导数解答题之极值点偏移问题教师版

1、函数与导数解答题之极值点偏移问题1 _ x1. ( 2013湖南文21)已知函数f(x)2ex1 +x(I) 求f(x)的单调区间；(n)证明：当 f (%) = f 匕2)(为=x2)时， x2 : 0.2. (2010天津理21 )已知函数f(x)=xe(xR).(I )求函数f (x)的单调区间和极值；(n )已知函数y=g(x)的图象与函数 y = f(x)的图象关于直线 x=1对称，证明当x 1时，f(x) g(x)(川)如果 = x2,且 f (xj = f (x2),证明 x.( x22【解析】(I)解：f (x) =(1-x)e令 f (x)=0,解得 x=1当x变化时，f (

2、x) , f(x)的变化情况如下表X(-,1)1(1,2)f (x)+0-f(x)匚极大值匚所以f(x)在(-：，1)内是增函数，在(1,匸：)内是减函数。1函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=-e(n)证明：由题意可知 g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2-x)ex令 F(x)=f(x)-g(x), 即 f (x) = xe* (x - 2)ex于是 F(x) =(x -1)(e22 -1)e当 x1 时，2x-20,从而 e2x-2 -10,又e0,所以 F(x)0,从而函数 F( x)在1,+8 )是增函数。又 F(1)= e-1 _e-1 =0,所以 x1 时，

3、有 F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).川)证明：(1)若(x1 -1)(x2 -1)=0,由( ) 及f(x 1)=f(x 2),则% =x2 =1 与x x矛盾。(2)若(x -1)(X2-1)0,由(：)及f(x1)=f(x2),得Xi二X2.与Xi= x矛盾。根据(1)( 2)得(X1 1)(X2 -1) ：0,不妨设 X1 ：1,X21.由(n)可知， f(x 2) g(x2),则 g(x2) = f(2-x 2)，所以 f(x 2) f(2-x 2),从而f(x Jf(2-x 2)因为x2 1，所以2-x2：1,又由(I)可知函数f(x)在区间(-汽1) 内事增函数，所以x

4、1 2 -x2,即为x2 2.a3.已知函数f x；=lnx2 .x(1) 讨论f x的单调性；(2) 若函数y = f x的两个零点为XpX2 x： x2，证明：x1 x2 2a.试题分析：(1)首先求出函数f X的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出所求的结果；(2)首先由函数y = f x的两个零点为x-!, x2 x： x2并结合(1) 可得0v X1 0),所以当 aw 0 时，厂(x) 0, f(x)在 (0,入入入+8)上单调递增；当a0时，f(x)在(0, a)上单调递减，在(a, + )上单调递增.(n)若函数y= f(x)的两个零点为X1, X2 (X1X2

5、)，由(I)可得 0 X1 a g(a) = 0,即 f(x) f (2a - x).令 x=XjV a，则 f(x” f(2a - xi),=f (x)_ f (2a x),(0 x f(2a - xi),由(I)可得 f (x)在 (a,+ )上单调递增，所以 X2 2a - Xi, 故 x1 + x2 2a.k4. (2016福州五校下学期第一次联考)已知函数f(x)=xl nx -( kR ),其图象与x轴x交于不同的两点 A(Xi,0) , B(X2,O)，且x X2.(1)求实数k的取值范围;(2)证明:X1x2a 25已知函数f X = xl nx-Xa(aR )在其定义域内有两

6、个不同的极值点.(I)求a的取值范围；(n)设f(x)两个极值点分别为 x，x2，证明：x1 x2 e2.解：(I)依题，函数 错误！未找到引用源。的定义域为 错误！未找到引用源。，所以方程 错误！未找到引用源。 在错误！未找到引用源。 有两个不同根即，方程 错误！未找到引用源。 在错误！未找到引用源。 有两个不同根令错误!未找到引用源。，从而转化为函数 错误！未找到引用源。 有两个不同零点,而错误!未找到引用源。(错误！未找到引用源。)若错误!未找到引用源。，可见错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上恒成立,所以错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。单调增,此时错误！ 未找至U引用

7、源。不可能有两个不同零占八、-若错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。时，错误!未找到引用源。,在错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调增,在错误!未找到引用源。上单调减，从而错误！ 未找至U引用源。又因为在错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。，在在错误!未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，于是只须:错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引源。综上所述，错误！未找到引用源。(n)由(I)可知 错误！未找到引用源。 分别是方程 错误!未找到引用源。的两个根,即错误！未找到引用源。，错误！未找到

