DXWL14--第十四章机械振动

1、第十四章第十四章 机械振动机械振动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 本章主要内容：本章主要内容： 本章着重讨论简谐振动的基本规律，单摆和本章着重讨论简谐振动的基本规律，单摆和 复摆，简谐振动的能量以及简谐振动的合成。复摆，简谐振动的能量以及简谐振动的合成。 14141 1 简谐运动简谐运动 14142 2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位 14143 3 旋转矢量旋转矢量 14144 4 单摆和复摆单摆和复摆 14145 5 简谐运动的能量简谐运动的能量 14146 6 简谐运动的合成简谐运动的合成 第十四章第十四章 机

2、械振动机械振动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 三、三、掌握掌握简谐运动的基本特征，简谐运动的基本特征，能能建立一维建立一维 简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写写 出出一维简谐运动的运动方程，并一维简谐运动的运动方程，并理解理解其物理意义其物理意义. . 四、四、理解理解同方向、同频率简谐运动的合成规同方向、同频率简谐运动的合成规 律，律，了解了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点拍和相互垂直简谐运动合成的特点。 一、一、掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别描述简谐运动的各个物理量（特别 是相位）的物理意义

3、及各量间的关系。是相位）的物理意义及各量间的关系。 二、二、掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线描述简谐运动的旋转矢量法和图线 表示法，表示法，并会用于并会用于简谐运动规律的讨论和分析。简谐运动规律的讨论和分析。 第十四章第十四章 机械振动机械振动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 重点和难点：重点和难点： 教学手段和方法：教学手段和方法： 教学时间安排：教学时间安排： 教师（课堂）讲授、多媒体辅助教学教师（课堂）讲授、多媒体辅助教学 5 5 学时学时 本章重点是：简谐运动的特征、运动方程及本章重点是：简谐运动的特征、运动方程及 描述简谐运动的各物理量

4、的物理意义。描述简谐运动的各物理量的物理意义。 本章难点是：简谐运动的合成。本章难点是：简谐运动的合成。 第十四章第十四章 机械振动机械振动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 3 3程守洙、江之永程守洙、江之永 主编主编普通物理学普通物理学（第五（第五 版）高等教育出版社。版）高等教育出版社。 2. 2.马文蔚马文蔚 主编主编物理学第四版物理学第四版习题分析与解习题分析与解 答答，高等教育出版社。，高等教育出版社。 4. 4.胡盘新胡盘新 等编等编普通物理学（程守洙第五版）普通物理学（程守洙第五版） 思考题分析与拓展思考题分析与拓展，高等教育出版社。，高

5、等教育出版社。 1. 1.马文蔚马文蔚 等编等编物理学第四版物理学第四版学习指南学习指南， 高等教育出版社高等教育出版社 参考书：参考书： 第十四章第十四章 机械振动机械振动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 6 6. 邓新元邓新元 等编等编大学物理学（张三慧第二版）大学物理学（张三慧第二版） 思考题解答思考题解答，清华大学出版社，清华大学出版社 5.5. 张三慧张三慧 编著编著大学物理学大学物理学（第二版），（第二版）， 清华大学出版社清华大学出版社 7. 7. 刘克哲刘克哲 编编 物理学物理学（第二版），高等教（第二版），高等教 育出版社育出版社19

6、991999 8. 8. 漆安慎漆安慎 等编等编 力学力学，高等教育出版社，高等教育出版社 14-1 14-1 简谐运动简谐运动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 谐振子谐振子: : 作简谐运动的物体作简谐运动的物体. . 简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动 合成合成 分解分解 简谐运动简谐运动 (simple harmonic motion): : 最简单、最简单、 最基本的振动最基本的振动. . 机械振动机械振动 (mechanical vibration): : 物体围绕一物体围绕一 固定位置往复运动固定位置往复运动. .其运动形式有直线、平面和空间

7、其运动形式有直线、平面和空间 振动振动. . 振动振动: : 任一物理量在某一定值附近往复变化任一物理量在某一定值附近往复变化. . 14-1 14-1 简谐运动简谐运动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 kl0 x m o AA 00Fx 弹簧振子的振动弹簧振子的振动: : 14-1 14-1 简谐运动简谐运动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 makxF x t x 2 2 2 d d m k 2 令令 xa 2 )sin( d d tA t x v )cos( d d 2 2 2 tA t x a 积分常数，

8、根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定 )cos(tAx x x F m o 14-1 14-1 简谐运动简谐运动 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 tx图图 tv图图 ta 图图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T T )cos(tAx 0取取 2 T ) 2 cos(tA )sin(tAv )cos( 2 tA )cos( 2 tAa 14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 一、振幅一、振

9、幅 (amplitude) max xA 二、周期、频率二、周期、频率 2 T 周期周期 2 1 T 频率频率 T 2 2 圆频率圆频率 )cos(tAx )(cosTtA 周期和频率仅与周期和频率仅与 振动系统振动系统本身本身的的 物理性质有关物理性质有关. A A x T 2 T t o k m T2 弹簧振子弹簧振子周期周期 xt图 14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 简谐运动中，简谐运动中， 和和 间不存在一一对应的关系间不存在一一对应的关系: :xv tx 图图

