大学物理-第1章 电场强度 高斯定理

1、1 电磁学分册电磁学分册 2 第一章第一章 电场强度电场强度 高斯定理高斯定理 3 4 4.4.理解电场线的性质，理解静电场是有源场理解电场线的性质，理解静电场是有源场 1.1.理解电荷的性质，电荷守恒定律及电荷的量理解电荷的性质，电荷守恒定律及电荷的量 子化，子化， 2.2.理解电场强度的定义，理解电场叠加原理理解电场强度的定义，理解电场叠加原理 3.3.会用积分法计算简单带电体产生的电场会用积分法计算简单带电体产生的电场 5. 正确理解高斯定理的物理意义正确理解高斯定理的物理意义 6 6. 会用高斯定理求解特殊对称的电场强度会用高斯定理求解特殊对称的电场强度 5 1.1.1. 电荷电荷 电

2、荷的性质电荷的性质 1. 电荷电荷带电的物体称为带电体，小的带电体称电荷带电的物体称为带电体，小的带电体称电荷 2. 电荷的分类电荷的分类 3. 电荷量电荷量 物体所带电荷的多少称为物体所带电荷的多少称为电荷量电荷量 单位单位 库仑库仑(C ) 正正电荷电荷 玻璃棒玻璃棒 丝绸丝绸 负电荷负电荷 胶木棒胶木棒 毛皮毛皮 6 4. 电荷守恒定律电荷守恒定律 在一个与外界没有电荷交换的系统内，不在一个与外界没有电荷交换的系统内，不 论发生什么样的过程，系统内一切正、负电荷论发生什么样的过程，系统内一切正、负电荷 的代数和总是保持不变。的代数和总是保持不变。 5. 电荷的量子化电荷的量子化 一切带电

3、体的电荷量都是电子电荷量一切带电体的电荷量都是电子电荷量 e 的的 整数倍。整数倍。 qne ), 3 , 2 , 1( n 7 1.1.2. 真空中的库仑定律真空中的库仑定律 1. 点电荷点电荷 当每一带电体的线度与它们间的距离相较甚当每一带电体的线度与它们间的距离相较甚 小时，它们的形状、大小和电荷分布对相互作用小时，它们的形状、大小和电荷分布对相互作用 力的影响可忽略不计，这样的带电体称为点电荷。力的影响可忽略不计，这样的带电体称为点电荷。 当线度当线度 d1 和和 d2 0 q00 F r E r Q0q0 17 12 n F=F+F+F rrrr L EE i i rr 场强叠加原理

4、场强叠加原理 1.2.3. 一定数量点电荷产生的电场强度一定数量点电荷产生的电场强度 P 点场强点场强 1 12 11 4 i i 0 F q EEEEEr qr n inn i ni ii i 3 0 r rrrrr r L q0 受到的合力为受到的合力为 q1 q2 q0 1 E r 2 E r E r 1 r r r 2 r p 18 电偶极子电偶极子 由等值异号的点电荷由等值异号的点电荷 +q 及及- q 组成组成 条件条件l 0，沿，沿x轴负方向）轴负方向） dq=dx 如何积分？如何积分？ dq P dx L x x a y L dE r 22 因此，电场为因此，电场为 2 000

5、 d 111 444 La a Q x QQ L xLaLaa La E 讨论：讨论： （1）Q 0，电场方向沿，电场方向沿x轴负方向轴负方向 Q 0，电场方向沿，电场方向沿x轴正方向轴正方向 （2）若）若L a，则 44 QQ E a Laa 2 00 近似为点电荷近似为点电荷 23 求解步骤求解步骤 1、建立坐标系；、建立坐标系； 2、任意位置取电荷元、任意位置取电荷元dq，并写出，并写出dq的表达式；的表达式； 3、分析电荷元、分析电荷元dq产生的场强产生的场强dE的方向，分析是的方向，分析是 否相同，若不同则分析有没有抵消的情况；否相同，若不同则分析有没有抵消的情况； 4、写出、写出d

6、E的表达式（点电荷公式），的表达式（点电荷公式）， dE方向不同，进一步写出方向不同，进一步写出dEx ，dEy的式子的式子； ； 5、积分（积分时注意常量和变量），得到最后、积分（积分时注意常量和变量），得到最后 结果。结果。 24 例例1-2 正电荷均匀分布在半径为正电荷均匀分布在半径为R的半圆上，求圆心处的半圆上，求圆心处 的电场强度。的电场强度。 解：（解：（1）如图所示，建立坐标系；）如图所示，建立坐标系； （2）dq产生的电场产生的电场x 轴分量为：轴分量为： 22 00 sin d d dsin 44 x Q q E RR （3）积分得：）积分得： 0 0 sin dcos 44

