《统计学》第3章参数估计

1、1 第第5章章 参数估计参数估计 3. 1 参数估计概述参数估计概述 参数估计是统计推断的基本方法之一。 我们把刻划总体X的某些特征的常数称为 参数，最常用的参数是总体X的数学期望 和方差。假如总体XN（ ），则X的 分布是由参数和2确定的，其中， =E（X），2 =D（X）。 2 , 在实际问题中，总体X的参数是未知的，例如 纱厂细纱机上的断头次数XP（），如果求每 只纱绽在某一时间间隔内断头的次数为K的概率， 就需要先确定参数，才能求出所求的概率。又 如，灯泡厂生产的灯泡，由经验知其寿命XN （ ），但是由于生产过程中各种随机因素 的影响，生产出来的灯泡的寿命是不一致的，为 了保证灯泡的质

2、量，必须进行抽样检查，根据样 本所提供的信息，对总体X的分布做出估计，也 即对参数,2做出估计。这类问题称为参数估 计问题。 2 , 参数估计问题，就是要从样本出发构造 一些统计量作为总体某些参数的估计量， 当取得一个样本值时，就以相应的统计量 的值作为总体参数的估计值。例如，常以 统计量 作为总体数学期望的估计量。当 要估计某批灯泡的平均寿命时，就从该批 灯泡中随机地抽取若干个，分别测出其寿 命，以这些测量数据的平均值作为该批灯 泡的平均寿命的估计值。 X 设总体X的分布函数的类型已知，但是 其中有一个或多个参数未知，设X1，X2， X3，Xn为总体X的容量为n的样本。 参数估计就是讨论如何

3、由样本X1，X2， X3，Xn提供的信息对未知参数作出 估计，以及讨论如何建立一些准则对所作 出的估计进行评价 。 一般是建立适当的统计量 （X1，X2， X3，Xn），当样本观察值为x1，x2， x3，xn时，如果以 （x1，x2， x3，xn）作为总体分布中未知参数 的估计值，这样的估计方法叫做点估计， 如果总体分布函数中有t个未知参数，则要 建立t个估计量作为t个未知参数的估计量。 参数估计的形式分为两类：点估计和区间估计。 由估计量的观察值作为未知参数的估计值，这种 作法称为点估计或定值估计。而有时并不要求对 参数作定值估计，只要求估计出未知参数的一个 所在范围，并指出参数被包含在该范

4、围的概率， 这种方法称为区间估计，进行参数估计并不一定 要预先知道总体的分布类型。有时，虽然未知总 体的分布类型，但仍可对总体的某些数字特征作 出估计。 3. 2 参数的点估计 点估计方法很多，本节介绍最常见 的矩估计法和极大似然法。 一、矩估计法 由大数定律可知，样本分布函数依概率 收敛于总体分布函数，样本均值依概率收 敛于总体均值，我们自然会想到，是否能 用有关的样本矩来估计总体分布的相应矩 呢？统计实践表明，这个方法是可取的， 这种用样本矩来估计总体分布参数的方法 称为矩估计法，通常，用样本 均值来估 计总体的均值，用样本方差S2来估计总体 的方差。 X 【例3.1】试用矩估计法对总体

5、XN（ ）的参数，2作出估计。 2 , 解: 因E（X）=，D（X）=2 设X 1，X2，Xn为X的一个样本，其 样本均值为，样本方差为S2。 令E（X）= ，D（X）=S2，即得的估 计量为 ， 。 X 22 S X 【例5.2】设X1，X2，Xn是取自总 体X的样本，已知X的概率密度为： 其他 ,0 10 , ),( 1 XX Xf ) 1( 试用矩估计法估计总体参数 。 解: 由于 样本均值为 ，令E（X）= ，得: , 从而总体 参数的矩估计为 ，其 中 。 1 ),()( dxXxfXE X 1 X X 1 n i i X n X 1 1 XX 【例5.3】X1，X2，Xn为总体XB

