绘制根轨迹基本法则

1、绘制根轨迹基本法则1 4.2 根轨迹的绘制根轨迹的绘制 低阶系统（如二阶系统）低阶系统（如二阶系统） 解析法求根轨迹解析法求根轨迹 （【例（【例4.1.1】）】） 根轨迹绘制法则，根轨迹绘制法则，8条条 绘制根轨迹基本法则2 )( )( )()( sN sM sHsG 4.2.1 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 法则法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数、对称性和连续性 u分支数分支数MAX（n,m） 0)()(0 )( )( 1sNsM sN sM u特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称 于实轴于实轴 u特征方程是多项式函数，

2、根是特征方程是多项式函数，根是K*的隐函数，的隐函数， 因此根轨迹连续因此根轨迹连续 绘制根轨迹基本法则3 法则法则2：根轨迹起于开环极点，终于开环零点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点 1 )( )( 1 1 * n i i m j j ps zs K 证明：证明： 根轨迹起点根轨迹起点: 根轨迹终点根轨迹终点: 0 * K * K 0)()( 11 * n i i m j j pszsK 0 * Knips i , 1, 因为有因为有MAX(n,m)个根轨迹分支，所以有个根轨迹分支，所以有n个根个根 所以，根轨迹起于开环极点所以，根轨迹起于开环极点 ？有几个？有几个 根根 绘制根轨迹基本法

3、则4 0)( 1 )( 1 * 1 n i i m j j ps K zs 根轨迹方程又可以写为（根轨迹方程又可以写为（K*0） * K mjzs j , 1, 所以根轨迹终于开环零点所以根轨迹终于开环零点 绘制根轨迹基本法则5 mn 一般情况下一般情况下 有有n-m条根轨迹终于无穷远处条根轨迹终于无穷远处 mn s m j j n i i s s zs ps K|lim | | lim 1 1 * 将穷远处的零点叫做无穷零点，那么根轨迹终将穷远处的零点叫做无穷零点，那么根轨迹终 止于开环零点止于开环零点 如果包括无穷零点，则有：如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点无穷零点）开环极点

4、数开环零点数（有限零点无穷零点）开环极点数 绘制根轨迹基本法则6 法则法则3：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线 当当 时，有时，有 条根轨迹分支沿着与实轴交条根轨迹分支沿着与实轴交 角为角为 、交点为、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，的一组渐近线趋向于无穷远处， 且有且有 mn mn 1, 1 , 0, ) 12( mnk mn k mn zp m j j n i i 11 a a aaa tg 绘制根轨迹基本法则7 证明：角度的简单证明证明：角度的简单证明 K s无穷远处的一个闭环特征根无穷远处的一个闭环特征根 与有限零点和有限极点所成与有限零点和有限极点所成 角度相同，都设为角度相同，都

5、设为 nm k knm aaa ) 12( ) 12( 相角条件相角条件 根轨迹对称于实轴，也可写为根轨迹对称于实轴，也可写为 mn k ) 12( 交角有交角有n-m个，交点只有一个个，交点只有一个 a a aaa tg 绘制根轨迹基本法则8 【例【例4.2.1】一个系统开环传递函数为】一个系统开环传递函数为 )22)(4( ) 1( )( 2 * ssss sK sGK 根据前面根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性个根轨迹法则确定根轨迹基本特性 解：解：1)根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 jpjppp1,1, 4, 0 4321 2)根轨迹有根轨迹有4条，且对称于实轴条，且对

6、称于实轴 1 1 z终于开环无穷远零点和有限零点终于开环无穷远零点和有限零点 绘制根轨迹基本法则9 )22)(4( ) 1( )( 2 * ssss sK sGK 3)有有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为条渐近线，其与实轴交点为 67. 1 3 ) 1()24( 3 1 zpi 与实轴交角为与实轴交角为 (21) ,0,1,260 ,180 ,300 3 k k 绘制根轨迹基本法则10 -5-4-3-2-10123 -5 0 5 p1=0p2=-4 p3=-1+j p4=-1-j z1=-1 =-1.67 例4.2.1 Real Axis Imaginary Axis 例例4.2.1的根轨迹

