平稳时间序列模型

1、平稳时间序列模型1 第第1212章章 平稳时间序列模型平稳时间序列模型 平稳时间序列模型2 前言前言 在前面的章节中，模型的被解释变量都假定 只受各个解释变量当期值的影响。 但我们知道，在现实中很多被解释变量除了 受解释变量当期值的影响外，还不可避免地 受到解释变量滞后值的影响，这就是所谓分 布滞后模型，或者前若干期的值决定了当期 值，即自回归模型。这一类模型要求数据具 有平稳性，本章将讨论平稳时间序列模型。 平稳时间序列模型3 12.1 分布滞后模型分布滞后模型 一、分布滞后模型的含义 以消费函数为例，假定某人的年薪增加了10000人民币，而 且这一年薪的增加将一直保持下去。那么，这种收入的

2、增加 将会对个人的年消费支出产生什么影响呢？ 在得到收入的“永久性”增加后，人们通常不会急于把全部 增加的收入一次性全部花完。比方说，收入增加者可能在收 入增加后的第1年增加消费3000元，第2年增加2000元，第3 年增加1000元，把所余的部分用于储蓄。到第3年末，此人 的年消费支出将增加6000元。因而我们可以把此人的消费函 数写成(12.1.1)式： 12 0.30.20.1 ttttt yxxxu (12.1.1) 平稳时间序列模型4 像(12.1.1)式这样的模型，如果时间序列模型 中不仅包含解释变量的当期值，而且包括解 释变量的滞后值，就把这种模型称之为分布 滞后模型(Distr

3、ibuted-lag Model)，也称之为 滞后变量模型。更一般地，我们把分布滞后 模型写成(12.1.2)式： 01122ttttk t kt yxxxxu (12.1.2) 如果k是有限的，称模型(12.1.2)为有限分布 滞后模型；如果k是无限的，称模型(12.1.2) 为无限分布滞后模型。 平稳时间序列模型5 分布滞后模型的几个基本概念分布滞后模型的几个基本概念 1.短期乘数(Impact multiplier) 系数 表示x在当期一个单位的变化，导致y的同期变化值，因 此称为短期或即期乘数。 0 2.中期乘数(Intermediate multiplier) 如果此后x的变化都保持

4、在同一水平上，则 给出下期y的 变化， 给出再下期y的变化，以此类推，这部分系 数的和称为中期乘数。 )( 10 )( 210 3.长期乘数(Long-run multiplier) ki k i . 10 0 (12.1.3) 称之为长期乘数或总分布滞后乘数（Total distributed- lag multiplier）。 平稳时间序列模型6 对分布滞后模型系数的假定对分布滞后模型系数的假定 通常在讨论分布滞后模型时，总是假定： 0lim 0 i i i k i (12.1.4) 这一假定的经济学含义是： 其一，解释变量x对被解释变量y的长期影响是有限的； 其二，x的滞后时间越长，对y

5、的当期影响逐渐衰减。 平稳时间序列模型7 进一步，我们定义： i i k i i i 0 * (12.1.5) i*是i对的标准化，给出某一时期的冲击效应占长 期冲击或总冲击（即总滞后乘数）的比例。 平稳时间序列模型8 以以(12.1.1)式为例式为例 短期乘数为，表示短期消费倾向(MPC)，而长期乘 数为0.6（0.6=0.3+0.2+0.1）表示长期消费倾向。 也就是说，随着收入增加1元，该消费者将在收入 增加的当年提高他的消费水平约元，第二年再提高 元，第三年再提高元，即1元收入的增加对消费的 长期效应就是元。 如果我们将(12.1.1)的每一个i除以0.6，就分别得到， 和，这表明x的