6、 （N，P）的样本，其中N，P为未知参数， 试用矩估计法估计参数N及P。 解： E（X）=NP D（X）=NP（1-P） 样本均值与方差分别为 ，S2。 令 E（X）= D（X）=S2 X X 即 解得N、P的矩估计量为 ，其 中 ， 。 2 )1(SPNP XNP X S P SX X N 2 2 2 1 n i i X n X 1 1 n i i XX n S 1 22 )( 1 1 二、极大似然估计法 先考察两个简单的例子。 【例3.4】某同学与一位男猎人一起外出打 猎，只见一只野鸡在前方窜过，只听一声 枪响，野鸡被他们两人中某一位一枪命中， 试推测这一发命中的子弹是谁打的，答案 是简单

7、的，既然只发一枪且命中，而男猎 人的命中的概率一般大于这位同学命中的 概率，因此可以认为这一枪是男猎人射中 的。 【例3.5】假定在一个箱子里放着黑、白两 种球共4只，且知道这两种球的数目之比为 13，但不知道究竟哪一种颜色的球多。 设黑球所占的比例为P，由上述假定推知P仅 可能取1/4和3/4这两个值，现在采用有放 回抽样的方法，从箱子中随机地抽取三个 球，观察到球的颜色为黑、白、黑，你会 对箱子中的黑球数作出什么推断呢？即你 认为P的值是1/4，还是3/4？ 直观上觉得P=3/4（即箱子中黑球数为3） 更可信，因为当P=1/4时抽到这样一个具 体样本的概率为1/41/4 3/43/4 1/

8、4=3/641/4=3/64，当 P=3/4时，抽到这样一个具体样本的概率为 3/43/4 1/41/4 3/4=9/643/4=9/64，由于9/643/649/643/64，因 此在观察到上述样本中的三个球的颜色之 后，觉得P=3/4更可信，即你倾向于认为 箱子中放有三个黑球，这里体现了极大似 然法的基本思想。 现在我们来阐明极大似然法的基本原理。 设总体X的概率密度为 ，它只含一个 未知参数 （若X是离散型 ，表示 概率 ），X1，X2，X3，Xn 是取自X的样本，x1, x2, x3, ,xn为样 本观察值。X1，X2，X3，,Xn的联合 密度等于 ，显然,对于样本的 一组观察值x1,

9、 x2, x3, ,xn， ),(xf ),(xf xXP n i i xf 1 ),( 它是 的函数，记作 并称为似然函数 ),()( 321 n xxxxLLL n i i xf 1 ),( 当 已知时，似然函数描述了样本取得样 本观察值x1, x2, x3,xn的可能性。同 样，当一组样本观察值取定时（即抽样完 成时），要问它最大可能取自什么样的总 体（即总体的参数 应等于什么时的可能 性最大），也要从似然函数 的极大 化中求出相应的 值来，这个值就是 的 一个估计值。于是，我们可以给出极大似 然估计的定义。 )(LL 定义3. 1 设总体的概率密度为 ，其 中 是未知参数，x1，x2，

10、xn为X的 一组样本观察值。若能求得观察值的某个 函数 ，使得似然函数取极大 值，即 ，则称 为 的一个极大似然估计值，其相应的统 计量 ，称为参数 的极大似 然估计量。 ),(xf ),( 321n xxxx ),(max) ,( 2121 nn xxxLxxxL ),( 21n xxx 由定义3.1可知，求总体参数 的极大似然 估计值 的问题，就是求似然函数 L（ ）的极大值问题。在L（ ）可微时， 要使L（ ）取极大值 必须满足 （3.1） 从上式可解得 的极大似然估计值。 0 d dL 由于lnL（ ）与L（ ）有相同的极值点， 而且，求lnL（ ）的极值点更为容易，所 以常用下式 （

11、3. 2） 来代替（3.1）式。方程（3.1）或（3.2） 都称为似然方程。 0)(ln L d d 当似然函数包含多个参数时，即： ),( 21n LL n i ni xf 1 21 ),( 若L关于各参数的偏导数存在，则 j的极 大似然估计 一般可由方程组： 或 解得。上面方程组称 为似然方程组。 ),( 21njj xxx ), 2 , 1(0),( 21 njL n j 0),(ln 21 n j L 注意 上面的讨论中，我们没有提到似函 数 取极大值的充分条件，对于具体的 函数可作验证。 )(L 【例3.6】设总体X服从参数为 的泊松分 布，求参数 的极大似然估计量。 解 设X1，X