8、引用源。， 设xi x2，作差得，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。原不等式x1 x2 e2等价于X2（论x2 ）In x-i ln x22= a x x2 2= In -X?X- * X?x-i丄令一“，则t 1,X2来源学&4&网ln X1 2 xJ int 2 tX2Xi X2t 12函数g t在1, :上单调递增，10分设gtm-料，t 1，g汁0，g t g 1 =0,即不等式int 2 t -1成立，11分t +1故所证不等式x1 X2 e2成立.12分16已知函数 f(x) =1 nx , g(x)二 ax b .X(1) 若函数h(x)二f (x) _g(x)在(0,

9、；)上单调递增，求实数 a的取值范围；1(2) 若直线g(x) =ax是函数f(x)=l nx-图象的切线，求a亠b的最小值；x(3) 当b =0时，若f(x)与g(x)的图象有两个交点 A(X1,yJ , Bgy?),求证：为x 2e2.【答案】(1) aM ; ( 2) -1 ； ( 3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；(2)将参数a, b用切点的横坐标表示，再借助导数求最小值；(3)先分析转化再构造函数，运用导数的有关知识 进行推证.试题解析：(1) h(x) = f (x) - g(x) =(ln x -1)(ax b) = In x

10、-1 ax b ,XXh (x) =12 -a.x x11h(x)在(0,=)上单调递增， 一(0,；) , h(x)2a0恒成立X X1 1即-(0, =) , a 2 恒成立X min1 1 #1 12 1 令 H(x)=7 x=(x 2) 4，x 0时，H (x) .0 , . a 乞0.(2) 设切点为1(X0, y)，则 a =2X01X。，又 ax0 b =1 n x01,b =1 n x01X0X0a b二丄X0x01 .+ +2X X1 (x 2)(x -1)3x111令(x)2 In X -1，则：(x)3XxX当(X)0时，(1,；)，所以(x)在(1,；)上单调递增;当(

11、x) Ot此时蘇淮(0+=)上单调递壇.若 Qh 则占厂得* a. u! 0xu 时.nA)盘时.fXx)Q.此时在fO, ”)上单调遏减*在g, +)上单调递增* 4分(II )令叙寓)=)(。十jr)血一*)则g(x)=*(a4-xJ1+(1 tr)(fi+x) oln+jr)rf+(1 口一口 一口Ing -r)-lx dln(&+x)+ulng p)-求导歇得推)=2-未-a x a* 一x*1 0rv-(/ Hj v) -0*(;)上是减甫故*而刃0)=0、二负斗)更0)=0*A2为 0xt/ 时 *x). 8分(Ill)由(1 )町知当盘W 0时#函数$=/(#)至有一个等点故dA

12、0从jftf /(的At小值为貞曰),1L f(aY 0-十妨设 0Vjf|V曲* fflOVjtiV打Vr* 0V打一jtVzHl ( II )i ?/ J(la At) = fl a + a x() 0时，g(x). ，在时，g(x). 0 , y = a的图像在(0,匸：)上有两个不 同交点，只须0 : a :-eW”l nxI n x2 .由(1)可知x1,x2分别是方程In x -ax二0的两个根，即In x1=ax2,In x2 二 ax2,(2) 因为&临。等价于所以原式等价于1a%r心屜二a(%r，x2)，因为，-0,0 ：x,：x2,所以原式等价于2xx又由 In % = a

13、 ,In x2 二 ax2 作差得，In 1 = a(x -x2)，即 a -x2& _X：所以原式等价于一堂,为一x2为 +x2因为 0 ”： ： x2，原式恒成立，即 In 色：丛一 恒成立.x2X| + 上 x2令t 二冬，t (0,1), X2则不等式lnt : 也在I (0,1)上恒成立.t中扎令 h(t) =1 nt(1 )2(tJ2(t-1)(j2)t(t ,)2当2 _1时，可见r (0,1)时，h(t) o,所以h(t)在r (0,1)上单调增，又h(1)= o, h(t) Mi丿，二YLoXiJI 2丿Xih(t )在(1,+比单调递增,考点：导数与函数的单调性，导数的综合