6、一个单位变化的总效应有50%在当期 反映，第二期为33%，第三期为17%。 12 0.30.20.1 ttttt yxxxu (12.1.1) 平稳时间序列模型9 二、滞后效应产生的原因二、滞后效应产生的原因 由于受到心理预期的影响，经济主体的大多数决策行为都会 表现出滞后性。主要原因是人们受自身习惯的影响，往往不 能快速调整自己的行为来适应新的环境。 例如，由于“蛛网效应”的存在，农产品供给量对价格的波 动表现出时滞；从研究与开发(R mk (12.1.6) 将(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各项，模型变为以下形式： tmtmtttt uZZZZy 221100 (12.1.7)

7、 其中， kt m t m t m tmt kttttt kttttt kttttt xkxxxZ xkxxxZ kxxxxZ xxxxZ 321 2 3 2 2 2 12 3211 210 32 32 32 (12.1.8) 平稳时间序列模型15 对于(12.1.7)式， 满足经典假定的条件，故使用OLS进行估 计。将估计的参数 代入(12.1.6)式，就可求 出原分布滞后模型参数 的估计值。 t u m , , , 210 i 在实际应用中，阿尔蒙多项式的次数m应视函数形式而定，但 通常取得较低，一般取2或3，很少超过4，因为如果m的值取的 过大，则达不到通过阿尔蒙多项式变换减少解释变量个

8、数从而 提高自由度的目的。 阿尔蒙估计法的最大优点就是解决了自由度不足的问题，由于 模型中解释变量和待估参数都减少了，因此，一般不会有自由 度不足的问题。此外，阿尔蒙估计法具有较大的灵活性。为了 使参数结构假定更好地符合的实际变化形式，可以通过改变多 项式(12.1.6)的阶数m，从而提高逼近的精度。 阿尔蒙估计法也存在着一些缺陷。其一，滞后期数k数如何确 定，阿尔蒙估计法本身并没有解答；其二，多项式(12.1.6)阶数 m的确定往往具有主观性。 平稳时间序列模型16 12.2 自回归分布滞后模型自回归分布滞后模型 所谓自回归分布滞后模型，就是模型中的解 释变量包含被解释变量的滞后项，如 tt

9、tt uyxy 110 (12.2.1) 由于自回归分布滞后模型描述了被解释变量相 对于它的过去值的时间路径，故又称之为动态 模型(Dynamic model)，下面介绍几种常见的自 回归模型。 平稳时间序列模型17 一、适应性预期模型一、适应性预期模型 适应性预期模型基于经济理论基础，认为经 济活动主体是根据他们对某些经济变量的 “预期”做出决策的。其核心思想是：影响 yt的因素不是xt ，而是对xt 的预期 ，即： * t x ttt uxy * 10 (12.2.2) 其中， yt为被解释变量， 为解释变量预期值， ut为随机扰动项。 * t x 平稳时间序列模型18 由于预期变量 不可

10、直接观测，如何获取解释变量的预期值， 是适应性预期模型的难点。因此，实际应用中需要对预期的 形成机理做出某种假定，从而将不可直接观测的预期变量 用可观测的变量xt表述出来。适应性预期模型假定： t x t x ) 10()( * 1 * 1 * tttt xxxx (12.2.3) 其中，参数 称之为预期系数或调整系数。(12.2.3)式的含义是： 如果 ，表明经济活动主体对解释变量xt的当期预期值 等于前一期预期值 加上一个修正量，该修正量 是前一 期预期误差 的一部分。显然， 的值越接近1，调整幅 度也越大，这一调整过程也叫做自适应调整过程；如果 ， 则 ，表明经济活动主体对xt的当期预期

11、值和实际值完全 相同，即预期是立即全部实现的；如果 ，则 ， 表明经济活动主体将前期的预期值作为当期预期值。 10 t x 1t x)( 1 tt xx )( 1 tt xx 1 tt xx 0 * 1 * tt xx 平稳时间序列模型19 将(12.2.3)式改写为： * 1 * )1 ( ttt xxx (12.2.4) (12.2.4)式表明当期预期值 是前一期预 期值 和本期实际值xt的加权平均，权 数分别为 和 。如果 等于0，说明 本期实际值被忽略，预期没有进行修正。 如果 等于1，则以本期实际值作为预期 值，本期预期与前一期预期无关。在一 般情况下，0 1。 t x 1t x 1