7、的根轨迹 u开环极点用开环极点用表示表示 u开环零点用开环零点用表示表示 67. 1 3 ) 1()24( 3 1 zpi 300,180,602 , 1 , 0, 3 ) 12( k k 有三条渐近线有三条渐近线 u一条根轨迹起于一条根轨迹起于p1, 终止于终止于z1 u其他三条终止于无其他三条终止于无 穷远处穷远处 绘制根轨迹基本法则11 j 3 z 1 p 2 p 3 p0 1 z 2 z s 1 zs 2 zs 1 ps 2 ps 法则法则4：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数 之和为奇数，则该区

8、域必是根轨迹。之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：根轨迹上的点必须满足相角条件证明：根轨迹上的点必须满足相角条件 2, 1, 0,) 12( 11 kk n i i m j j 0360 21 或zszs 0360 21 或psps 0 3 zs 180 3 ps 绘制根轨迹基本法则12 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 （p4, z2）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为3个个 （p1, z1）段是根轨迹，右侧实轴）段是根轨迹，右侧实轴1个零极点个零极点 绘制根轨迹基本法则13 法则法则5：根轨迹的分离点与分离角：根轨迹的分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支

9、在两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开 的点，称为根轨迹的分离点（会合点）的点，称为根轨迹的分离点（会合点） u若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 u若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 u分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根 绘制根轨迹基本法则14 分离点的坐标分离点的坐标d是可由如下方法确定：是可由如下方法确定： n i i m j j pdzd 11 11 l k)12( 分离角为分离角为 为分离的根轨迹条数（一般为分离的根

10、轨迹条数（一般 情况下情况下l=2）,k=0,1, ，l-1 l (1)公式法（凑试法）公式法（凑试法） 绘制根轨迹基本法则15 0 )( )( 1 * sN sM K闭环特征方程：闭环特征方程： 即：即： 0)()( * sMKsN (2)重根法重根法 )()()( * sMKsNsF 0)()()( 0)()()( * * sMKsNsF sMKsNsF (3)极值法极值法 0 * ds ds dK )( )( * sM sN K 0)()()()(sMsNsNsM 分离点分离点 0)()()()(sNsMsNsM 分离点分离点 绘制根轨迹基本法则16 -4-3-2-101 -10 -5

11、0 5 10 p1=0 p2=-2 p3=-3 z1=-1 ?4.2.2? Real Axis Imaginary Axis ? d=-2.47, K*=0.419 【例【例4.2.2】绘制开环传递函数的根轨迹草图】绘制开环传递函数的根轨迹草图 ) 3)(2( ) 1( )( * sss sK sGK 解解:(1)实轴上根轨迹实轴上根轨迹 u(z1,p1)之间有根轨迹，而且没之间有根轨迹，而且没 有分离点，所以起于有分离点，所以起于p1，终于，终于 z1 u(p2,p3)之间有根轨迹，且有之间有根轨迹，且有 分离点分离点 (2) (p2,p3)之间的分离点之间的分离点 3 1 2 11 1 1

12、 dddd 47. 2d 分离角分离角 270,90 2 ) 12(k 绘制根轨迹基本法则17 （3） n-m=2, 有有2条根轨迹趋于无穷条根轨迹趋于无穷 渐近线的参数为渐近线的参数为 270,90 2 ) 12( aa k 2 2 ) 1() 32( 2 1 1 3 1 j j i i a zp （4）分离点处的根轨迹增益）分离点处的根轨迹增益K* 47. 2d 419. 0 | | 1 1 * m j j n i i zd pd K -4-3-2-101 -10 -5 0 5 10 p1=0 p2=-2 p3=-3 z1=-1 ?4.2.2? Real Axis Imaginary Ax

13、is ? 绘制根轨迹基本法则18 法则法则6：起始角与终止角：起始角与终止角 起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度 , 2, 1, 0,) 12( 11 kk n ij j i p j p m j i p j z i p )( ji i p j z zp 其中其中 )( ji i p j p pp 绘制根轨迹基本法则19 终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度 , 2, 1, 0,) 12( 11 kk n j i z j p m ij j i z j z i z )( ji i z

14、j z zz 其中其中 )( ji i z j p pz 绘制根轨迹基本法则20 证明：在极点证明：在极点pi附近根轨迹上取一点附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起，连线角度近似为起 始角，则始角，则 ) 12( 11 k iijij p n ij j pp m j pz 正负一样正负一样 )( jipz zp ij 其中其中 )( jipp pp ij ) 12( 1 1 1 1 1 k s i p n ij j s j p m j s j z 绘制根轨迹基本法则21 整理即得整理即得 n ij j pp m j pzp ijiji k 11 ) 12( 终止角的证明类似终止角的证明类似

