将军饮马问题拓展

1、“将军饮马问题”的探究与启示【摘要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题，是较 多学生解题的“障碍”问题，现通过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马 问题”，利用“两点之间线段最短”加以证明，同时对数学教育工作者提出了启 示。【关键词】轴对称 最小值 问题探究 问题启示【正文】一、问题再现基本问题：人教版八年级数学上册P42有一道探究题，源于古希腊着名的“将军饮马问题”，大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。课文原 题如下：如图1,要在燃气管道丨上修建一个泵站，分别向 A，B两镇供气，泵站 修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？课本给出了如下的作图及证明

2、方法：如图2,作B关于直线丨的对称点B,连结AB与直线丨交于点C,点C就 是所求的位置证明：如图3,在直线I上另取任一点C，连结A C，B C， Br C，因为直线I是点B, B的对称轴，点 C, C在I上， CB=CB , C B= C B， AC+CB二AC+B =A B .在厶A C B 中，t A Bv A C + C B,. AC+CB v A C + C B即 AC+CBR小.反思：本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大 于第三边”的问题加以解决（其中C在A B与I的交点上，即A、C、B三

3、点共线）。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值” 的问题的数学模型。二、问题探讨1、在三角形（或四边形）中的运用：已知正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2 N是AC上的一动点。贝V DN+M的最小值为多少？分析：要求DN+M的最小值，联想“将军饮马问题”， 作点M关于AC的对称点E,且易知点E应该在线段BC上, 这样MN二NE那么题目就转化成求 DN+N啲最小值了，由于点N在AC上移动且D、N、E可能构成一个三角形，因为“两点之间线段最短” , 所以，当点N移动到DE与AC交点处，即点D、N E共线时，DN+NE=DE=，达到 最小值。反思：若引导学生把

4、题中的 D、M看着是基本问题中的 A B两点，把AC看着 是基本问题中的燃气管道 丨，本问题即为基本问题，学生可通过基本问题的联想和 迁移解决本问题。C0, 2 .2、在平面直角坐标系中的运用：(2009年济南)已知：抛物线的对称轴为 X= 1,与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,其中A 3,0、(1) 求这条抛物线的函数表达式.(2) 已知在对称轴上存在一点P，使得 PBC的周长最 小.请求出点P的坐标.(3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点 O点C重 合).过点D作DE / PC交x轴于点E.连接PD、PE .设CD 的长为m， PDE的面积为S .求S与m之间的函数关系 式试说明

5、S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若 不存在，请说明理由。分析：(本题只对第2问作详细分析)(1)抛物线的解析式为y 2x2 x 2.33(2)连结AC BC.因为BC的长度一定，要使 PBC周长最小，就是使 PC PB最小。B点关于对称轴的对称点是 A点，通过A 3,0、C(0，-2)可求AC的解析式为y 2x 2AC与对称轴x 1的交点即为所求的点P 1 4 0 (3)当m 1时，S最大-3，34反思：本题对第2问的解答是转化为“求定直线x 1上一动点与直线外两定点B、C的距离和的最小值”，它的原型就是“将军饮马问题”的基本问题，由于 和函数结合一起，增加了命题的想象空间，这里，蕴含

6、了丰富的“数”与“形” 相互转化的数学思想3、在代数式中的运用：已知a、b均为正数，且a+b=8 , 求代数式.a24. b2 16的最小值。分析：由a、b均为正数，且a+b=8，得 a2 4. b2 16 =a24(8 a)2 16 ,构造合适图形可将其转化为求两条线段和的最小值问题。如图，取 AC=2 BD=4 AB=8,作C关于AB的对称点C,连接 C D交 AB于 P,连接 CP 设 PA=a 贝V PB=8-a , CP=, DP=（厂&厂16。此时C、P、D三点共线，C D=CP+DP=82 62 =10为最小值。反思：正是由于a、b均为正数，可以把此题构造“将军饮马问题”的基本图

7、 形，顺利地求出.a2 4 b2 9的最小值为13,想法新奇但又顺理成章三、问题推广1、由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题：义务教育课程标准 实验教科书八年级上册 P47第9题，如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线分析：作A关于MN 的对称点G,B关于直 线丨的对称点H,连 接GH交MN于 I，交 直线丨于L,连接AI、BL,即可得出答案;反思：根据对称点推出 AI=GI , BL二HL HK=BK AJ=GJ,

8、则四点 G I、L、H 在同一直线上（基本问题中三点共线的推广），根据两点之间线段最短即可求出 答案。2、从用“三角形周长最短”证明推广到用“一边为定值的四边形周长最短”的证明：在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点0在坐标原点，顶点 A、B分别 在x轴、y轴的正半轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点.若E、F为边OA上的 两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点 E、F的坐标.分析：由于DC EF的长为定值，如果四边形 CDEF的周长最小，即 DE+FC有最小值.为此，作点D关于x轴的对称点D，在CB边上截取CG=2 当点E在线段DG上时，四边形CDEF的周长最小.t

9、E F A rf反思：此题主要考查轴对称一一最短路线问题（将军饮马问 题），它是在基本图形证明线段和（一边为定值的三角形周长）最短的基础上增加了平移的线段（GE和（两边为定值的四边形周长）最短的问题，只要学生充分体会“将军饮马”的问题，通过对基本问题知识的类比与迁移， 可以解决此问题四、问题启示 基于对“将军饮马问题”的探索，笔者认为对数学教育工作者有两方面的启 示：1、对习题设计者（试卷命题者）的启示：对习题的变式题的设计要“从学生 发展的内在需要出发，从教学内容的发生、发展过程的角度出发” ，能融数学的教 与学为一体，重视知识的形成过程，重视知识的“内化” ；对试题的设计要立足于 教材，对例题或基本图形进行深入的挖掘，以教材的例题或基本图形为起点，结 合学生的生活经历，难度视本题型在试卷所处的位置而定。2、对教师教学的启示：从本文的解法反思中可以看出，即使是比较复杂的问 题，所用到的知识也是简单的基础问题，这就要求教师在日常的教学中，特别是 单元复习和中考复习时，不仅要从不同角度去分析问题，还原知识的发生、发展 及形成的过程，教给学生解题的方法，而且要与学生共同探究基本问题与解题的 联系