12、 平稳时间序列模型20 将(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到： t t tt uxxy)1 (1 * 10 t t t uxx1 * 110 )1 ( (12.2.5) 将(12.2.2)式滞后一期，并乘以 得到：1 1 1 * 101 )1 ()1 ()1 ()1 ( t t t uxy (12.2.6) 用(12.2.5)式减去(12.2.6)式，得到： 1110 )1 ()1 ( ttttt uuyxy (12.2.7) * 0 * 1 * 2 t tttt yxy 1 * 210 (12.2.8) (12.2.8)式显然是一个一阶自回归分布滞后模型。 平稳时间序列模型2

13、1 二、部分调整模型二、部分调整模型 部分调整模型(Partial adjustment model)首先是由尼洛夫 (Nerlove)基于这样的事实提出的：为了适应解释变量的变化， 被解释变量有一个预期的最佳值与之对应。 例如，一个企业本期商品库存量的最佳库存值取决于当期实 际销售量；为了保持一定的经济增长水平，央行应该有一个 预期的最佳货币供应量。 因此，部分调整模型核心思想是考察自变量观测值与同期因 变量希望达到的最佳值之间的关系，用模型表述就是： ttt uxy 10 * (12.2.9) 其中， 为被解释变量的预期最佳值，xt为解释变量的现值。 t y 平稳时间序列模型22 由于被解

14、释变量的预期最佳值是不可直接观测的，尼洛夫提 出被解释变量的实际变化仅仅是预期变化的一部分，即所谓 部分调整假设： ) 10 ()( 1 * 1 tttt yyyy (12.2.10) 其中，为调整系数，它代表调整速度。 yt-yt-1表示实际变化， y*t-yt-1 表示预期的理想变化。越接近1，表明调整到预期最佳 水平的速度越快。若=1 ，则yt=y*t，表明实际变动等于预期变 动，调整在当期完全实现。若=0 ，则 yt=yt-1 ，表明本期值与 上期值一样，完全没有调整。通常情况下，0 1。部分调整 假设(12.2.10)式可以改写成： 1 * )1 ( ttt yyy (12.2.11

15、) 即被解释变量yt的实际值是本期预期最佳值y*t与前一期实际值 的yt-1加权，权重分别为和 1- 。 平稳时间序列模型23 将(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分调整模型的 转化形式： 110 )1 ()( tttt yxy ttt uyx 110 )1 ( (12.2.12) (12.2.12)式称为部分调整模型，令 ， ， ， ，(12.2.12)式可以改写成： 0 * 0 1 * 1 )1 ( * 2 tt uu * * 1 * 1 * 1 * 0tttt uyxy (12.2.13) (12.2.13)式表明部分调整模型本质上也是一个自回归分 布滞后模型。 平稳时间

16、序列模型24 三、自回归分布滞后模型的估计三、自回归分布滞后模型的估计 我们已经讨论了两种自回归分布滞后模型：适应性 预期模型和部分调整模型，这些模型都有如下的共 同形式： tttt yxy 110 (12.2.14) 如前述，以上两种自回归模型由于包含了被解释变量 滞后项yt-1作为解释变量，以及随机扰动项的形式发生 了变化，导致yt-1与 vt的相关， vt 也可能存在自相关， 因此，OLS估计量是有偏的。显然，最重要的问题是 yt-1 与 vt 的相关。 平稳时间序列模型25 2.自回归分布滞后模型的自相关检验自回归分布滞后模型的自相关检验 为了解决自回归分布滞后模型的自相关检验问题，D

