导数的基本概念及性质应用

1、导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式1、导数的概念函数y = f(x)的导数f (x)，就是当 xt o时，函数的增量 y与自变量的增量 x的比啓的极限，即 f gpm。卷=映7型说明：分子和分母中间的变量必须保持一致2、导函数函数y = f(x)在区间(a, b )内每一点的导数都存在，就说在区f (x)间(a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做f(x)的

2、导函数，记作f(X)或yx，函数f(x)的导函数f(X)在X=X0时的函数值f (x。)，就是f(x)在x0处的导数。3、导数的几何意义设函数y = f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M (x0, y0 )处的切线斜率。4、求导数的方法(1) 基本求导公式(2) 导数的四则运算(3) 复合函数的导数设u =g(x)在点x处可导，y =在点f(x)处可导，则复合函数 fg(x)在点x处可导，导数性质:1. 函数的单调性设函数y = f(x)在某个区间内可导，若f (x) 0，贝U f(x)为增函数；若f (x) v 0则为减函数。求可导函数单调区间的一般步聚和方

3、法。 确定函数f (x)的定义区间 求f (x)，令f (x) = 0,解此方程，求岀它在定义区间内的一切实根。 把函数f (x)的间断点(即f(X)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。 确定f (x)在各小开区间内的符号，根据f (x)的符号判定函数 f (x)在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2. 可导函数的极值极值的概念设函数f (x)在点xo附近有定义，且对 xo附近的所有点都有f (x) v f(Xo)(或f(x) f(Xo)，则称f (x0)为函数的

4、一个极大(小)值点。称x0为极大(小)值点。求可导函数极值的步骤。 求导数f(X) 求方程f (x) = 0的根 检验f (x)在方程f (x) = 0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y = f (x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y = f(x)在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0,导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出 了一个f (x) = 0的方程3. 函数的最大值与最小值设y= f(x)是定义在区间a ,b 上的函数，y = f(x)在(a ,b )内有导数，求函数 y = f (x)在

5、a ,b 上的最 大值与最小值，可分两步进行。 求y= f(x)在(a ,b )内的极值。 将y = f(x)在各极值点的极值与 f(a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小 值。若函数y = f (x)在a ,b 上单调增加，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 y =f (x)在a ,b 上单调减少，则f(a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值、例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点X0处可导，a为常数，则 啊f(Xo a x)f(X0 a X)等于()A.fYxo)B.2af/(xo

6、)C.af/(xq)D.0f(Xg TX) -f (Xq)【变式】设f (x)在Xq处可导1缎,0飞题型二导数的几何意义、物理意义2x【例2】(1)求曲线y =飞 在点(1,1 )处的切线方程；x +1一一t 12(2)运动曲线方程为 S 厂* 2t ,求t=3时的速度t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在Xq处的导数就是曲线y=f(x)在点S(t)对时间的导数p(xo,yo)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间(1)=f (x) = x34x2-2x 5X2 -1(3)kix (k q)x(4)=2x2 -In :

7、题型四：利用导数求函数的最(极)值3【例4】求函数f(x) =x -3x -1在闭区间-3，0上的极值、题型五：原函数图像与导函数图像【例5】1、设f ( x)是函数f (x)的导函数，y=f ( x)的图象最大值、最小值如右图所示，则 y=f(x)的图象最有可能的是(A)(B)(C)(D)2、 函数f (x)的定义域为开区间 (a, b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 f (x)在开区间(a,b)内有极小值点()A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数f(x) =ax3 bx2 -3x在x二1处取得极值。(I)

8、讨论f (1)和f (-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(II) 过点A(0,16)作曲线y = f(X)的切线，求此切线方程。【例7】已知函数f x =ax bx cx在点x0处取得极大值5，其导函数y二x的图象经过点(1, 0),7; 当 x=3 时，(2, 0)如图所示求:(1) x0 的值；(2) a、b、c 的值.【例8】已知函数f (x) =x3+ax2+bx+c，当x= 1时，取得极大值及a、b、c的值【例9】已知f(x)=ax4 bx2 c的图象经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y = x-2 (1)求y二f (x)的解析式；(2)求y二f (x)的单调递增区间题

