《数学分析》第三章函数极限

1、数学分析第三章函数极限 第三章第三章 1 函数极限的概念函数极限的概念 数学分析第三章函数极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 播放播放 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 数学分析第三章函数极限 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应 函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A. ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx . 0 sin )(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当 x x xfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观

2、察: 问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. 数学分析第三章函数极限 定定义义 1 1 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多么么小小) ), , 总总存存在在着着正正数数X, ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式Xx 的的一一切切 x, ,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(, , 那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限, ,记记作作 )()()(lim xAxfAxf x 当当或或 定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axf

3、x )(lim 1、定义：、定义： 数学分析第三章函数极限 :.10情情形形 x .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 :.2 0 情形情形xAxf x )(lim .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axf x )(lim 2、另两种情形、另两种情形: Axf x )(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxf xx 且且 数学分析第三章函数极限 x x y sin 3、几何解释、几何解释: X X .2, )(, 的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线 图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 Ay xfyXxXx A 数

4、学分析第三章函数极限 x x y sin 例例1. 0 sin lim x x x 证证明明 证证 x x x xsin 0 sin x 1 X 1 , , 0 , 1 X取取 时恒有时恒有则当则当Xx ,0 sin x x . 0 sin lim x x x 故故 . )(,)(lim: 的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线 是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxf x 数学分析第三章函数极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 0 xx 的的过过程程中中,对对应应 函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于

5、确确定定值值 A. ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .0 00 的的过过程程表表示示xxxx x 0 x 0 x 0 x , 0 邻邻域域的的去去心心点点 x. 0程度 程度接近接近体现体现xx 数学分析第三章函数极限 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都 满足不等式满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数 )(xf当当 0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作

6、 )()()(lim 0 0 xxAxfAxf xx 当当或或 定定义义 .)( ,0, 0, 0 0 Axf xx 恒恒有有 时时使使当当 1、定义：、定义： 数学分析第三章函数极限 2、几何解释、几何解释: )(xfy A A A 0 x 0 x 0 x x y o .2 , )(, 0 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 为中心线为中心线线线 图形完全落在以直图形完全落在以直 函数函数域时域时 邻邻的去心的去心在在当当 Ay xfy xx 注意：注意：;)(. 1 0是 是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小

7、小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 数学分析第三章函数极限 例例2).( ,lim 0 为为常常数数证证明明CCC xx 证证 Axf )( CC ,成立成立 , 0 任给任给 0 .lim 0 CC xx , 0 任任取取,0 0 时时当当 xx 例例3.lim 0 0 xx xx 证证明明 证证 ,)( 0 xxAxf , 0 任给任给, 取取 ,0 0 时时当当 xx 0 )(xxAxf ,成立成立 .lim 0 0 xx xx 数学分析第三章函数极限 例例4. 2 1 1 lim 2 1 x x x 证证明明 证证 2 1 1 )( 2 x x Axf, 0 任给任给 , 只只要要

8、取取 ,0 0 时时当当 xx 函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义. 1 x ,)( Axf要要使使 ,2 1 1 2 x x 就有就有 . 2 1 1 lim 2 1 x x x 数学分析第三章函数极限 例例5 .lim 0 0 xx xx 证证 0 )(xxAxf , 0 任给任给 ,min 00 xx取取 ,0 0 时时当当 xx 0 0 xx xx ,)( Axf要要使使 , 0 xx就就有有 , 0 0 x xx . 00 且不取负值且不取负值只要只要 xxx .lim,0: 00 0 xxx xx 时时当当证明证明 数学分析第三章函数极限 3.单侧极限单侧极限: 例如例如,

9、 . 1)(lim 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 证明证明 设设 两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx , 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 0 0 xx记记作作 , 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 0 0 xx记记作作 y ox 1 xy 1 1 2 xy 数学分析第三章函数极限 左极限左极限 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒有恒有 时时使当使当 右极限右极限 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒恒有有 时时使使当当 00 0: 00 0 xxxxxx xxx 注注意意 .)0()(lim 0 )( 0 0 0

10、 AxfAxf xx xx 或或记记作作 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 AxfAxf xx xx 或或记记作作 数学分析第三章函数极限 .)0()0()(lim: 00 0 AxfxfAxf xx 定定理理 .lim 0 不存在不存在验证验证 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 limlim 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, .)(lim 0 不不存存在在xf x 例例6 证证 1)1(lim 0 x x x x x xx00 limlim 11lim 0 x 数学分析第三章函数极限 三、函数极限的性质三、函数极限的性质 1.有界性有界性 定理定理