17、urbin在 1970年提出了一个新的检验方法，即h检验法，也称之为德 宾h检验，其h统计量为： ) (1 1 nVar n h (12.2.15) 其中，n为样本容量， 为(12.2.14)式中系数 的估计值的 方差。 为 的一阶自相关系数，通常取 ，d为通常意 义下的DW统计量。这样h统计量可以写成： ) ( 1 Var 1 t d 2 1 1 ) 1 , 0( ) (1 ) 2 1 1 ( 1 N nVar n dh (12.2.16) 平稳时间序列模型26 运用德宾运用德宾h检验应该注意的问题检验应该注意的问题 （2）如果自回归分布滞后模型中包含多个解释变量和 多个滞后被解释变量，德宾

18、h检验仍然适用。 （1）如果 ，h统计量无意义，德宾h检验 的检验结果无效。 1) ( 1 nVar 平稳时间序列模型27 估计自回归分布滞后模型必须处理的问题是 yt-1与 vt 的 相关，常用的估计方法是工具变量(Instrument Variable) 估计。 工具变量估计的核心思想是：既然 yt-1与 vt 相关，如果 能找到这样一个代理(Proxy)变量，这个变量与yt-1高度 相关，但与 vt 不相关，用代理变量代替 ，就可以消除 yt-1与 vt 相关的问题。 平稳时间序列模型28 在实际应用中，工具变量有多种选择方式。常见的方式是选用 yt-1的估计值 作工具变量，代替 yt-

19、1后进行估计，其步骤是： 1 ty 第一步，先对模型(12.2.17)进行OLS回归： 0121tttt yxxu (12.2.17) 实际应用时xt的滞后期k最多取3，假设估计结果为： 1210 ttt xxy (12.2.18) 滞后一期得到： 221101 ttt xxy (12.2.19) 第二步，以 作为工具变量代替(12.2.14)式中的随机解释变 量yt-1，可以得到： 1 ty 011 tttt yxyu (12.2.20) 第三步，对(12.2.20)式进行最小二乘回归，得到参数的估计值。 平稳时间序列模型29 12.3 ARMA模型模型 时间序列ARMA 模型由Box-Je

20、nkins (1976) 年 提出，在介绍ARIMA 模型之前，为了分析 的方便，我们先介绍时间序列分析的几个基 本概念。 平稳时间序列模型30 一、时间序列分析的几个基本概念一、时间序列分析的几个基本概念 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为 ， 简记为xt。随机过程也可以简称为过程，其中每一个元素xt都 是随机变量。将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程 的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。 Ttxt, 对于一个随机过程，如果均值E(xt)=0， ；方差 ， ；协方差 ( )，那 么这一随机过程称为白噪声过程。 Tt 2 )( t xVarTt0),( ktt xxCov0

21、k 平稳时间序列模型31 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且 在任何两期之间的协方差只和两期间隔的时间长度相关，而和 计算该协方差的实际时间不相关，则称该随机过程为平稳随机 过程，也称之为协方差平稳过程或者弱平稳过程。 用公式表述就是，对于一个随机过程xt ，如果其均值 ， 方差 ，协方差 的大小只与k的 取值相关，而与t不相关，则称xt为平稳随机过程。白噪声过程显 然是一个平稳过程。 )( t xE 2 )( t xVar 2 ),( kktt xxCov 平稳时间序列模型32 数据的平稳性对时间序列分析非常重要，经典的时间序列回归 分析，都是假定数据是平稳的。直观的看，

22、平稳的数据可以看 作是一条围绕其均值上下波动的曲线。 下面，我们用由Eviews软件模拟一个均值为5、标准差为0.2、 样本量为500的平稳数据。 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 50100150200250300350400450500 X 图图12.1 平稳数据示例平稳数据示例 平稳时间序列模型33 对于平稳的随机过程，其期望和方差均为常数，而滞后k期的自 协方差就是相隔k期的两个随机变量xt与xt+k的协方差，定义为： )(),( kttkttk xxExxCov 自协方差 随着k的依次取值构成了序列 ，称为 随机过程 xt 的自协方差函数。当k=0时，自

