数学建模-概率基础

1、数学建模数学建模-概率基础概率基础 一、一、 事件与概率；事件与概率； 二、二、 随机变量的期望、方差；随机变量的期望、方差； 三、三、 常用的概率分布及应用常用的概率分布及应用 1. 随机试验与事件随机试验与事件 试验试验:对自然现象进行一次观察或一次科学试验。对自然现象进行一次观察或一次科学试验。 随机试验随机试验:如果试验可以在相同条件下重复进行多如果试验可以在相同条件下重复进行多 次，而且每次的试验结果事前不可预知，但可以知次，而且每次的试验结果事前不可预知，但可以知 道所有可能出现的结果。则称为一个随机试验。道所有可能出现的结果。则称为一个随机试验。 随机事件随机事件:将随机试验的结

2、果称为随机事件。将随机试验的结果称为随机事件。 32021年年7月月13日日 2.概率与条件概率概率与条件概率 42021年年7月月13日日 3. 统计概率与几何概率统计概率与几何概率 52021年年7月月13日日 2.概率与条件概率概率与条件概率 概率的计算公式一概率的计算公式一 3. 统计概率与几何概率统计概率与几何概率 62021年年7月月13日日 2.概率与条件概率概率与条件概率 概率的计算公式二概率的计算公式二 72021年年7月月13日日 有关概率和条件概率的两大重要公式：有关概率和条件概率的两大重要公式： 2.概率与条件概率概率与条件概率 82021年年7月月13日日 全概率公式

3、的应用全概率公式的应用敏感性问题分析敏感性问题分析 2.概率与条件概率概率与条件概率 问题提出：给出合理的方法估计学生中阅读黄色问题提出：给出合理的方法估计学生中阅读黄色 书刊和观看黄色录像的比率书刊和观看黄色录像的比率p. 操作方法：两个问题操作方法：两个问题 A.生日是否在生日是否在7.1前前 B.是否看过黄色录像是否看过黄色录像 问题假设问题假设：（：（1）被调查者无人情况下回答问题）被调查者无人情况下回答问题 （2）通过抽球模型选择问题，白）通过抽球模型选择问题，白A 红红B （红白球比例（红白球比例 ） )1(: 92021年年7月月13日日 全概率公式的应用全概率公式的应用敏感性问

4、题分析敏感性问题分析 2.概率与条件概率概率与条件概率 调查结果：答卷有调查结果：答卷有“是是”“”“否否”两个结果两个结果. 共收到共收到n张答卷，其中张答卷，其中k张结果张结果“是是”. 问题求解：问题求解： . )1 ( 5 . 0 2 1 1)()()()()( nk p n k pPPPPP）（白是白红是红是 注：若在一次调查中，袋中注：若在一次调查中，袋中红球红球30个，白球个，白球20个，个，=0.6， 共收到共收到1583张有效答卷，其中张有效答卷，其中389张回答是可得张回答是可得p=7.62%，这，这 表明约有表明约有7.62%的学生看过黄色书刊或黄色录像。的学生看过黄色书

5、刊或黄色录像。 102021年年7月月13日日 2.概率与条件概率概率与条件概率 112021年年7月月13日日 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式的应用可信度问题分析可信度问题分析 2.概率与条件概率概率与条件概率 问题提出：伊索寓言问题提出：伊索寓言“狼来了狼来了”用数学模型给出合理解用数学模型给出合理解 释释 问题假设：问题假设： 假设初始印象对小孩可信的概率是假设初始印象对小孩可信的概率是0.8， 可信的小孩说谎的可能性可信的小孩说谎的可能性0.1 ， 不可信的小孩说谎的可能性不可信的小孩说谎的可能性0.5. 122021年年7月月13日日 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式的应用可信度问题分析可信度

6、问题分析 2.概率与条件概率概率与条件概率 问题分析：令问题分析：令 初始印象：初始印象： .小孩可信，小孩说谎BA .5 .0)(, 1 .0)(BAPBAP由假设知 .2 .0)(, 8 .0)(BPBP 第一次说谎后：由贝叶斯公式第一次说谎后：由贝叶斯公式 .444.0 )()()()( )()( )( BAPBPBAPBP BAPBP ABP 132021年年7月月13日日 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式的应用可信度问题分析可信度问题分析 2.概率与条件概率概率与条件概率 .556.0)(,444.0)(BPBP第二次说谎后：第二次说谎后： .138.0 )()()()( )()( )(