15、 , 2, 1, 0,) 12( 11 kk n j i z j p m ij j i z j z i z 绘制根轨迹基本法则22 -4-3-2-101 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 p1=-1+j p2=-1-j z1=-2 Imaginary Axis 【例【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图 22 )2( )( 2 * ss sK sGK 解：解： 2,1,1, 1, 2 121 zjpjpmn （1） 有根轨迹，且有会合点，分离角为有根轨迹，且有会合点，分离角为)2,(90 414. 322

16、1 1 1 1 2 1 d jdjdd Real Axis d=-3.414 尝试其它方法尝试其它方法 绘制根轨迹基本法则23 -4-3-2-101 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 p1=-1+j p2=-1-j z1=-2 例4.2.3 Real Axis Imaginary Axis d=-3.414 135 （2）p1点的出射角为点的出射角为 135 )2()1 () 12( )() 12( 2111 1 jjk ppzpk p 根轨迹的复平面部分是以根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分的圆周的

17、一部分 绘制根轨迹基本法则24 法则法则7：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点 即有纯虚根即有纯虚根 ，此时，此时K*使系统处于临界稳定状态使系统处于临界稳定状态js 两种计算方法：两种计算方法： u劳斯稳定判据计算临界增益劳斯稳定判据计算临界增益 u采用代入法计算采用代入法计算 绘制根轨迹基本法则25 【例【例4.2.4】已知某单位负反馈系统的开环传递函数，】已知某单位负反馈系统的开环传递函数， 试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的K* )2)(1( )( * sss K sGK 解：闭环特征方程为解：闭环特征方程为 0)2)(1( * Ksss 023

18、*23 Ksss Gk(s) 绘制根轨迹基本法则26 * * * 0 1 2 3 0 3 6 3 21 K K K s s s s 计算劳斯表计算劳斯表 60 3 6 * * K K 用用s2行构造辅助方程行构造辅助方程 0203 2*2 sKs 2 2,1 js 例4.2.4 Real Axis Imaginary Axis -3-2-101 -2 -1 0 1 2 p1=0p2=-1p3=-2 K*=6,s=1.414j 023 *23 Ksss 绘制根轨迹基本法则27 所以，与虚轴的交点为所以，与虚轴的交点为 ，临界增益为，临界增益为6j2 例4.2.4 Real Axis Imagin

19、ary Axis -3-2-101 -2 -1 0 1 2 p1=0p2=-1p3=-2 K*=6,s=1.414j 或者将或者将 直接代入特征方程，得直接代入特征方程，得 js 023 *23 Kjj 6 2 03 02 *2 3 KK 绘制根轨迹基本法则28 法则法则8：闭环极点的和：闭环极点的和 2mn当当 时，开环极点之和等于闭环极点之和，即时，开环极点之和等于闭环极点之和，即 n i i n i i ps 11 由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面平面 上左移时，另外某些极点必然右移上左移时，另外某些极点必然右移 绘制根轨迹基

20、本法则29 n l n l l n l n n i n i m j m l j m j m i n i n n i i m j j n i i m j j n i i ssss zszsKpsps sszsKps zsKps sHsG 1 1 111 1*1 11 * 1 1 * 1 )()( )()()()( )()()( 0)()( 0)()(1 n i n l li sp 11 证明：当证明：当 时，系统闭环特征方程时，系统闭环特征方程 2mn 绘制根轨迹基本法则30 根轨迹绘制规则总结根轨迹绘制规则总结 序序内容内容规规 则则 1分支数分支数 对称性对称性 等于开环传递函数的极点数（n

21、m ） 对称于实轴 2起点起点 终点终点 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括 无限零点） 3 实轴上实轴上 分布分布 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹， 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数 4渐近线渐近线 相交于实轴上的同一点： 坐标为： 倾角为： mn zp n i m j ji 11 mn k ) 12( 绘制根轨迹基本法则31 序序内容内容规规 则则 5 分离（会分离（会 合）点合）点 实轴上的分离（会合）点 6 起始角起始角 终止角终止角 复极点处的出射角： 复零点处的入射角： 7 虚轴交点虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得 （2）闭环特征方程 8 闭环极点

