ch24 随机变量函数的分布

1、一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布， 4 2 d 求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布. 第二章第四节 随机变量函数的分布 又如：已知又如：已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布， 求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等为电阻）的分布等. t 0 t 0 一般地、设随机变量一般地、设随机变量X 的分布已知，的分布已知， Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的的 分布求出分布求出 Y

2、 的分布？的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的上都是重要的. 二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时，时， Y 取对应值取对应值 5，7，13， 例例1设设X 3 . 0 5 5 . 02 . 0 21 求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数. 30 13 5020 75 . Y 而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生 的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率. 故故 如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是

3、相同的，把它们作适当 并项即可并项即可. 一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的概率函数为的概率函数为 X n n ppp xxx 21 21 则则 Y=g(X) n n ppp xgxgxg 21 21 )()()( 如：如： X 1 . 0 1 6 . 03 . 0 01 则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为： 4060 10 . Y 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)， 例例2 设设 X 其它, 0 40, 8/ )( xx xfX 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度. FY(y)=P Y

4、y = P (2X+8 y ) =P X = FX( ) 2 8y 2 8y 于是于是Y 的密度函数的密度函数 2 1 ) 2 8 ( )( )( y f dy ydF yf X Y Y 0 )28( yfX 16 8) 2 8( yyf X 故故 其它, 0 168, 32 8 )( y y yfY 2 1 ) 2 8 ( )( )( y f dy ydF yf X Y Y 注意到注意到 0 x 4 时，时， 0)( xf X 即即 8 y 0 时时,)()(yYPyF Y )( 2 yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时， 0)(yF Y )(xFX)(yF Y解：解

5、： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ， )()(yFyF XX 若若 e x xfX 2 2 2 1 )( 则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 0, 0 0, 2 1 )( 2 2 1 y y yf e y y Y 0, 0 0, )()( 2 1 )( )( y yyfyf y dy ydF yf XX Y Y x 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程的过程 中，关键的一步是设法中，关键的一步是设法从从 g(X) y 中解出中解出X, 从而得到与从而得到与 g(X) y 等价的等价的X的不等式的不等式 . 例如，用例如，用 代替

6、代替 2X+8 y X 2 8y 用用 代替代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而的分布，从而 求出相应的概率求出相应的概率. 这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法. 例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其它0 0 2 )( 2 x x xf 求求Y=sinX的概率密度的概率密度. , 0)(yF Y 当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 1)(yF Y 10 y x0当当时时 故故 解：注意到解：注意到, )()(yYPyF Y )(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - a

7、rcsiny X ） y dx x arcsin 0 2 2 y dx x arcsin 2 2 当当0y1, G(y)=1;对对y0 , G(y)=0; 10 y由于由于 对对0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y) =P(X (y) 1 F 1 F=F( (y)= y 1, 1 10, 0, 0 )( y yy y yG 即即Y的分布函数是的分布函数是 其它, 0 10, 1 )( y yg 求导得求导得Y的密度函数的密度函数 可见可见, Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 下面给出一个定理，

8、在满足下面给出一个定理，在满足 定理条件时可直接用它求出随定理条件时可直接用它求出随 机变量函数的概率密度机变量函数的概率密度 . 其它, 0 , )( )( )( y dy ydh yhf yfY 其中，其中，),(minxg bxa ),(maxxg bxa 此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似. x=h(y)是是y=g(x) 的反函数的反函数 定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率，具有概率 密度密度 f(x)的连续型的连续型r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且 对于任意对于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则

9、 Y=g(X)是一个连续型是一个连续型r.v，它的概率密度为，它的概率密度为 0)( x g0)( x g 例例6 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求 Y=-2lnX的概率密度的概率密度. 解：解： 在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 0 2 x y 于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数 2/ )( y eyhx 由前述定理得由前述定理得 其它, 0 10, )( )( )( 2/ 2/ 2/y y y X Y e dy ed ef yf 注意取注意取 绝对值绝对值 其它, 0 10, )( )( )( 2/ 2/ 2/y y y X Y e dy ed ef yf 其它, 0 10, 1 )( x xfX 已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布， 代入代入 的表达式中的表达式中)(yfY 其它, , )( / 0 0 2 1 2 ye yf y Y 得得 即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布. 对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，