7、BAPBPBAPBP BAPBP ABP 第三次说谎后：小孩的可信度第三次说谎后：小孩的可信度.138.0444.08 .0不去！不去！ 应用：银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他应用：银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他. 应用：医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明应用：医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明. 1.一维随机变量与分布函数一维随机变量与分布函数 随机变量：用数值表示的随机事件的函数。随机变量：用数值表示的随机事件的函数。 142021年年7月月13日日 152021年年7月月13日日 1.一维随机变量与分布函数一维随机变量与分布函数 16

8、2021年年7月月13日日 1.一维随机变量与分布函数一维随机变量与分布函数 2.随机变量的数学期望随机变量的数学期望 172021年年7月月13日日 2.随机变量的数学期望随机变量的数学期望 182021年年7月月13日日 2.数学期望数学期望平均收益平均收益 问题提出：在中国入世后，假设国际市场每年对我国某种出口问题提出：在中国入世后，假设国际市场每年对我国某种出口 商品的需求量（单位：吨）在商品的需求量（单位：吨）在【4000,5200】上服从均匀分布，上服从均匀分布， 并且每销售这种商品一吨，可为国家创汇并且每销售这种商品一吨，可为国家创汇5万元；但若销售不万元；但若销售不 出而囤积在

9、仓库中，则每吨需支付库存及保养费出而囤积在仓库中，则每吨需支付库存及保养费1万元，求使万元，求使 得国家平均销售收益最大需组织的这种出口商品的数量。得国家平均销售收益最大需组织的这种出口商品的数量。 随机需求问题中的随机决策模型随机需求问题中的随机决策模型出口商品的组织问题出口商品的组织问题 192021年年7月月13日日 （1）数学期望）数学期望平均收益平均收益 解题关键：解题关键：1.出口商品的销售收益与随机需求量的函数关系式出口商品的销售收益与随机需求量的函数关系式. 2.目标函数为平均销售收益，即销售收益的数学期望目标函数为平均销售收益，即销售收益的数学期望. 3.国家年销售收益最大的

10、出口量即数学上求最值问题国家年销售收益最大的出口量即数学上求最值问题. 问题分析：出口商品的需求量是服从问题分析：出口商品的需求量是服从【4000,5200】上服从均上服从均 匀分布的随机变量，导致国家每年的收益也是随机的，因此衡匀分布的随机变量，导致国家每年的收益也是随机的，因此衡 量国家的收益就应该是长期出口这种商品的年平均收益。量国家的收益就应该是长期出口这种商品的年平均收益。 202021年年7月月13日日 2.数学期望数学期望平均收益平均收益 记记u为外贸部门每年组织的该种商品的数量，为外贸部门每年组织的该种商品的数量，Y为每年国家出口该为每年国家出口该 种商品的销售收益（单位：万元

11、）则收益种商品的销售收益（单位：万元）则收益Y为需求量为需求量X的函数，由的函数，由 题设知题设知 模型建立：设国际市场每年对某种出口商品的需求量为随机变模型建立：设国际市场每年对某种出口商品的需求量为随机变 量量X（单位：吨），则（单位：吨），则XU4000,5200,其概率密度为：其概率密度为： 212021年年7月月13日日 ; 0 520040001200/1 )( 其它 x xf X ; 6)(5 5 )( uXuXXuX uXu XgY 2.数学期望数学期望平均收益平均收益 );48000000300003( 1200 1 5)6( 1200 1 1200 1 )( )()()(

12、2 5200 4000 5200 4000 uu udxdxuxdxxg dxxfxgXEgEY u u X 平均销售收益：平均销售收益： 模型求解：模型求解：EY是是u的二次函数，用通常求极值的方法可得的二次函数，用通常求极值的方法可得 5000 * u 时达到最大值，故外贸部门组织该种商品时达到最大值，故外贸部门组织该种商品5000吨是最好的决策，吨是最好的决策， 此时国家出口该商品每年最大的销售收益为此时国家出口该商品每年最大的销售收益为EY=22500万元。万元。 3.随机变量的方差随机变量的方差 232021年年7月月13日日 3.方差方差风险风险 问题提出：设有一笔资金，总量记为问

13、题提出：设有一笔资金，总量记为1(可以是可以是1万元，也可以是万元，也可以是 100万元等万元等)，如今要投资甲乙两种证券，若将，如今要投资甲乙两种证券，若将x1投资于甲证券，投资于甲证券， 将余下的资金将余下的资金1-x1 =x2投资于乙证券，于是（投资于乙证券，于是（x1 ，x2）就形成了一）就形成了一 个投资组合。计算该投资组合的平均收益与风险，并求如何投资个投资组合。计算该投资组合的平均收益与风险，并求如何投资 使投资风险最小。使投资风险最小。 投资组合模型投资组合模型 242021年年7月月13日日 问题假设：记问题假设：记X为投资甲证券的收益率，为投资甲证券的收益率，Y为投资乙证券