12、2，X3，Xn是来自X的样 本， 则 n i i xnnn i i x X e X eL i 1 1 ) !( ! )( n i i XxnnL 1 ) !(lnln)(ln 令 的极大似然估计量为 。 其中 为样本均值。 0 )(ln Xn n L X X 【例3.7】设总体XN ，其中 及 是未知参数，如果取得样本观测值为x1, x2, ，xn，求参数 及 的极大似然 估计值。 ),( 2 解： 似然函数为： n i xi eL 1 2 )( 2 2 2 1 n i i x n e 1 2 2 )( 2 1 2 1 n i i xn n L 1 2 2 )( 2 1 ln2ln 2 ln

13、对 及 求偏导数，并让它们等于零， 得： n i i n i i n x L x L 1 2 3 1 2 0)( 1ln 0)( 1ln 解此方程组，即得 及 的极大似然估计值 为： xx n n i i 1 1 Sxx n n i i 1 2 )( 1 【例3.8】设总体X服从均匀分布 ， 求参数 与 的极大似然估计量 , 21 U 1 2 解 设X1，X2，Xn是X的样本，则 其它 , 0 , 2 , 1, )( 1 ),( 21 12 21 nix L i n )ln(),(ln 1221 nL 从而有 0 ),(ln 121 21 nL 0 ),ln( 122 21 n 显然由此方程组

14、解不出1与2，现利用定义 求1与2的极大似然估计量，因为： 其它 , 0 , )( 1 ),( 2211 12 21 n n xxx L 其它 , 0 , )( 1 2)()2()1(1 12 n n xxx 又 ，即 的极大似然估计量分别为 。 n n n xx)( 1 )( 1 ) 1 ()(12 ),(),( )() 1 (21n xxLL 21, )() 1 ( , n xx 在对总体参数做出估计时并非所有的估计量 都是优良的，从而产生了评价估计量是否 优良的标准。对于点估计量来说，一个好 的估计量有如下三个标准： 1无偏性 如果样本统计量的期望值等于该统计 量所估计的总体参数，则这个

15、估计量叫做 无偏估计量。这是一个好的估计量的一个 重要条件。用样本平均数作为总体平均数 的点估计量，就符合这一要求。无偏性也 就是没有系统的偏差，它是从平均意义讲 的，即如果这种估计方法重复进行，则从 估计量所获得的平均数等于总体参数。 显然，如果说一个估计量是无偏的，并不是 保证用于单独一次估计中没有随机性误差， 只是没有系统性的偏差而已。若以代表被 估计的总体参数，代表的无偏估计量，则 用数学式表示为： ) (E 我们知道，总体参数中最重要的一个参数 是总体平均数 ，样本平均数 是它的一 个无偏估计量，即 。另外，样本 方差也是总体方差的无偏估计量。 X )(XE 2一致性 当样本容量n增

16、大时，如果估计量越来越 接近总体参数的真值时，就称这个估计量 为一致估计量。估计量的一致性是从极限 意义上讲的，它适用于大样本的情况。如 果一个估计量是一致估计量，那么，采用 大样本就更加可靠。当然，在样本容量n增 大时，估计量的一致性会增强，但调查所 需的人力、物力也相应增加。 3有效性 有效性的概念是指估计量的离散程度。如果两个 估计量都是无偏的，其中方差较小的（对给定的 样本容量而言）就可认为相对来说是更有效的。 严格地说，如果 和 是 的两个无偏估计量， 它们的相对有效性按下述比率决定： 其中， 是较小的方差。 1 2 2 1 2 2 1 2 以上这三个标准并不是孤立的，而应该联系 起

17、来看。如果一个估计量满足这三个标准， 这个估计量就是一个好的估计量。数理统 计已证明，用样本平均数来估计总体平均 数和用样本比率来估计总体比率时，它们 是无偏的，一致的和有效的。 3. 3 参数的区间估计参数的区间估计 一、区间估计的概念 对未知参数来说，我们除了关心它的点估 计外，往往还希望估计出它的一个范围， 以及这个范围覆盖参数真值的可靠程度， 这种范围通常用区间的形式给出，这种区 间就叫参数的置信区间。 定义3. 2 设总体分布含有一个未知参数 , 若由样本确定的两个统计量（X1，X2， X 3，Xn）与 （X1，X2，X3， Xn），对于给定数值 ，满足 （3. 3） )10( 1)