10、 A A x T 2 T t o v v v sin()At v cos()xAt 14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 1 1） 存在一一对应的关系；存在一一对应的关系；),(vxt 3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t 20( ( 取取 或或 ) ) 三、相位三、相位(phase)：t 2 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 20 相差相差 （ 为整数）质点运动状态为

11、整数）质点运动状态全同全同. . 2 nn 14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 2 2 0 2 0 v xA 0 0 tan x v 四、常数四、常数 和和 的确定的确定: : A 00 0txx 初始条件： vv cos 0 Ax sin 0 Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相位由初始条件决定振幅和初相位由初始条件决定. )sin(tAv )cos(tAx 14-2 14-2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振

12、幅 周期周期 频率和相位频率和相位 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 cos0A 2 0sin 0 Av 2 0sin取取 0, 0, 0vxt已知已知 求求 讨论讨论 x v o ) 2 cos(tAx A A x T 2 T t o 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 x o A cos 0 Ax 当当 时时0t 0 x 旋转矢量旋转矢量: : (rotating vector) 以以 为原点为原点 旋转矢量旋转矢量 的的端点端点在在 轴上的轴上的投影投影 点点的运动为的运动

13、为 简谐运动简谐运动. . x A o 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 x o A tt t )cos(tAx 时时 以以 为原点为原点 旋转矢量旋转矢量 的的端点端点在在 轴上的轴上的投影投影 点点的运动为的运动为 简谐运动简谐运动. . x A o 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 )cos(tAx 以以 为原点为原点 旋转矢量旋转矢量 的的端点端点在在 轴上的轴上的投影投影 点点的运动为的运动为 简谐运动简谐运动. . x A o

14、14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 A m v ) 2 cos(tAv )cos( 2 tAa 2 n Aa 2 t m v v x y 0 A t )cos(tAx n a a 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间） 2T 用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图：图：xt 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ-

15、-V2.0 A A x 2A t o a b x AA 0 讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差. . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()( 12 tt )cos( 1 tAx )cos( 2 tAx 12 ttt a t 3 TTt 6 1 2 3 v 2 A b t 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 0 x t o 同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运

16、动，相位差表示它 们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题） )cos( 111 tAx)cos( 222 tAx )()( 12 tt 12 x t o 为其它为其它 超前超前 落后落后 t x o 反相反相 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 例例1 1如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体, ,弹弹 簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . 1 mN72. 0 kg20m （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到

17、 处处 停下后再释放，求简谐运动方程；停下后再释放，求简谐运动方程； m05. 0 x （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零处时速度不等于零, , 而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 , ,求其运动方程求其运动方程. . m05. 0 x 1 0 sm30. 0 v （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时 的速度；的速度； 2 A m/ x o 0.05 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o x 解解 （1） 1 1 s0 . 6 kg02. 0 mN72.

18、 0 m k m05. 0 0 2 2 0 2 0 xxA v 0tan 0 0 x v 0 或 A 由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0 )cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0( 1 t 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o xA 2 A 解解 )cos(tAx)cos(tA 2 1 )cos( A x t 3 5 3 或t A 3 t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 tAsinv 1 sm26. 0 （负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过

19、求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时 的速度；的速度； 2 A 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 解解 m0707. 0 2 2 0 2 0 v xA 1tan 0 0 x v 4 3 4 或 o x A 4 )cos(tAx 4 )s0 . 6cos()m0707. 0( 1 t m05. 0 x 1 0 sm30. 0 v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. . 因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量

20、图可知40 0 v 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 x 例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振 幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在 kg01. 0 m08. 0s4m04. 0 处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求: :Ox （1 1） 时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力； s0 . 1t o 08. 004. 004. 008. 0 m/x v 解解m08. 0A 1 s 2 2 T 14-3 1

21、4-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o08. 004. 004. 008. 0 m/x 3 0 0 v m04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAx cos)m08. 0(m04. 0 3 A 3 3 )s 2 cos()m08. 0( 1 tx m08. 0A 1 s 2 2 T 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o 08. 004. 004. 008. 0 m/x v 3 )s 2 cos()m08.0( 1 tx s0 . 1t 代入上式得代入

22、上式得m069. 0 x xmkxF 2 )m069. 0()s 2 )(kg01. 0( 21 N1070. 1 3 kg01. 0m 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o 08. 004. 004. 008. 0 m/x v （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要 的最短时间的最短时间. . m04. 0 x 解法一：解法一：设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处处 所需要的最短时间为所需要的最短时间为 m04. 0 x t 3 )s 2 cos()m08. 0(m04. 0 1 t s