7、2 QQQ E() RRR 222222 000 dddd QQ qlR R x y o dq dE r d dl=Rd d x E 25 例例 1-3 一个细圆环半径为一个细圆环半径为R，带有总电量为，带有总电量为Q，电荷均匀分布。，电荷均匀分布。 求其轴线上距离圆环中心为求其轴线上距离圆环中心为 x 的的P点的电场强度。点的电场强度。 由点电荷场强公式：由点电荷场强公式： 1d d 4 l E r 2 0 1d ddcos 4 l x EE rr x 2 0 由于对称性可知由于对称性可知dE 0 r d x EE Q为正，电场沿为正，电场沿 x方向方向. . ddql 解：圆环上微元弧的电

8、荷解：圆环上微元弧的电荷 R 0 P x dE dEx dE x dl （注意：（注意：r，x为常数）为常数） 3 2 1 4() Qx xR 22 0 r 26 1） 1 4 Q xRE x 2 0 ， 讨论讨论: : 00 xE， 2） max xREE ， 2 2 3） 4）试画出试画出 E(x) 的曲线。的曲线。 （视为点电荷）（视为点电荷） （互相抵消）（互相抵消） dE dE dEx R 0 x dl r P x 3 2 1 4() Qx E xR 22 0 R 2 2 R 2 2 x E o x 27 1.3.1. 电场线电场线 电场中所作的电场中所作的一系一系 列曲线列曲线，曲

9、线上各点的切线方向，曲线上各点的切线方向 与该点电场强度与该点电场强度 的方向一致。的方向一致。E r 1. 电场线电场线 2. 电场线密度电场线密度 穿过与电场强度方向垂直的单位面穿过与电场强度方向垂直的单位面 积的电场线根数积的电场线根数 P 点的点的电场线密度电场线密度 E r S N S N S d d lim 0 E P N S P 点的点的 E 规定规定 28 3. 几种典型电场的电场线几种典型电场的电场线 29 4. 电场线的性质电场线的性质 两电场线不相交两电场线不相交 有有 ，不闭合，不闭合， 始始 终终 始始 于于 电荷电荷 正正 终终负负 1 E 2 E P 若相交若相交

10、，P点将有两场强方向点将有两场强方向 30 1.3.2.电场强度通量电场强度通量 1. 平面平面dS 与与 垂直垂直 2. 平面平面dS 的法线矢量的法线矢量 与与 交角交角为为 E r cosd ddd e SE SEN S N E d d 已规定已规定则则SENddd e E r n e r E r dS dS n e r e 电场强度通量电场强度通量 =电场中通过某一曲面的电场线数电场中通过某一曲面的电场线数 e ddES rr 有正、负有正、负 31 3. 任意曲面任意曲面S 的电场强度通量的电场强度通量 SE SE S SS d dcosd ee n e E dS S 视为平视为平

11、面面 选取面积元选取面积元 4. 任意闭合曲面任意闭合曲面S 的电场强度通量的电场强度通量 向外法向外法 线线 向外法向外法 线线 E dS n e S E n e dS n ddeSS e cos d d S S ES ES rr 穿出为正，穿进为负穿出为正，穿进为负 32 （1）点电荷在闭合曲面内点电荷在闭合曲面内 1. 点电荷点电荷q 的的电场中任意闭合曲面的电场强度通量电场中任意闭合曲面的电场强度通量 e dd SS q ESS r 2 0 4 vv 蜒 以以q为中心、半径任意的球面为中心、半径任意的球面S 的电场强度通量的电场强度通量 由由库仑定律库仑定律得得P 点场强点场强 1 4

12、 r q Ee r 2 0 v r 面积元面积元dS的电场强度通量的电场强度通量 ddd rr qq ESeeSS rr 22 00 44 vv r r 对整个球面对整个球面 S 0 q q E v n e v S r P dS 33 包围包围q任意闭合曲面任意闭合曲面S 的电场强度通量的电场强度通量 e d S ES vv 0 q q E S S1 与球面与球面 S1 通量相同通量相同 34 2. 点电荷在闭合曲面点电荷在闭合曲面S 外外 0 e 在点电荷在点电荷 q 的电场中，通过的电场中，通过 任意闭合曲面任意闭合曲面 S 的电场强度通量的电场强度通量 e 0 ( q在在S内内 ) (