22、闭环极点 之和之和 当 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和 K K* *计算计算 模值条件： n i j m i i pdzd 11 11 m j n ij j jiji i p ppzpk 11 )()() 12( m ij j n i jiji i z pzzzk 11 )()() 12( 0)()(1sHsG js 令 2mn m i j n j j zs ps K 1 1 )( )( * 绘制根轨迹基本法则32 绘制根轨迹基本步骤绘制根轨迹基本步骤 n计算开环极点、零点，并标注 n确定根轨迹分支数 n确定根轨迹起点和终点 n确定实轴上的根轨迹 n确定渐近线 n确定分离点或会合点 n确

23、定初始角和终止角 n确定与虚轴的交点 n计算要求的参数 绘制根轨迹基本法则33 【例【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘 制其根轨迹制其根轨迹 )22)(3( )( 2 * ssss K sGK 解：解：1）绘制零极点分布）绘制零极点分布 jp jp p p 1 1 3 0 4 3 2 1 -3 0 绘制根轨迹基本法则34 2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹 -3 0 (-3,0)之间必有根轨迹之间必有根轨迹 3）渐近线）渐近线 4mn条渐近线条渐近线 25. 1 4 5 4 ji a zp 135,45 4 ) 12( k a 绘制根轨迹基本

24、法则35 4）分离点）分离点 无有限零点，故无有限零点，故 0 1 4 1 i i pd -30 0 1 1 1 1 3 11 jdjddd 3 . 2d 绘制根轨迹基本法则36 5）起始角）起始角 -1+j处的起始角处的起始角 6 .716 .251180 )906 .26135() 12( )2()2()1( ) 12( 3 k jjj k p -30 -1.25-2.3 3 p 4 p 6 .71 4 p 对称的对称的 绘制根轨迹基本法则37 6）与虚轴交点）与虚轴交点 闭环特征方程为闭环特征方程为 *0 34 25204 1 * 5 34 2 3 *4 * 65 81 Ks s Ks

25、s Ks K 列劳斯表列劳斯表 0685 *234 Kssss 16. 80 34 25204 * * K K 令令s1的行为零的行为零 绘制根轨迹基本法则38 016. 8 5 34 , 0 5 34 2*2 sKs 由由s2行构造行构造 -30 -1.25-2.3 3 p 4 p 16. 8 1 . 1 * K js1 . 1 绘制根轨迹基本法则39 2 2 322 k s G s s sss () ( ) ()() 例例4.2.64.2.6已知控制系统开环传递函数已知控制系统开环传递函数 试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。 解：（解：（1 1）作出开环零、极点分布。）作出开环零、极点分布。 （

26、2 2）因为）因为 ，因此有，因此有4 4条条 根轨迹分支。根轨迹分支。 4n 1m 3nm 其起点分别为其起点分别为4 4个开环极点。个开环极点。 故有一条根轨迹终止于开环零点；故有一条根轨迹终止于开环零点； 故有三条根轨迹分支终止于无穷远处。故有三条根轨迹分支终止于无穷远处。 （3）确定实轴上的根轨迹）确定实轴上的根轨迹 绘制根轨迹基本法则40 3112 1 3 a jj () () () 21 60 180 300 a k nm () ，(0,1,2)k （4 4）渐近线：因为有三条根轨迹分支终止于无）渐近线：因为有三条根轨迹分支终止于无 穷远处，故有三条渐近线。穷远处，故有三条渐近线。

27、 313132343 180 pzppp 13 135 p 23 22.6 p 43 90 p 13 45 z 3 22.6 p 4 22.6 p （5 5）复数极点的出射角）复数极点的出射角 经计算得经计算得 将以上求得的将以上求得的4 4个数据代入上式得个数据代入上式得 利用根轨迹的对称性可知：利用根轨迹的对称性可知： 绘制根轨迹基本法则41 sj 2 32220 sj s sssk s ()()() 42 3 820 560 k k () 1.61 7k （6）根轨迹与虚轴的交点：令）根轨迹与虚轴的交点：令 代入系统闭环特征方程中，得代入系统闭环特征方程中，得 分别令上式的实部与虚部等于

28、零，得分别令上式的实部与虚部等于零，得 解上述方程组，并舍去无意义值，得解上述方程组，并舍去无意义值，得 ； 423 (82 )( 56)0kjk() 绘制根轨迹基本法则42 绘制根轨迹基本法则43 利用利用MATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹 命令命令1：零、极点模型zpk,传递函数tf 例： )2( 4 )( 2 * ss s KsGk )2( 1 )( 2 * ss KsGk 命令命令2：绘制根轨迹rlocus rlocus(Gk) 22 4 )( 3 * ss s KsGk Gk=tf(1, 4, 1, 0, 2, 2)Gk=tf(1, 4, 1, 0, 2, 2) Gk=zpk(, 0,