18、,(),( 2121nn XXXXXXP 则称随机区间 为的一个 双侧置信区间， 称为双侧置信下（上） 限，1- 称为置信水平或置信度。 ),( )%1(100 )( （3.3）式表示置信区间 包含未知参数 真值的概率是1- ，若反复抽样多次（每 次样本容量相等），每组样本观察值确定 一个区间 ，每个这样的区间或者包 含 的真值，或者不包含 的真值，按贝 努利定理，在所有这些区间中，包含 真 值的约占 ，不包含真值的仅占 左右。 ),( ),( )%1 (100 %100 当 和 时， 称为置信区间观察值，也称为置 信区间。 ),( 321n xxxx),( 321n xxxx ),( 在有些

19、问题中，我们关心的是未知参 数至少有多大（如设备元件使用的寿命）， 或不超过多大（如产品的次品率），因此 下面给出单侧置信区间的概念。 定义3.4 在定义3.3中，如果将（3.3）式 改成 1),( 1),( 21 21 n n XXXP XXXP 则称 或 为单侧置信区间， 和 分别称为单侧置 信下限与单侧置信上限。 ),( 21 n xxx ),(,( 21n xxx 评价一个置信区间的好与坏有两个标准， 一是精度，即 越小精度越高，也就 越好。另一个是置信度，即 越 大越好。我们当然希望 尽可能地小， 同时希望 尽可能地大，但是当样 本容量n固定时，精度与置信度不可能同时 提高。 P P

20、 因为当精度提高时即 变小时， （ ）覆盖真值 的可能性也变小， 从而降低了置信度，相反，当置信度增大 时， 必然也增大，从而降低了精度， 在实际问题中，一般是根据实际问题的需 要，先选定置信度为1- ，然后再通过增 加样本容量n提高精度。 （1）构造一个随机变量g()（含待估计的 未知参数，分布已知）； （2）给定置信水平 ，使 ； ) 10(1 1)(bgaP （3）从不等式 中解出 即 得的 置信区间 ； （4）将xi代替 中的xi， 即得观察区间。 bga)( 21 : 1),( 21 ),( 21 假设总体XN（ ），构造 与 的 置信区间有重要的实用意义，而且有关结 果是完满的。

21、2 , 2 一、均值的置信区间 从总体X中取样本（X1，X2，Xn）， 设样本值为（x1, x2, x3, ，xn） 由于 n i i n NX n X 1 2 ),( 1 随机变量 很明显，统计量Z的分布函数不依赖于未知 参数。 ) 1 , 0 ( / N n X Z 设已给定对的区间估计置信度为1- 令 为Z的双侧 点） 解不等式（关于 ）： 得 1 2/2/ ZZZP 2/ ( Z 2/2/ ZZZ n ZX n ZX 2/2/ 从而所求的100(1- )%置信区间为 将样本平均值 取其观察值 ，则 100(1- )%的置信区间为 ),( 2/2/ n ZX n ZX X n i i x

22、 n x 1 1 )( 2/ n Zx 【例3.9】某厂质量管理部门的负责人希望 估计移交给接受部门的5500包原材料的平 均重量，一个由250包原材料组成的随机 样本所给出的平均值 =65千克。总体标 准差 =15千克。试构造总体未知的平均 值的置信区间，假定95%的置信区间已 能令人满意，并假定总体为正态分布 x 解：（1）样本平均值=65千克 （2）由1- =0.95， /2=0.025，查标 准正态分布表得 （3）写出置信区间= = = (63. 14, 66. 86) 96. 1 025. 02/ ZZ )( 2/ n Zx ) 250 15 96. 165( 于是，我们有95%的把

23、握说总体平均值介 于63.14和66.86千克之间。 注意 在很多情况下，我们遇到的总体为非 正态分布，但中心极限定理告诉我们，当 样本容量n足够大，无论总体服从什么分布， 的柚样分布将近似地服从正态分布，因此 当样本取自总体方差已知的非正态分布时， 我们仍可以用 公式来近似求出总体平均值的置信区间。 x )( 2/ n Zx n2 未知时，求的置信区间 n稍微留意上述求得的的置信区间，不难 发现只有在 已知时方法才可行。如果 未知，则可用样本方差S2代替总体方差 ， 从而根据统计量： 2 2 2 2 t 1 / nT nS X T n对给定的置信水平1- ，令 n可解得的1- 置信区间为 1