23、协方差退化为方差， 即 k ), 1 , 0(Kk k 2 0 )()(),( ttttt xVarxxExxCov xt与xt+k 之间的自相关系数定义如下： )()( )( )()( ),( 22 ktt ktt ktt ktt k xExE xxE xVarxVar xxCov (12.3.1) 平稳时间序列模型34 因为，对一个平稳随机过程有： 0 2 )()( ktt xVarxVar 所以(12.3.1)式可以改写为： 0 k k 对应的样本自相关系数为： n t t kt kn t t k xx xxxx 1 2 1 )( )( )( (12.3.2) 由(12.3.2)定义的

24、构成的序列 ( k=,-2,-1,0,1,2)，称为自相 关函数，用于考察随机变量的样本与其滞后期的相关强度。 k k 平稳时间序列模型35 回顾第四章中介绍的多元回归模型的偏回归系数，所反映的是 在其他解释变量保持不变的情况下，某个解释变量对被解释变 量条件期望值的边际影响，即偏效应。偏自相关函数的含义和 偏回归系数类似。 用 表示k阶自回归模型中第j个回归系数，则k阶自回归模型为: kj 1122tktktkkt kt xxxxu (12.3.3) 其中 是最后一个回归系数。若把 看作是滞后期k的函数， 则称 kj kj ( )(1,2,) kk kk (12.3.4) 为偏自相关函数。可

25、以看出，上式中每一个回归系数 恰好表 示xt与xt-k在排除了其中间变量 影响之后的相关 系数，所以偏自相关函数由此得名。 kj ) 1(21 , kttt xxx 平稳时间序列模型36 二、二、ARMA模型概述模型概述 时间序列ARIMA模型一般可分为四种类型， 即自回归模型(AR)、移动平均模型(MA)、自 回归移动平均模型(ARMA)和积分自回归移 动平均模型(ARIMA)。 平稳时间序列模型37 （1）自回归模型的定义 如果一个随机模型中的元素仅仅受其滞后项和服从白噪声过 程的随机扰动项的影响，则称这种模型为自回归模型(Auto Regression，AR)。 如一阶自回归模型，记作A

26、R(1)，可用下式表示： 11ttt xxu (12.3.5) 其中 为自回归参数，随机项ut为服从0均值，方差为 的正态 分布，且相互独立的白噪声序列。 1 2 u 1122tttptpt xxxxu (12.3.6) 更一般地，p阶自回归模型，记作AR(p)，可用下式表示： 平稳时间序列模型38 （2）自回归模型的平稳条件 只有产生时间序列的随机过程是平稳的，运用自回归模型才 有意义。因此，我们首先探讨自回归模型的平稳条件。 直观的看，自回归模型AR(1)的平稳性条件是 。Why?1| 1 一阶自回归模型(12.3.5)可写为： 11ttt xxu 1121 () ttt uxu 2 11

27、1132 () tttt uuxu 23 111213tttt uuuu 01 i it i u (12.3.7) 可以看出，一阶自回归模型(12.3.5)实际上是白噪声序列的线性组 合。若保证AR(1)模型具有平稳性， 必须收敛，即 必须 满足 。 01 i i 1 1| 1 平稳时间序列模型39 2.移动平均模型移动平均模型(MA)概述概述 （1）移动平均模型的定义 若时间序列xt为它的当期和滞后若干期随机扰动项的线性组 合，即： 1122ttttqt q xuuuu (12.3.8) 其中， 是参数，ut是均值为0，方差为 的白噪声 过程，称(12.3.8)式为q阶移动平均(Moving

28、 Average，MA)模型， 记为MA(q)。之所以称为“移动平均”，是因为xt是由ut的加权 和构造而成，类似于一个平均。 q , 21 2 u 由定义可知，任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声过 程的加权和组成，由于白噪声过程是平稳的，所以任何一个移 动平均模型都是平稳的。 平稳时间序列模型40 （2）移动平均模型的可逆性 对于MA(1)模型： 11ttt xuu (12.3.9) 给定条件 ，如果MA(1)模型可以表述为1| 1 23 111213ttttt xxxxu (12.3.10) 即MA(1)模型可以转化为一个无限阶的自回归模型，我们称 MA(1)模型具有可逆性。 1