29、 0, -2, 1)Gk=zpk(, 0, 0, -2, 1) Gk=zpk(-4, 0, 0, -2, 1)Gk=zpk(-4, 0, 0, -2, 1) 绘制根轨迹基本法则44 它的开环传递函数为它的开环传递函数为 （1）有）有2个开环极点（起点）个开环极点（起点） ， 。 ) 1 ( )1 ( )( * T ss K Tss K sG 0 0 p T p 1 1 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹 二阶系统二阶系统 二阶系统的结二阶系统的结 构图如图所示。构图如图所示。 绘制根轨迹基本法则45 由此得分离点由此得分离点 0) 1 ()()( )()( s T ssDsNsNsD T

30、 s 2 1 （2）有二个开环无限零点（终点），故二）有二个开环无限零点（终点），故二 条根轨迹都将延伸到无限远。条根轨迹都将延伸到无限远。 （3）由上节法则）由上节法则4可知，在可知，在0和和 间必有间必有 根轨迹。根轨迹。 （4）按式根轨迹的分离点计算公式）按式根轨迹的分离点计算公式 T 1 绘制根轨迹基本法则46 (5)根轨迹的渐近线倾角计算，得根轨迹的渐近线倾角计算，得 渐近线交点计算渐近线交点计算 它和根轨迹的分离点重合。它和根轨迹的分离点重合。 o oo a k mn k 90 2 180) 12(180) 12( T T mn zp m i i n j j a 2 1 2 1 1

31、1 绘制根轨迹基本法则47 二阶系统增加一个零点时，系统结构图二阶系统增加一个零点时，系统结构图 )2 . 0( )( ) 15(2 . 0 )( )( * ss asK ss asK sG 开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 它的开环传递函数为它的开环传递函数为 绘制根轨迹基本法则48 开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 的根轨迹如图的根轨迹如图 绘制根轨迹基本法则49 二阶系统附加一个极点的系统的结构图二阶系统附加一个极点的系统的结构图 )(1() 1)(1( )( * asss K Tsss K sG 三阶系统三阶系统 它的开环传递函数为它的开环传递函数为 绘制根轨迹

32、基本法则50 三阶系统的如图根轨迹三阶系统的如图根轨迹 绘制根轨迹基本法则51 二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统 的结构图如图所示，它的开环传递函数为的结构图如图所示，它的开环传递函数为 开环具有零点的三阶系统开环具有零点的三阶系统 )( )( ) 1( ) 1( )( 1 2 1 * 2 pss zsK TssT sK sG id d 绘制根轨迹基本法则52 开环具有零点的三阶开环具有零点的三阶 系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图 绘制根轨迹基本法则53 开环传递函数为开环传递函数为 )22)(3( )2( ) 1 2 1 )(1 3 1 ( ) 1

33、 2 1 ( )( 2 * 2 ssss sK ssss sK sG 具有复数极点的四阶系统具有复数极点的四阶系统 绘制根轨迹基本法则54 具有复数极点的四阶系具有复数极点的四阶系 统的根轨迹如图统的根轨迹如图 绘制根轨迹基本法则55 课程回顾（1） 根轨迹：根轨迹： 系统某一参数由系统某一参数由 0 0 变化时，系统闭环极变化时，系统闭环极 点在点在s s 平面相应变化所描绘出来的轨迹平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点闭环极点 与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K K* * 均有关均有关 相角条件：相角条件： 模值条件：模值条件： 根轨迹方程根轨迹方程 根轨迹增益根轨迹增益

34、闭环零点闭环零点 = = 前向通道零点前向通道零点 + + 反馈通道极点反馈通道极点 绘制根轨迹基本法则56 课程回顾（2） 法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数 少于开环极点个数，则有少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。 法则法则2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数，对称性和连续性： 根轨迹的分支数根轨迹的分支数 = = 开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。 法则法则

35、3 3 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。 定理定理: : 若系统有若系统有2 2个开环极点，个开环极点，1 1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。 绘制根轨迹基本法则57 4.2 绘制根轨迹的基本法则（6） 法则法则4 4 根之和：根之和： 证明：证明： n i i C 1 n-m 2时，闭环