14、应用.f、2 X2 _i 要证明f，红电 Lo，只需证2区-*)一 |门竺圭。，即只需证In昱丿2Xi + X2XiXX2/12Xi设=t 1，构造函数2 (t 1 ) *14h t 円nt - 4 彳，h t =2_ t 10Xit+it (t+i)_t(t+1)210. (2014襄阳市三月考试)已知函数f(x)=alnx-x2.1(1 )当a =2时，求函数y = f(x)在,2的最大值；2(2) 令g(x f (x) ax，若y = g(x)在区间(0, 3)上不是单调函数，求 a的取值范围；(3) 当a =2时，函数h(x)=f(x)-mx的图象与 x轴交于两点 A(x1,0)， B

15、(x2,0)，且 0 ：必:X2，又h(x)是h(x)的导函数若正常数:J满足条件二讦弋=1- 一：，证明： h(ax1 x2) : 0.解：当 a = 2 时，f(x)=Z_2x=2 竺XX1函数y = f (x)在 丄，1是增函数，在1 ,2所以 f(X)max = f =21 n X-1 =- 12是减函数2(2)解：I g(x) =alnxx ax ,.g (x)g （x）因为在区间（o, 3）上不是单调函数,由 g (x) =0得：2x2-ax-a = 0,有 a2(xx +1又当a =-8时，g (x) =0有重根x =-2; a = 0时,a 小 = 2x 亠 ax g (x)

16、=0在(0, 3)上有实数解，且无重根22x 1 L) _4. (0,卫),Xqo,x+12g (x) =0有重根x = 03)综上，a的取值范围是（0,23分4分5分6分7分8分2(3)解：当 a = 2 时，h(x) =21 nxx -mx , h (x)h (x) = f (x)- mx 的图象与f (x)- mx = 0有两个实根2 2ln % % mxt =0吐2，2ln x2 X2 mx2 =02(ln 洛一In x2) fm X1 一 X2x轴交于两点XI、 x2,两式相减得:-(x1X2)2 二是 h(_込-x2)2( _坏OXt + Px22ax +0X22(ln 为2门2x

17、 m xA(X1, 0), B(X2, 0)2 22(ln 捲 一 In x2) - (x1 - x2m( x1 - x2)八心皿2）化N -X2In x2)(2:1)(X2 -为)Xi - X2:：=1, : w :, 2 - w 1 二(2 ：- _1)(X2 -X1)w 02甘l：,x2要证：h（: xi ：X2）：0，只需证:2(ln x1 - In x2)：0X X2Xi只需证：ln -0 (*)a% + Px2x2X11 -1令 t 二一 (0 t 1X2)10分X -Xz11分c +1 nt c0:t -11则u-2t(Gt+0)2二1 - t ，即(:t ： )2 t2211二

18、 u (t)=丄1-0t (at+0)212分1 t(：t)2u (t)在(0, 1)上单调递增，u (t) u (1) = 0 n t + 10，即ln 生 0h (：捲：x2) ：0：X1: X213分14分11.已知函数f(x)=lnx-mx(m为常数).(I)讨论函数 f(x)的单调区间；3/2(n )当m _ 一时，设g(x2f (x) x2的两个极值点x1? x?,(为：x?)恰为2h(x) = In x - ex2 -bx 的零点，求 y =(为-x2)h(xi ?x2)的最小值1i _ i*mx试题分析：(I)求解 f (x) m(x 0)，分m 0, m = 0, m ： 0

19、三种情况分xx类讨论求解函数的单调区间；(n)求出 g x和h x的导数，运用韦达定理和函数的零 点的定义，化简整理，构造新函数，运用导数判断函数的的单调性，即可求解最小值.试题解析：(I) f (x) = 1 -m = 1 mx , x 0 .xx当m 0时，11由1 -mx 0解得x ，即当0 ： x 时，f (x)0 , f x单调递增；mm11由1 -mx : 0解得x ，即当x 时，f(x)：0, f x单调递减.mm1当m=0时，f(x)=0，即fx在(0, +s)上单调递增；x当m ：0时，1 - mx 0，故f (x)0，即f x在(0, +)上单调递增.当m V时，f x的单

20、调递增区间为(0,-)，单调递减区间为(-,+R);mm当m 0时，f x的单调递增区间为(0, +R).22(x2 mx 1)g (x)的两根x ,2X2即为方程x -mx1=0的两根.m-竽,2二 m -40 ,x1x2 二 m,x1x2 二 1.又x1, x 为 h(x)=In x -ex2 -bx 的零点,二 In2 2x - CX - bXi = 0 , In x? - ex? - bx 0 ,两式相减得In 程-cXi-X2X1X2f-bX1-X2= 0X2b=x - X2X2/、C(X X?),1而 h (x) 2cx b ,x y=(为X2)c(x1X2) -bx1 +x2=