23、2 3 ) 2 1 (arccos ts667. 0s 3 2 14-3 14-3 旋转矢量旋转矢量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o08. 004. 004. 008. 0 m/x 解法二解法二: : 33 起始时刻起始时刻 时刻时刻t t 3 ts667. 0s 3 2 t 1 s 2 14-4 14-4 单摆和复摆单摆和复摆 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 一、单摆一、单摆 (Simple pendulum) l m o A mglmglMsin 2 2 d d t Jmgl 2 mlJ l g t 2

24、 2 d d 2 2 2 d d t )cos( m t l g 2 令令 T F P glT2 转动转动 正向正向 sin,5 时时 14-4 14-4 单摆和复摆单摆和复摆 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 o C * 二、复摆：二、复摆： l mglM 2 2 d d t Jmgl 2 2 2 d d tJ mgl 2 令令 )cos( m t )5( P （ 点为质心）点为质心） Cmgl J T2 转动正向转动正向 14-4 14-4 单摆和复摆单摆和复摆 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 1 1）物体受

25、线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置 三、简谐运动的描述和特征：三、简谐运动的描述和特征： xa 2 4 4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反 x t x 2 2 2 d d 2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述 )sin(tAv )cos(tAx 3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述 J mgl 复摆复摆 mk弹簧振子弹簧振子 lg 单摆单摆 kxF0 x 14-5 14-5 简谐运动的能量简谐运动的能量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 )(sin 2 1 2 1 2222 k tAmm

26、Ev )(cos 2 1 2 1 222 p tkAkxE 线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 )sin( )cos( tA tAx v kxF 22 pk 2 1 AkAEEE mk / 2 （振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义） 以弹簧振子为例来研究简谐运动的能量：以弹簧振子为例来研究简谐运动的能量： 14-5 14-5 简谐运动的能量简谐运动的能量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图 tx tv 2 2 1 kAE 0 tAxcos tAsinv v

27、, x to T 4 T 2 T 4 3T 能量能量 o T t tkAE 22 p cos 2 1 tAmE 222 k sin 2 1 14-5 14-5 简谐运动的能量简谐运动的能量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 简谐运动势能曲线：简谐运动势能曲线： 简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变 k E p E x 2 2 1 kAE E BC AA p E x O 14-5 14-5 简谐运动的能量简谐运动的能量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程 推导推

28、导 常量 22 2 1 2 1 kxmEv 0) 2 1 2 1 ( d d 22 kxm t v 0 d d d d t x kx t m v v 0 d d 2 2 x m k t x 14-5 14-5 简谐运动的能量简谐运动的能量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 例例33 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求： kg10. 0m100 . 1 2 2 sm0 . 4 （1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能； （3）总能量；总能量； （4）物

29、体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？ 解解 （1） 2 max Aa A amax 1 s20 s314. 0 2 T 14-5 14-5 简谐运动的能量简谐运动的能量 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 （2）J100 . 2 3 222 maxmax,k 2 1 2 1 AmmEv （3） max,k EE J100 . 2 3 （4） pk EE 时，时，J100 . 1 3 p E 由由 222 p 2 1 2 1 xmkxE 2 p2 2 m E x 24 m105 . 0 cm707. 0 x 14-6 14-6 简谐运动的合

30、成简谐运动的合成 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 1 1 A 1 xx 0 一、两个同方向同频率简谐运动的合成：一、两个同方向同频率简谐运动的合成： 21 xxx 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA )cos(tAx )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx A x 2 x 2 A 2 两个两个同同方向方向同同频频 率简谐运动率简谐运动合成合成 后仍为后仍为简谐简谐运动运动 14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成 青岛科技大学青岛科技大学 大学物

31、理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 xx t oo 2 12 k )cos()( 21 tAAx A 21 AAA 1 A 2 A T 1 1）相位差相位差2 12 k), 2 1 0( ，k )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 讨论讨论 14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 xx t oo 21 AAA 2 )cos()( 12 tAAx )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA T 2 A 2 1 A A 2 2）相位差相位差) 12( 12 k) , 1 0( ，k tA

32、xcos 11 )cos( 22 tAx 14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 3 3）一般情况一般情况 2121 AAAAA 21 AAA 2 2）相位差相位差 1 1）相位差相位差 21 AAA 2 12 k)10( ， k 相互加强相互加强 相互削弱相互削弱 ) 12( 12 k)10( ， k 14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 1 1 A x o 二、多个同方向同频率简谐运动的合成：二、多个同方向同频率简谐运动的

33、合成： 2 A 2 3 A 3 )cos(tAx n xxxx 21 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx )cos( nnn tAx A 多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动 14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成 青岛科技大学青岛科技大学 大学物理教案大学物理教案 WXJ- -V2.0 1 A 2 A 3 A 4 A xo 5 A 0 NAAA i i A tAxcos 01 )cos( 02 tAx ) 1(cos 0 NtAxN )2cos( 03 tAx 1 1）2k ), 2, 1, 0(k 讨讨 论论 若若N个简谐振动振幅相同且依次间的相位差恒为个简谐振动振幅相同且依次间的相位差恒为 14-6 14-6 简谐运动的合成简谐运动的合成 青岛科技大学青