36、根之和保持一个常值。时，闭环根之和保持一个常值。 )2( mn 0 1 1 0 1 1 * 1 1 * )( )()( )()( )( asas bsbsK psps zszsK sGH n n n m m m n m 由代数定理：由代数定理： n i in pa 1 1 0 3 3 2 2 1 1 )(asasasassD n n n n n n n Can n i i 1 1 0 *3 3 *2* bKsbKsK n n n )()()( 0 * 0 3 3 * 3 2* 2 1 1 bKasbKasKasas n nn n n n n n 0)()()( 21 n ssssD n-m 2

37、时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。 绘制根轨迹基本法则58 4.2 绘制根轨迹的基本法则（7） 法则法则5 5 渐近线：渐近线： mn zp n i m j ii a 11 n m时，时，n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。 mn k a )12( 例例1 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 )2( )( * ss K sG ，试绘制根轨迹，试绘制根轨迹 。 解解. 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2-2，00 渐近线：渐近线： 1 02 02 11 mn zp n i m j ii a

38、 90 )12( mn k a 绘制根轨迹基本法则59 4.2 绘制根轨迹的基本法则（8） 例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。 )4)(1( )2( )( * sss sK sG解解. (1) 渐近线：渐近线： 2 3 13 2410 a 90 13 )12( k a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2, -1,0-4,-2, -1,0 1 2 * v KK （1）绘制当）绘制当K*= 0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹； （2）当）当Re 1 1 = -1 时，时， 3 3? 用根之和法则分析绘制根轨迹：用根之和法则分析绘制根轨迹： 33211 )1(25410 n a

39、325 3 (2) 绘制根轨迹基本法则60 4.2 绘制根轨迹的基本法则（9） 法则法则6 6 分离点分离点 d d： m j j n i i zdpd 11 11 说明：说明： （无零点时右端为（无零点时右端为0） （对应重根）（对应重根） )2()4)(1()( * sKssssD0)( 2 3 dss 0)(2)()2()4)(1( )( 3 2* ds sdsdss ds d Ksss ds d ds sdD 2 )2( )2( )2( )4)(1( )4)(1( * * s s ds d sK s ds d K sss sss ds d )2ln()4)(1(ln s ds d ss

40、s ds d )2ln()4ln()1ln(ln s ds d sss ds d ds 2 1 4 1 1 11 dddd 试根试根: 5 . 0, 1 d 5 . 0 1 d 6 . 0 2 d 55. 0 3 d 589. 0 2 41 55. 0 * d d d ddd K 绘制根轨迹基本法则61 4.2 绘制根轨迹的基本法则（10） 例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 )2)(1( )( * sss K sG解解. 渐近线：渐近线： 1 3 210 a 180,60 3 )12( k a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-2, -1,0-,-2, -1

41、,0 1 2 * v KK )2)(1( )( * sss K sG，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。 分离点：分离点：0 2 1 1 11 ddd 整理得：整理得： 0263 2 dd解根：解根： 577. 1 423. 0 2 1 d d 与虚轴交点：与虚轴交点：? ? 385. 021 423. 0 * d d dddK 绘制根轨迹基本法则62 4.2 绘制根轨迹的基本法则（11） 法则法则7 7 与虚轴交点：与虚轴交点： 解法解法I ： 1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点 2 2）s = j 是根的点是根的点 023)2)(1()( *23* KsssKssssD )2)(1( )( *

42、 sss K sG接例接例3 Routh ： 解法解法II ：023)( *23 KjjjD 03)(Re *2 KjD 02)(Im 3 jD 2 6 * K 2 2 稳定范围稳定范围 ：0K3 绘制根轨迹基本法则63 4.2 绘制根轨迹的基本法则（12） 法则法则8 8 出射角出射角/ /入射角入射角 （起始角（起始角/ /终止角）终止角） 1)(2k m 1j ) j z(s) n 1i i p(s 180375 .1089059195 .56 1 例例4 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 )5 . 15 . 0)(5 . 2( )2)(5 . 1( )( * s