21、(X1 X2)X12X2In兰Xo-e(X1 X2)c(x1 X2)X 一 X?1= 2(X1 一X2)_i门2 合,X1X2X2X11X2X2令昼=t ( 0 ： t ： 1),X222ooq由 X1X2 m 得 x1x22x2 二 m ,因为X|X2 =1，两边同时除以X1X2,得 t 12 二 m2t15 m-，故 tn，解得 t 2，设 g( t ) =2 汁1nt ,G(t) =-(t -1)2t(t 1):0 ,则 y=G (t) 在 (0,1上是减函数,222(n) g(x) = 2f (x)+x =2Inx2mx + x ，贝y g(x) =12G ( t ) min= G (

22、 )=ln 2 ,23x + x2即y =(x X2)h (二 上)的最小值为-一 In 2 .23考点：函数的导数在函数中的综合应用；函数的零点的应用.a 212.已知函数 f X=xlnx X a- R .(1) 若x . 0 ,恒有f (x) _ x成立，求实数a的取值范围；(2) 若a = 0，求f (x)在区间t,t - 2(t . 0)上的最小值；1 (3) 若函数g x = f x -x有两个极值点x-,x2，求证：2ae.In x1In x2(1) 由 x0,恒有f (x)乞x成立，即In x -?x _1, ln x 一1 _旦对任意x0成立，12x 2分记 h( x)=心，

23、H/ (x)=沖,2 分xx当 x (0,e2),H /(x) 0, H(x)单增；当 x (e2, ：), H，(x) ： 0, H(x)单减；H (x)最大2 1值为 H(e2) = 1,ea 12所以 -12 ,a _ ： 5分2 e e(2) 函数g x=f x -x有两个相异的极值点 x ,x2，即g x = l nx-ax = 0有两个不同的实数根. 当a _0时，gx单调递增，g x =0不可能有两个不同的实根； 6分1 ax 当 a 0 时，设 h x = ln x -ax,h x ：x1当0 ：x ： 时，h x 0, h x单调递增；a1 .当x 时，h x 0, h x单

24、调递减；a11hln a -10，0 a , 8 分ae不妨设 x2 x 0，: g x1 = g x2 = 0 ,In x2 ax2 二 0,ln % -a = 0,ln x2 -l n % = a x21先证In x1In x2L 2，即证 Inx2-In J jX2 _X2X1X22 2，即证In空:匕生二 x12x1 x2X21 x222Sx2令t必1，即证心“Xi，设t = I nt-2t-1+In x-iIn x22-(t -1)02t2又 0 -： a -：1，e，函数t在1,二单调递减, ae ： 1,1 112分2ae In x1 In x2考点：导数的几何意义，导数与函数的

25、单调性、最值，导数的综合应用.13.已知函数 f(x) =xlnx, g(x) =x e(1 )记F(x) = f (x) _g(x)，求证：函数F(x)在区间(1,匚)内有且仅有一个零点；(2 )用min a b 表示a,b中的最小值，设函数 h(x)二min f (x), g(x)，若关于x的方程 h(x)=c(其中c为常数)在区间(1,：)有两个不相等的实根 X1,X2(x ：必)，记F(x)在(1,：) 内的零点为X。，试证明：X1 X2 X0221.分)1)证明*F*(x) lnx+1 + (xr显燃当x e l,+)时，FF(x) 0 .故F(x)在1,+)上单诲递增出I2而F(l

26、)二一上v 0,F(2) = ln4一一 0.所以由零点存在定理知-ee必存在唯一筍e (U) u (IS，便得Fg = 0,即函数FG)在区间(h+w)内有且仅有一个零点+ 由(1)问可g(x0) = /(x0)且*(1 丹)时fOOvg(小 xe(x0Ie)g(x)/(x), xlnx3l 0 x(x0,-w)时W(x) = ( 巧呂7 0,因此城耳在(1屁)(和如)丄，若方程月仗)之在区间+血)有两个不相等的实根x?xls(xt 2xl d x2 2xqxQt 因为在单调递减，所以只需证A(xa)A(2x0 -Xj),而 h(x2) = h(x) f 所以只需证A(?i) A(2xtt -x,)即证明*兀In兀| :(2兀-巧)7细一砧*构 j&函数 0恒成立；考查函数訂(工)匸0 + 1)尹,1/0)=(工+ 2)，所以站(玄)在(yo,