11、 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在 过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. . 2.唯一性唯一性 定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一. 数学分析第三章函数极限 推论推论 ).()(),(, 0 ,)(lim,)(lim 0 0 00 xgxfxUx BABxgAxf xxxx 有有则则 且且设设 3.不等式性质不等式性质 定理定理( (保序性保序性) ) .),()(),(, 0 .)(lim,)(lim 0 0 00 BAxgxfxUx BxgAxf xxxx 则则有有若若 设设 数学分析第

12、三章函数极限 ).0)(0)(,),(, 0 ),0(0,)(lim 0 0 0 xfxfxUx AAAxf xx 或或时时当当则则 或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ) ).0(0),0)(0)( ,),(, 0,)(lim 0 0 0 AAxfxf xUxAxf xx 或或则则或或 时时当当且且若若 推论推论 数学分析第三章函数极限 4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) . )(),(,),(),(,)( .),( ),( 21 000 时的子列时的子列当当 为函数为函数即即 则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列 中中或或可以是可以是设在

13、过程设在过程 ax xfxfxfxfxf axnax xxxaax nn nn 定义定义 .)(lim, )()(,)(lim Axf axxfxfAxf n n n ax 则则有有时时的的一一个个子子列列 当当是是数数列列若若定理定理 数学分析第三章函数极限 证证 .)( ,0, 0, 0 0 Axf xx恒恒有有时时使使当当 Axf xx )(lim 0 .0 , 0, 0 0 xx NnN n 恒恒有有时时使使当当对对上上述述 ,)( Axf n 从而有从而有.)(limAxf n n 故故 ,lim 00 xxxx nn n 且且又又 数学分析第三章函数极限 例如例如, x x y s

14、in 1 sin lim 0 x x x , 1 1 sinlim n n n , 1 1 sinlim n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 n n n n n 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在限都存在, ,且相等且相等. . 数学分析第三章函数极限 x y 1 sin 例例7 . 1 sinlim 0 不不存存在在证证明明 x x 证证 , 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 , 2 14 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且

15、且 数学分析第三章函数极限 n x n n n sinlim 1 sinlim 而而 , 1 2 14 sinlim 1 sinlim n x n n n 而而 1lim n 二者不相等二者不相等,. 1 sinlim 0 不存在不存在故故 x x , 0 数学分析第三章函数极限 四、小结四、小结 函数极限的统一定义函数极限的统一定义 ;)(limAnf n ;)(limAxf x ;)(limAxf x ;)(limAxf x ;)(lim 0 Axf xx ;)(lim 0 Axf xx .)(lim 0 Axf xx .)( , 0)(lim Axf Axf 恒有恒有 从此时刻以后从此时

16、刻以后时刻时刻 (见下表见下表) 数学分析第三章函数极限 过过 程程 时时 刻刻 从此时刻以后从此时刻以后 n x x x N Nn Nx Nx Nx )(xf Axf)( 0 xx 0 0 xx 0 xx 0 xx 0 0 xx0 0 xx 过过 程程 时时 刻刻 从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)( 数学分析第三章函数极限 思考题思考题 试试问问函函数数 0,5 0,10 0, 1 sin )( 2 xx x x x x xf在在0 x处处 的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当 0 x 时时，)(xf的的 极极限限是是否否存存在在？ 数学分析第三章函数极限 思考题解答思考

17、题解答 )(lim 0 xf x , 5)5(lim 2 0 x x 左极限存在左极限存在, )(lim 0 xf x , 0 1 sinlim 0 x x x 右极限存在右极限存在, )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 不存在不存在. 数学分析第三章函数极限 .01. 01 _1 3 1 2 2 2 yzx z x x yx ，必有，必有时，只要时，只要 取取，问当，问当时，时，、当、当 .001. 0420 _421 2 yx xyx ，必必有有只只要要 时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义 一、填

18、空题一、填空题: 0 sin lim2 2 12 41 lim1 2 2 1 x x x x x x 、 、 练练 习习 题题 数学分析第三章函数极限 . )(: 0 极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右 时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf ? 0)( 存存在在 时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 x x x x 数学分析第三章函数极限 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. . 四四、不不存存在在. . 练习题答案练习题答案 数学分析第三章函数极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 数学分析第三章函数极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 数学分析第三章函数极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 数学分析第三章函数极限 . sin 时的变化趋