29、 由AR(p)模型平稳性可知，MA(1)模型具有可逆性的条件是 1。更一般地，任何一个可逆的MA(q)模型可转换成一个 无限阶的自回归模型。 平稳时间序列模型41 （3）自回归模型与移动平均模型的关系 以上的分析说明，一个平稳的AR(p)模型可以转换为一个无限 阶的移动平均模型；一个可逆的MA(q)模型可转换成一个无限 阶的自回归模型。 AR(p)模型，只需考虑平稳性问题，不必考虑可逆性问题。 MA(q)模型，只需考虑可逆性问题，不必考虑平稳性问题。 平稳时间序列模型42 3.自回归移动平均模型自回归移动平均模型(ARMA)概述概述 （1）自回归移动平均模型的含义 如果时间序列xt为它的当前与

30、前期的随机扰动项，以及它的 前期值的线性函数，即 11221122tttptptttqt q xxxxuuuu (12.3.11) 则称上述模型为自回归移动平均模型，记为ARMA(p, q)，其 中p和q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。 （2）自回归移动平均模型的平稳性和可逆性 ARMA(p, q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分；ARMA(p, q)过程的可逆性则只依赖于移动平均部分。 平稳时间序列模型43 三、三、ARMA模型的识别模型的识别 对于AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模 型，在进行参数估计之前，需要进行模型的 识别。 识别就是确定模型的阶，即确定AR(

31、p)模型 中的p、MA(q)模型中的q和ARMA(p,q)模型 中的p和q。 识别的主要工具是自相关函数和偏自相关函 数及其图形。 平稳时间序列模型44 1. AR(p)模型的识别模型的识别 可以证明，AR(p)模型自相关函数的递推公式为： pkpkkkk 332211 (12.3.15) 由此可见，AR(p)模型的自相关函数是非截尾序列，称为拖尾 序列，时间间隔越长，自相关的程度越弱。因此，自相关函数 拖尾，是AR(p)模型的一个明显的特征。 (12.3.15)式表明，AR(p)模型的偏自相关系数为p+1处为0。也就 是说，AR(p)模型的偏自相关系数在p+1呈现出截尾特征。因此， 可以基于

32、AR(p)模型的截尾特征确定其阶数p。 平稳时间序列模型45 AR(p)模型的自相关函数和偏自相关函数的 计算看起来较为复杂，但是计量经济学软件 都有自相关和偏相关函数的菜单，使用起来 非常方便。 以Eviews软件为例，我们来看AR(p)模型的自 相关函数和偏自相关函数。 平稳时间序列模型46 图图12.3 AR(1)模型模型xtxt-1+ut的自相关图和偏自相关图的自相关图和偏自相关图 自相关图 呈现出 拖尾特征拖尾特征 偏自相关图 在1阶以后 呈现出 截尾特征截尾特征 平稳时间序列模型47 2. MA(q)模型的识别模型的识别 可以证明：MA(q)模型只有q期记忆，自相关 函数在q处截尾

33、。也就是说，我们可以根据自 相关系数是否从某一点开始为0来判断MA(q) 模型的阶。 对于MA(q)模型的偏自相关函数，由于任何 一个可逆的MA(q)模型都可以转化为一个系 数按几何递减的AR(p)模型，所以MA(q)模型 的偏自相关函数出现缓慢衰减的特征，即拖 尾特征。 平稳时间序列模型48 图图12.4 MA(1)模型模型xt=ut+ut-1的自相关图和偏自相关图的自相关图和偏自相关图 偏自相关图 呈现出 拖尾特征拖尾特征 自相关图 在1阶以后 呈现出 截尾特征截尾特征 平稳时间序列模型49 3. ARMA(p,q)模型的识别模型的识别 ARMA(p,q)模型的自相关函数，可以看作AR(p