14、的收为投资乙证券的收 益率（益率（X、Y均为随机变量），假设均为随机变量），假设X、Y的均值（代表平均收的均值（代表平均收 益）分别为益）分别为 ，方差（代表风险）分别为，方差（代表风险）分别为 ，相关，相关 系数为系数为 ，（这些参数在实际问题中主要通过数理统计方法，（这些参数在实际问题中主要通过数理统计方法 参数估计得到后面会讲到）参数估计得到后面会讲到） 21 、 2 2 2 1 、 3.方差方差风险风险 组合收益：组合收益： 平均收益：平均收益： 组合风险：组合风险： 风险最小的最佳投资组合：风险最小的最佳投资组合： ;)1 ()1 ( 211111 xxEYxEXxEZ . 2 0

15、21 2 2 2 1 21 2 2 * 1 最小DZx dx dDZ ;)1 (2)1 ()1 ( 2111 2 2 2 1 2 1 2 111 xxxxYxXxDDZ ;)1 ( 1121 YxXxYxXxZ ,704. 04 . 0, 5 . 0, 3 . 0 * 1 2 2 2 1 x时， . 2 1, 2 21 2 2 2 1 21 2 2 * 2 21 2 2 2 1 21 2 2 * 1 xx 70%投资甲，投资甲，30%投资乙风险最小投资乙风险最小. 问题求解：问题求解： 262021年年7月月13日日 272021年年7月月13日日 举例：检查举例：检查10个产品，个产品，10

16、个产品中不合格品的个数；个产品中不合格品的个数； 调查调查n个人中，患色盲的人数；个人中，患色盲的人数； 射击射击10次命中的次数；次命中的次数； 为检验某药品的效果，对为检验某药品的效果，对10个病人服用药品后治愈的人数个病人服用药品后治愈的人数 282021年年7月月13日日 应用：单位时间内，大量试验中稀有事件出现的次数应用：单位时间内，大量试验中稀有事件出现的次数. 举例：一天内电话机总台接到用户呼唤的次数举例：一天内电话机总台接到用户呼唤的次数 ； 单位时间内电路受到外界电磁波的冲击次数；单位时间内电路受到外界电磁波的冲击次数； 惠普笔记本电脑液晶显示器的坏点数；惠普笔记本电脑液晶显

17、示器的坏点数； （排队论）某段时间内到医院就诊时排队挂号的人数；（排队论）某段时间内到医院就诊时排队挂号的人数； 一天内进入某商店的顾客人数一天内进入某商店的顾客人数配置营业员配置营业员. 292021年年7月月13日日 （4 4）均匀分布：）均匀分布： 应用：每个试验结果出现可能性相同（等可能性）应用：每个试验结果出现可能性相同（等可能性）. 公交车在某时间段内到达一站台的时刻；公交车在某时间段内到达一站台的时刻； 汽车轮胎圆周与接触地面的位置汽车轮胎圆周与接触地面的位置四周磨损程度几乎相同四周磨损程度几乎相同. 30 2021年年7月月13日日 （5 5）指数分布：）指数分布： 举例：电子

18、元件的寿命、动物的寿命；举例：电子元件的寿命、动物的寿命； 电话的通话时间电话的通话时间资费调整分忙闲时各种套餐；资费调整分忙闲时各种套餐； 随机服务系统中的服务时间，如排队论中通常认为随机服务系统中的服务时间，如排队论中通常认为 挂号就诊人数服从泊松分布，诊断时间服从指数分布挂号就诊人数服从泊松分布，诊断时间服从指数分布. （参数仍然是通过数理统计中参数估计方法得到）（参数仍然是通过数理统计中参数估计方法得到） 应用：常被用做各种寿命的分布。应用：常被用做各种寿命的分布。 312021年年7月月13日日 322021年年7月月13日日 举例：机床加工一批机械轴使其直径符合规定要求，这批机械举例：机床加工一批机械轴使其直径符合规定要求，这批机械 轴的直径测量值是一随机变量，它受到下面等因素影响：轴的直径测量值是一随机变量，它受到下面等因素影响： 正态分布的应用：对随机变量的影响因素很多，但每一正态分布的应用：对随机变量的影响因素很多，但每一 个因素又不起决定性作用，这样的随机变量认为服从正个因素又不起决定性作用，这样的随机变量认为服从正 态分布。例如测量误差、产品重量、人的身高、年降雨态分布。例如测量误