9、型七：含参数的讨论a的取值范围是【例101( 1)如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数心一 1）,心,若存在不同时为x = a (t2 -3)b,y44tb,且x _ y，试确定函数k= f （t）的单调区间A.（0,+ ：）B.0,+ ：）C.（3,+ ：）D.3,+ :）（2）如果函数f（x）=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数 a的取值范围是 0, 4)【例11】已知函数f x二ax-x bx 2 a,b,cR且a = 0在区间-：:,0上都是增函数，在（ 上是减函数.（1）求b的值；（2）求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量a例题答

10、案:例 1】解：故选（C）【变式】：-1例 2】（1）y2(x21) _2x 2x(x2 1)22-2x2(x2 1)222ylx#0，即曲线在点（1，1）处的切线斜率 k=042x因此曲线在（1，1 ）处的切线方程为 y=1x2 +1(2)S二2(2t2)-2t(t-t44t=.4tSlt z3D92712 =11空27【例 3】(1) y 二 3x2 X 2= (3x 2)(x _1)(-二23)x (-彳,1) y(2) yx21，0)，(0, r )k2 X (_：,_k) (k, ：) y 0 x (_k,0) (0, k) y ： 0【例4】【例5】【例6】 (_： , k), (

11、k ,：)(-k,0), (0,k八1(4) y =4x-x4x2 -1定义域为(0 , 二)略，注意强调学生的步骤完整性1、C分析:2、 A(1)分析x= 士 1处的极值情况，关键是分析x= 士 1左右f (x)的符号(2)要分清点 A ( 0, 16)是否在曲线上.解:f ( x)2=3ax +2bx 3,依题意，f (1) = f ( 1) =0，即3a+2b_3=0,3a2b3 = 0.解得a=1,b=0. f (x) =x3 3x,f (x) =3x2 3=3 (x+1)( x 1).令 f (x) =0，得x= 1, x=1.若 x ( x, 1)U( 1 , +x)，贝U f (

12、x) 0,故f ( 乂)在(伞1) 上是增函数，f (乂)在(1 , +8)上是增函数.若 x ( 1, 1),贝 U f (x)v 0,故 f( x)在(一1, 1) 上 是减函数.所以f ( 1) =2是极大值，f (1) = 2是极小值.(2)曲线 y=x3 3x,点 A ( 0, 16)不在曲线上，设切点 M (x, y),贝U y=x03 3x. f (X。) =3x)2 3,切线方程为 y y=3 (x2 1)( x x0).代入 A ( 0 , 16)得 16 x3+3x0=3 (x2 1)( 0 x).解得 x= 2,二 M ( 2, 2)，切线方程为 9x y+16=0.评述

13、：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数f x的增减变化如下表:x12+0-0+极极大小（1） f x在x=1处由增变减，故f 1为极大值，即x0=1.2(2)由于 f x = 3ax 2bx c,-1 3-b-1 3 =32a3【例8】解：f（x） =3x2+2ax+b.据题意，1 , 3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得 a= 3， b = 9 f (x) =x3 3x2 9x+c/ f ( 1) =7， c=2极小值 f( 3) =33 3X32 9X3+2= 25 极小值为25， a= 3， b = 9， c=2【例9】解：（1）

14、f （X）二ax4 bx2c的图象经过点（0,1），则c =1，切点为（1,-1），则f（x）二ax4 bx2 c的图象经过点（1厂1）心小 59得 a b c = -1,得 a, b =2 2(2) f(x)=10x3-9x 0,-型汰 2或x 匕10 10单调递增区间为3,1010例 10】（1） A （2） （- :，0【例11】解：由条件知 x = 0是函数y = f x的极值点 f x =3ax2 -2x b，令 f 0 =0,得 b = 0.已求 b = 0， f x =3ax2 -2x.令x =0，得 x =0,2 .由条件知 x = 0 3a为极大值点，则 x =应为极小值点又

15、知曲线在区间(0，4)上是减函数. 3a- -4，二 6 /3, -1),b=(丄，乜)得=0 =2, b| =12 2所以增区间为（-, -1）,（1,；）；减区间为（-1,1）三、课堂演练:1.若曲线y=f (x)在点(xo, f (xo)处的切线方程为2x y-仁0,则A . f (xo) 0 B . f (Xo) 0B . a 0, 从而 xi 二2, X2= 2,2即_兰a +6解不等式组得2= a 2.a212 乞6 a. a的取值范围是2,2.四、课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函 数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主 观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考 察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型