43、ss jssK sG ，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。 1805 .6315312119990117 2 79 1 5 .149 2 绘制根轨迹基本法则64 4.2 绘制根轨迹的基本法则（13） 例例5 已知系统结构图，绘制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。 22 )2( 2 1 )2( 1 )( 2 sss K ss ss s K sG解解. 渐近线：渐近线： 3 2 3 110 a 180,60 3 )12( k a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-,0 1 2 v KKk 与虚轴交点：与虚轴交点： 出射角：出射角： 180135900 1 45 1 022)( 23 KssssD

44、02)(Re 2 KjD 02)(Im 3 jD 2 4 K 绘制根轨迹基本法则65 4.2 绘制根轨迹的基本法则（14） 例例6 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 )42)(20( )( * jsss K sG 解解. 渐近线：渐近线：6 4 22200 a 135,45 4 )12( k a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20, 0 1 400 * v KK )204)(20( )( 2 * ssss K sG，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。 分离点：分离点： 0 42 1 42 1 20 11 jdjddd 试根得试根得：1 .15 d 虚轴交点：虚轴交点： 0

45、4)2( )2(2 20 11 22 d d dd 040010024)( *234 KsssssD 0100)(Re *24 KjD 040024)(Im 3 jD 1 . 424400 1389 * K 出射角：出射角： 1805 .125 .11690 1 39 1 138814)2(20 1 .15 22* d d dddK 绘制根轨迹基本法则66 4.2 绘制根轨迹的基本法则（15） 例例6 )42)(20( )( * jsss K sG 渐近线渐近线： 6 a 135,45 a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20, 0 分离点分离点： 1 .15 d 虚轴交点虚轴交点： 1 .

46、 4 1389 * K 出射角出射角： 39 13881 * d K 1 400 * v KK 稳定的开环增益范围稳定的开环增益范围：基于根轨迹的系统设计工具基于根轨迹的系统设计工具RLTool 绘制根轨迹基本法则67 4.2 绘制根轨迹的基本法则（16） )322)(1( )1( )( * jsss sK sG 解解. 渐近线渐近线： 323)141( a 180,603)12( k a 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：(-,-1, 0, 1 1 16 * v KK 例例6 已知已知 )164)(1( )1( )( 2 * ssss sK sG，绘根轨迹，绘根轨迹; 求稳定的求稳定的K范围。范

47、围。 分离点分离点： 26. 2 49. 0 2 1 d d 1 1 164 )2(2 1 11 2 ddd d dd 出射角出射角： 1809 .130120901 .106 1 9 .54 1 6 .70 05. 3 1 1641 49. 0 26. 2 2 * 2,1 d d d d dddd K 绘制根轨迹基本法则68 4.2 绘制根轨迹的基本法则（17） 例例6 )164)(1( )1( )( 2 * ssss sK sG 1 16 * v KK 零点靠近极点时的情况零点靠近极点时的情况( (例例3)3) 虚轴交点虚轴交点： 0)16(123)( *234 KsKssssD 012)

48、(Re *24 KjD 0)16(3)(Im *3 KjD 56. 2 56. 1 2 1 163 2* K 0169 24 7 .35 7 .19 * 2 * 1 K K 7 .357 .19 * K 23. 2 16 234. 1 * K K稳定的稳定的 范围范围：K * K 稳定的稳定的 范围范围： 绘制根轨迹基本法则69 绘制根轨迹法则小结 法则法则 5 5 渐近线渐近线 mn zp n i m j ii a 11 mn k a )12( 法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则 3

49、 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 法则法则 4 4 根之和根之和 n i i C 1 )2( mn 法则法则 6 6 分离点分离点 m j j n i i zdpd 11 11 法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 8 出射角出射角/ /入射角入射角 1)(2k m 1j ) j z(s) n 1i i p(s 0)(Im)(Re jDjD 绘制根轨迹基本法则70 4.2 绘制根轨迹的基本法则（18） 例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示 ) 4 7 ()1( )21(5 . 3 )1 7 4 ()1( )12( )( 22 ss sK ss sK sG解解. (1)

50、 渐近线：渐近线： 8 1 13 21472 a 90 13 )12( k a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-0.5, 1.75 0 5 . 3 * v KK （1）绘制当）绘制当K*= 0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹； （2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。 出射角：出射角： 1801802180 90 与虚轴交点：与虚轴交点：0)1(7)1014(4)(7 23 KsKsssD 0)1(7)(Re 2 KjD 0)1014(4)(Im 3 jD 0 1 K 2 79 K 绘制根轨迹基本法则71 4.2 绘制根轨迹的基本法则（19） 例例1 系统结构图如