24、 2/2/ tTtP ) 1( 2/ n S ntX n将 、S2分别取其观察值 n则的1- 置信区间为 X 2 1 2 1 )( 1 1 , 1 n i i n i i xx n sx n x ) 1( 2/ n s ntx n例3. 10 为了估计一分钟一次广告的平均 费用，抽出了15电视台的随机样本。样本 的 平 均 值 = 2 0 0 0 元 ， 其 中 标 准 差 S=1000元。假定所有被抽样的这类电视 台服从正态分布，试构造总体平均值的 95%的置信区间。 x 解：（1）样本均值与方差分别为 =2000元， S=1000元 （2）由1- =0.95，得 /2=0.025， n-1

25、=14，查t分布表，得 x 14. 2)14() 1( 025. 02/ tnt n（3）写出置信区间： n显然我们有95%的把握说明，总体平均数 处在 1447.5元和2552.5元之间。 ) 15 1000 14. 22000()( 2/ n S tx = =（1447.5, 2552. 5） 注意 当 未知但样本容量n30，即大样本时， 可用标准正态分布近似地当作t分布。因此，在 实际工作中，只有在小样本的情况下，即样本容 量n30时，才应用t分布，而对于大样本，则通 常采用正态分布来构造总体平均数的置信区间。 另外，根据中心极限定理，从非正态总体中抽样 时，只要能够抽取大样本，那么，样

26、本平均数的 抽样分布就会服从正态分布。这时，我们也就能 够用 来构造置信区间，但由于 是未 知的，因此，只能用 来构造置信区间。 )( 2/ n Zx )( 2/ n S Zx 二、方差 2的置信区间 n设X1，X2，X3，Xn是总体XN( , 2)的 一个样本，其观察值为x1，x2，x3，xn。 因为在一般情况下，总体的均值是未知的， 所以我们只讨论均值 未知时，对 2的区间 估计。要对 2进行区间估计，须考虑样本 方差S2，由 分布理论知随机变量 ) 1( ) 1( 2 2 2 2 n Sn 2 n对于给定的置信水平1- 1- ，有 1)1() 1( 2 2/ 22 2/1 nnP n由此

27、得 2的置信水平为1- 的置信区间为 n而 标准差的置信水平为1- 的置信区间是 ) 1( 1 , ) 1( ) 1( 2 2/1 2 2 2/ 2 nx Sn nx Sn ) 1( 1 , ) 1( 1 2 2/1 2 2/ nx Sn nx Sn 例3.11 某制造厂的一名生产管理人员需要知道完成 某件工作所需的时间。为此他进行了一项研究， 得出一个适于分析的31个观察值组成的随机样本， 从样本数据算出的方差为0.3小时，试问： （1）构造方差 2的95%的置信区间 （2）构造 的95%的置信区间 （3）构造置信区间时作了何种假定？ 解：（1）S2=0.3，自由度= n-1 = 31-1=

28、30 查 分布表得： 从而求得0.19162 0.5360 因此，我们有95%的把握说2落在0.1916和 0.5360之间的范围内。 979.46)30()30( 2 025. 0 2 2/ 791.16)30()30( 2 975. 0 2 2/1 2 （2）其总体标准差的置信区间为： 0. 4377 30），可 用S12,S22、分别代替12、22 ，于是可用 区间 作为1-2的近似的1- 置信区间。 )( 2 2 2 1 2 1 2/21 n S n S ZXX 3 未知时，求1-2的置信区间，则t 分布理论知 其中 22 2 2 1 )2( 11 )()( 21 21 2121 nn

29、t nn S xx T w 2 ) 1() 1( 21 2 22 2 11 2 nn SnSn S w 在给定的置信水平1- 的条件下，有 由此可得1-2的置信水平为1- 的置信区 间 当 及Sw取样本观察值时，置信区间为 1)2() 2( 212/212/ nntTnntP ) 11 )2( 21 212/21 nn SnntXX w 21,X X ) 11 )2( 21 212/21 nn Snntxx w n【例3.13】某银行负责人想知道存户存入 两家银行的钱数，他从每一家银行各抽选 了一个由25个存户组成的随机样本。样本 平均值如下：银行A： =450元；银行B： =325元。两个总

