苏教版九年级一元二次方程复习专题

1、一元二次方程、本章知识结构框图二、具体内容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式；2 .正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数(1)让学生明确只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).(3)熟练整理方程的过程3 . 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 .列出实际问题的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法 为手段，从而把一元二次方程转

2、化为一元一次方程求解；2 .根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一 元二次方程；3 .体会不同解法的相互的联系；4 .值得注意的几个问题：22开平方法：对于形如x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程， 即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x2 n的方程的解法：当 n 0 时，x 7n ；当 n 0时，x1 x2 0；当n 0时，方程无实数根。(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程

3、的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式;求解：若n 0时，方程的解为x m jn,若n 0时，方程无实数解。 公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根x,2b . b 4ac2a2当b 4ac 。时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；- 2b当b 4ac 。时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为xi x22a当b2 4ac 。时，方程无实数根.公式法的一般步骤： 把一元二次方程化为一般式；确定a,b,c的值；代入b2 4ac中 计算其值，判断方程

4、是否有实数根； 若b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无 实数根。(因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即：若ab 0,则a 0或b 0；因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式； 把方程的左边分解为两个一次因式的积， 右边等于 0；令每一个因式都为零， 得到两个一元一次方程； 解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（ 5 ）选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程， 可选用因式

5、分解法， 较之别的方法可能要简便的多， 只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（ 6 ）解含有字母系数的方程（ 1 ）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（ 2 ）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。（三） 、根的判别式1 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（ 1） = b 2 4ac2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2bx c

6、0 （ a 0 ）a当00时方程有实数根；数根； ）0方程有两个不相等的实数根；0时0方程有两个相等的实0时当 a00时方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2 常见的问题类型（ 1 ）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（ 2 ）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（ 3 ）应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式（关键步骤）；用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论.例：求证：方程（a2 1）x2 2ax（a24） 0无实数根。（ 4 ）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后

7、面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0 ，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（ 5 ）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（ 6 ）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（ 7 ）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题（四） 、一元二次方程的应用1 . 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2 .几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要

8、结合几何知识检验。3 .增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ） ，增长率（ x ） ，变化的次数（ n ） ，变化后的基数（ b） ,这四者之间的关系可以用公式a（1 x）n b 表示。4 .其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题例 1.有 100 米长的篱笆材料， 想围成一矩形仓库， 要求面积不小于600平方米， 在场地的北面有一堵 50 米的旧墙， 有人用这个篱笆围成一个长 40 米、 宽 10 米的仓库， 但面积只有400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?例2.读诗词解题(列出方程，

9、并估算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三, 个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？例3.已知：a,b,c分别是 abc的三边长，当m 0时，关于x的一元二次方程22c(x m) b(x m) 2jmax 0有两个相等的实数根，求证：abc是直角三角形。例4.已知：a,b,c分别是 abc的三边长，求证：方程 b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0没 有实数根。例5.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2 4x 4 0与22x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数？例6.已知关于x的方程x2 2x m一1 0 ,其中m为实数，(1)当m为何值时, x 2x 2m方程没有实数根？ ( 2)当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。例7.已知关于x的一元二次方程 x2(2k+1)x + k2 + 2k= 0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在k使得xx2x12 x220成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.例8. (2013 威海)要在一块长52 m,宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的 甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案.阳图小亮设计的方案如图所示