ 解：变解：变1

14、：设切点为：设切点为P（x0，x03x0+2），）， 切线方程为切线方程为 y y ( x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0) 2 1 又又切线过点切线过点A(1,2) 2 2( x03x0+2)=( 3 x02 21 1)(1x0) 化简得化简得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0， 2 1 1 4 当当x0=1时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0= k= f/(x0)= 3 x021， 当当x0= 时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为： y2= (x1),即即x+4y9=0 变式变式

15、1：求过点：求过点A的切线方程？的切线方程？ 例例1：已经曲线：已经曲线C：y=x3x+2和点和点(1,2)求求 在点在点A处的切线方程？处的切线方程？ 变式变式2：若曲线上一点：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直处的切线恰好平行于直 线线y=11x1，则，则P点坐标为点坐标为 _, 切线方程为切线方程为_ (2,8)或或( 2, 4) y=11x14或或y=11x+18 （1）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量 与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率， 即函数值在即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关 的问题都可以用导