30、体均服从方差分别为 A2=750和B2=850的正态分布。试构造 A-B的95%的置信区间。 A x B x n解 由于两个总体均服从正态分布，因此 也服从正态分布，从而计算总体均 值之差的置信区间可用： 这个公式。 BA XX )( 22 2/ B B A A BA nn ZXX 已知 12=750，22=850， =450， =325， 所以所求的置信区间为: 这意味着有95%的把握认为总体均值之差在 109.32元和140.68元之间。 ： A x B x 96. 1 025. 02/ ZZ 68.140,32.109 25 850 25 750 96. 1325450 n【例3.14】

31、某工厂中有两台生产金属棒的 机器。一个随机样本由机器A生产的11根 金属棒组成，另一个随机样本由机器B生 产的21根金属棒组成。两个样本分别给出 两台机器所生产金属棒的长度数据如下： n =6. 10英寸， =5.95英寸，SA2=0.018， SB2 =0. 020。假定两个总体近似服从正态分 布，且总体方差相等，试构造A-B的95% 的置信区间。 A x B x n解 019. 0 22111 020. 0) 121(018. 0) 111( 2 ) 1() 1( 22 2 BA BBAA w nn SnSn S 1- =95%， =0.05，查t分布表得 t /2= t0.025(30)

32、=2.042 所以所求置信区间为： =（0.05, 0.25） ) 21 1 11 1 019. 0042. 295. 510. 6( 4两个总体均不服从正态分布且方差未知 对于一般不服从正态分布的两个总体，我 们往往根据中心极限定理采用大样本抽样 方法。如果两个总体方差未知，就用S1和 S2分别作为1和2的估计值，当n1和n2足 够大时，1-2的置信水平为1- 的近似置 信区间为： )( 2 2 2 1 2 1 2/21 n S n S ZXX n【例3.15】东大和西大两所大学某学期期末英语 考试采用同一试题，东大认为该校学生英语考试 成绩能比西大高出10分，为了证实这一说法，主 管部门从

33、两校各抽取一个随机样本并得到如下数 据：n东=75人，n西=80人， 东=78. 6分， 西=73.8 分，S东=8.2分，S西=7. 4分。试 在95%的置信度下确定两校平均分数之差的置 信区间。 x x 解： 分 1- =0.95， =0. 025，查标准正态分布表得， 从而其置信区间为： （78. 6 73. 8 1. 96 1. 26）=（2.3, 7.3） 2 26. 1 80 4 . 7 75 2 . 8 22 22 西 西 东 东 n S n S 96. 1 025. 02/ ZZ 因此，我们有95%的把握说东大、西大两 校英语考试成绩之差在2.3分和7.3分之间。 这一结果说明

34、东大的平均成绩确实高于西 大，但并未高出10分。 二、二正态总体方差比的置信区 间 n在实际工作中还常常需要比较两个总体的 方差。例如，在选择产品时，我们通常需 要方差较小的产品，因为方差较小的产品 的质量比较均匀。比较两个总体方差的大 小，可以将两个方差相比，当两个方差相 等时其比值为1。但两个总体方差12和22 都是未知的，所以需要通过两个样本方差 来加以比较推断。 n设二正态总体XN (1,12)与YN (2,22)， 其中的参数均未知，它们相互独立的两个 样本的容量分别为n1, n2，样本方差为S12与 S22，现在求其方差比12/22的置信区间 n由 分布理论知 2 )1( )1(

35、)1( )1( 2 2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 11 n Sn n Sn n从而 n于是，对给定的置信水平为1- ，有： ) 1, 1( / / ) 1/( ) 1( ) 1/( ) 1( 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 22 1 2 1 2 11 nnF SS n Sn n Sn F 1)1, 1() 1, 1( 212/212/1 nnFFnnFP 所以 12/22的置信水平为1- 的置信区间为： （此处利用了公式： ） ) 1, 1(),1, 1( 122/ 2 2 2 1 122/1 2 2 2 1 nnF S S nnF S S ),( 1 ),(