51、图所示系统结构图如图所示 解解. (2) 分析：分析： （1）绘制当）绘制当K*= 0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹； （2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。 开环稳定开环稳定 闭环稳定闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能负反馈未必一定能改善系统性能 绘制根轨迹基本法则72 4.4 绘制根轨迹的基本法则（20） 例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 )2)(1( )( * sss K sG解解. 渐近线：渐近线： 1 a 180,60 a 实轴上：实轴上：-, -2, -1, 0 1 2 * v KK )2)(1( )1( )( *

52、sss TsK sG ，选定，选定K*值，绘制值，绘制 分离点：分离点：0 2 1 1 11 ddd 解根：解根：423. 0 1 d 虚轴交点：虚轴交点： 385. 021 * dddKd 当当T变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。 0)1()2)(1()( * TsKssssD *23 * * 23 )( Ksss TsK sG 023)( *23 KssssD 02)(Im 03)(Re 3 *2 jD KjD 6 2 * K 绘制根轨迹基本法则73 4.4 绘制根轨迹的基本法则（21） )2)(1( )1( )( * sss TsK sG 虚轴交点：虚轴交点： 0)1()2)(1()( *

53、 TsKssssD *23 * * 23 )( Ksss TsK sG 0)202(3)( *23 KsTsssD 20 * K 6 * K 3 * K 20 * K 2023 20 )( 23 * sss Ts sG 235. 2425. 0)85. 3( 20 )( * jss Ts sG 0)202()(Im 0203)(Re 3 2 TjD jD 233. 0 582. 2 T 绘制根轨迹基本法则74 自动控制原理自动控制原理 （第 16 讲） 4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 4.3 4.3 广义根轨迹广义

54、根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法 绘制根轨迹基本法则75 自动控制原理自动控制原理 （第（第 16 讲）讲） 4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 绘制根轨迹基本法则76 4.3 广义根轨迹 例例2 系统开环传递函数系统开环传递函数 0 4 1 4 1 )( 23 assssD解解. (1) 渐近线：渐近线：31 a 180,60 a 实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,0-,0 )1( 4)( )( 2 ss as sG，a=0 变化，绘制根轨迹；变化，绘制根轨迹；x1x1时，时， FFs? 分离点：分离点：0 5 . 0 21 dd 整

55、理得：整理得： 05 . 03 d 61 d 与虚轴交点：与虚轴交点： 参数根轨迹参数根轨迹 除除 K* 之外之外其他参数变化时系统的根轨迹其他参数变化时系统的根轨迹 223 * )5 . 0( 4 4 4 )( ss a sss a sG 构造构造 “ 等效开环传递函数等效开环传递函数 ” 2725 . 04 2 ddad 04)(Re 2 ajD 04)(Im 3 jD 21 1 a 044)( 23 assssD 绘制根轨迹基本法则77 4.3.1 参数根轨迹（1） 解解. (2) x1 x1 时，对应于分离点时，对应于分离点 d ，ad=2/27 )1( ) 27 2 ( 4 1 )1

56、( )( 4 1 )( 2 272 2 ss s ss as sG a ) 3 2 () 6 1 ( ) 27 2 ( 4 1 ) 27 2 ( 4 1 )1( ) 27 2 ( 4 1 )( 22 F F ss s sss s s 2 * )5 . 0( 4 )( ss a sG 绘制根轨迹基本法则78 4.3.1 参数根轨迹（2） 例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 015990615)( 23 ssTssD解解 I . 出射角：出射角： )12(302 k 180,60 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：, , -27.7,0 )1( )26(615 )( 2

57、 Tss s sG , T=0, 绘制根轨迹。绘制根轨迹。 分离点：分离点： 7 .587 1 7 .27 13 ddd 整理得：整理得： 0479701231 2 dd 解根：解根： 1190, 5 .40 21 dd 00055. 0 7 .5877 .27 3 d dd Td 33 2 * )7 .587)(7 .27( 1 )15990615( 1 )( s Ss T s ss T sG 虚轴交点：虚轴交点： 015990)(Re 2 jD 0615)(Im 3 TjD 45.12615990 0385. 015990615 T 绘制根轨迹基本法则79 4.3.1 参数根轨迹（3） 例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 015990615)( 23 ssTssD解解II . 入射角：入射角： 180,60 实轴根轨迹：实轴根轨迹：, , -27.7,0 )1( )26(6