13、q在在S外外 ) 0 q q E v S 结论：结论： 穿进数等于穿出数穿进数等于穿出数 35 3. 点电荷系的点电荷系的电场中任意电场中任意闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量 d i S ES vv 0 ( qi 在在S内内 ) ( qi 在在S外外 ) 0 i q 各电荷单独存在时各电荷单独存在时 对点电荷系对点电荷系 i i EEEEE 123 vvvvv L 4 q 3 q 2 q 1 q S 5 q 123 0 1 ()qqq S内一切电荷内一切电荷 代数和代数和 in 0 1 d S ESq 空间所有电荷产生空间所有电荷产生 36 高斯定理高斯定理 通过任一闭合曲面的电场

14、强度通量，等于该闭通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该闭 合曲面所包围的电荷的代数和的合曲面所包围的电荷的代数和的 倍。倍。 0 1 注意：注意：1）高斯定理由高斯定理由库仑定律库仑定律导出，但是其适用导出，但是其适用 范围超出了范围超出了库仑定律库仑定律的适用范围。的适用范围。 in 0 d S q ES vv 高斯面高斯面S上积分上积分 空间所有电荷产生空间所有电荷产生 S内一切电荷内一切电荷 代数和代数和 37 2）电场）电场通量为零，通量为零，不能说明不能说明高斯面内无电高斯面内无电 荷，也不说明高斯面上场强处处为零；荷，也不说明高斯面上场强处处为零； 高斯面高斯面 0E 封闭面的电

15、场通量为零只能说明封闭面的电场通量为零只能说明 穿入穿出的电力线数目相等穿入穿出的电力线数目相等 dES S vv 0 但但 +q -q 例如：例如： 38 3）高斯面上场强由内、外电荷共同决定。高斯面上场强由内、外电荷共同决定。 高斯面的高斯面的电通量由面内电荷单独决定。电通量由面内电荷单独决定。 +q-q 高斯面高斯面 dES S q 0 vv 高斯面高斯面S上各点的场强上各点的场强 大小由大小由+q和和-q共同决定共同决定 39 1.3.4 高斯定理的应用高斯定理的应用 （a）利用高斯定理，求电通量利用高斯定理，求电通量 +q R R S q 求穿过求穿过S的电通量的电通量 辅助球面辅助

16、球面 求正方体之一个面的电通量求正方体之一个面的电通量 40 提示：提示： 半径为半径为R的半球面置于场强为的半球面置于场强为 的均匀电场中，其对称的均匀电场中，其对称 轴与场强方向一致，如图所示，则通过该半球面的电场轴与场强方向一致，如图所示，则通过该半球面的电场 强度通量为强度通量为 . E R E ER dd0ESES vvvv 半球面平面 dESR E 2 vv Q 平面 n Gauss law: n 穿出为正穿出为正 41 什么情况下高斯定理的左侧很容易积分展开？什么情况下高斯定理的左侧很容易积分展开？ dd cos i SS q ESE S 0 vv 蜒 1）在高斯面上）在高斯面上

17、 的大小为常量的大小为常量E v 2）cos1cos0or 3）这是很特殊的电场分布！）这是很特殊的电场分布！ 42 由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。 选取恰当的高斯面（球面或柱面）。选取恰当的高斯面（球面或柱面）。 由高斯定理求出由高斯定理求出 的大小，并说明其方向。的大小，并说明其方向。E v 高斯定理应用高斯定理应用 具有某种对称性具有某种对称性的电场，可应用的电场，可应用高斯定理计高斯定理计 算算电场强度电场强度 步骤如下：步骤如下： 43 例例1-5 均匀带电均匀带电球面球面内、外的电场（设半径内、外的电场（设半径R，带电量，带电量Q）

18、。）。 P Q P E v O Q E v o R 将球面分割为许许多多的细圆环将球面分割为许许多多的细圆环 每个圆环产生的电场方向都沿径向每个圆环产生的电场方向都沿径向! 合场强的方向沿径向（正电荷向外，负电荷指向球心合场强的方向沿径向（正电荷向外，负电荷指向球心O） 44 o R S1 S2 由高斯定理由高斯定理 S1： 11 1 2 0 dd d4 SS S ESE S ESr E Q )( 4 2 0 Rr r Q E n E 45 同理对于高斯面同理对于高斯面S2： dESr E S2 2 0 vv 4 S2 o R S1： )0(0RrE 球面内部没有电场线的缘故球面内部没有电场线的缘故 表面表面r=R处？处？ 2 00 82 S Q E R 表面 可用细圆环的积分求出可用细圆环的积分求出 46 球面均匀带电电场分布。 R E(r) r Q/40R (1/r2) O Q/80R 47 例例1-6