36、 121 21 nnF nnF n【例3.16】为了比较用两种不同方法生产 的某种产品的寿命，进行一项试验。试验 中抽选了由方法1生产的16个产品组成一个 随机样本，其方差为1200小时。又抽选了 用方法2生产的21个产品组成另一个随机样 本，得出的方差为800小时。试以95%的置 信度估计12/22的置信区间 解：由于S12=1200，S22=800，S12 S22 3623. 0 76. 2 1 )15,20( 1 ) 1, 1( 57. 2)20,15() 1, 1( 025. 0 212/1 025. 0212/ F nnF FnnF 从而所求的置信区间为： 即： 0.58 12/22

37、0.05，就要采用有 限总体修正系数，从而P的区间估计公式为： 1 ) 1 ( 2/ N nN n PP ZP n【例3.17】某一大公司的人事处长希望知 道本公司内专业不对口的职员究竟占多大 比例。于是，他从2000名具有大专以上学 历的职员中随机抽取了一个由150人组成的 样本进行研究，结果表明，其中有45人说 他们从事的工作与所学专业不对口。试在 95. 5%的置信度下构造出专业不对口人员 所占真正比例的置信区间。 n解：由于样本容量很大，n=150， n =45/150=0.3， 和 都大于5， 故可用正态分布逼近。但又由于抽样比重 n ， n故需用有限总体修正系数计算Sp，则 P P

38、n) 1 (Pn 05. 0075. 0 2000 150 N n =（0.228， 0.372） 计算结果表明，我们有95. 5%的把握说，该公司 具有大专以上学历的人员中，有22.8%37.2%的 人专业不对口。 1 ) 1 ( 2/ N nN n PP ZP 12000 1502000 150 )3 .01 (3 .0 23 .0( 二、两个总体比例之差的区间估计 n为了估计两个总体比例之差P1-P2，我们可从 每一个总体中各抽一个随机样本，并利用两 个样本比例之差 。这样就可以按通常 的方式构造出一个区间的估计值。我们知道， 当n1和n2都很大，即大样本，而且总体比例 不太接近0或1时

39、，两个独立样本 的抽 样分布近似服从正态分布，其平均值为P1-P2， 标准差为： 21 PP 21 PP n因为P1和P2皆未知，所以标准差应通过下 式来估计： 2 22 1 11 )1 ()1 ( 21 n PP n PP PP 2 22 1 11 ) 1 ( ) 1 ( 21 n PP n PP S PP n于是上述条件下P1-P2的100（1- ）% 的置信区间由下式给出： 2 22 1 11 2/21 ) 1 ( ) 1 ( ) ( n PP n PP ZPP n【例3.18】某企业有两个车间，分别用A和B表示。 为了降低废品率，该企业对车间B的工人首先进 行业务培训。3个月后，该企业

40、负责人对两个车 间的产品质量进行了检验。从车间A抽取了200件 产品，从车间B抽取了220件产品。查得废品率A 车间为 ，B车间为 ，试在95%的把 握程度下，构造两个废品率之间的置信区间。 %15 A P %3 B P n解： B BB A AA PP n PP n PP S BA ) 1 ( ) 1 ( 220 )03. 01 (03. 0 200 )15. 01 (15. 0 0277. 0 nZ /2=Z0.025=1.96，从而其区间估计为： （0.15-0.03 1. 96 0. 0277）=（0.066, 0.174） 根据这一结果，我们有95%的把握说，车 间A和车间B的废品率之差为6. 6%17. 4%。 这说明，车间B人员的业务培训收到了效 果。 n以上所举的例子中，都假定样本容量已定。 在实际设计抽样方案中有一个重要的问题， 就是在特定的情况下，应该用多大的样本？ 如果使用一个比需要大的样本，就会浪费 资料；如果样本太小，就不能达到分析的 目的。 事实上，决定样本大小的因素有以下三点： （1）受总体方差2数值大小的影响。总体 方差大，抽样误差大，则应多抽一些样本 容量，反之，则可少抽一些。当然，当总 体方差为0时，那么只需抽出其中一个就能 代表总体。问题是实际工作中我们往往不 知道总体