34、)模 型的自相关函数和MA(q)模型的自相关函数的混合 物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有 拖尾性质；当p、q均不为0时，如果当p、q均大于 或者等于2，其自相关函数的表现形式比较复杂， 有可能呈现出指数衰减、正弦衰减或者二者的混合 衰减，但通常都具有拖尾性质。 ARMA(p,q)模型的偏自相关函数，也是无限延长的， 其表现形式与MA(q)模型的偏自相关函数类似。根 据q的取值不同以及参数i的不同，ARMA(p,q)模 型的偏自相关函数呈指数衰减或正弦衰减混合形式。 平稳时间序列模型50 图图12.5 ARMA(1,1)模型模型xtxt-1+ut-ut-1的自相关图和偏自相关图

35、的自相关图和偏自相关图 从图从图12.5可以看出，可以看出，ARMA(1,1)模型的自相关图和偏自模型的自相关图和偏自 相关图均是在相关图均是在k=1达到峰值后呈现出按指数衰减的拖尾特征。达到峰值后呈现出按指数衰减的拖尾特征。 平稳时间序列模型51 图图12.6 ARMA(2,2)模型模型xtxt-1xt-2+ut-ut-1ut-2 的自相关图和偏自相关图的自相关图和偏自相关图 从图从图12.6可以看出，可以看出，ARMA(2,2)模型的自相关图和偏自相模型的自相关图和偏自相 关图在关图在k=1、2达到两个峰值后按指数或正弦衰减。达到两个峰值后按指数或正弦衰减。 平稳时间序列模型52 4. A

36、RMA模型的识别规则模型的识别规则 如果平稳时间序列xt的自相关函数和偏自相关 函数都是拖尾的，则xt是ARMA(p,q)模型。 至于模型中的p和q阶具体取什么值，则要从 低阶开始逐步试探，直到合适的模型为止。 平稳时间序列模型53 12.4 向量自回归模型（向量自回归模型（VAR） 一、VAR模型的含义及特点 1980年，Sims提出了向量自回归模型(Vector autoregressive model,VAR)。VAR模型采用多方程联 立的形式，但与联立方程模型需要区分内生变量和 外生变量不同的是，VAR模型假定在模型中的变量 全部为内生变量，内生变量对模型的全部内生变量 的滞后项进行回

37、归，从而估计全部内生变量的动态 关系。 由于VAR模型在预测方面的精度远高于联立方程模 型，加之估计方法较联立方程模型简单等优势， VAR模型自诞生以来，逐渐取代了联立方程模型， 在实际运用中占有重要地位。 平稳时间序列模型54 我们首先分析最简单的双变量VAR模型。假设国内生产总值(yt) 与货币供应量(xt)之间的关系可以用下式来表述： 11111211 22112212 tttt tttt yyxu xyxu (12.4.1) 其中， ， 。随机扰动项 在VAR术 语中也称之为新息(Innovations)。(12.4.1)式用矩阵表示为： 2 12 , iid(0,) ttu uu 1

38、2 (,)0 tt Cov uu 1111112 1222122 ttt ttt yyu xxu (12.4.2) t Y 1 1 - t Y t U ttt UYY 11 (12.4.3) 平稳时间序列模型55 (12.4.3)式称之为一阶向量自回归模型，记为VAR(1)。 所谓“自回归”，是因为模型的右端出现被解释变量的滞后项， 而“向量”是因为模型涉及到两个或两个以上的变量，不同于 前述的单个变量的AR(p)模型。 更一般地，若有n个内生变量并滞后p期，即： pnt pt pt pt nt t t t nt t t t y y y Y y y y Y y y y Y 2 1 1 12 1

39、1 1 2 1 , (12.4.4) y1t, y2t, , ynt表示n个不同的内生变量，n个变量的VAR(p) 为： tptpttt UYYYY 2211 (12.4.5) VAR(p) 平稳时间序列模型56 VAR模型的特点模型的特点 不以严格的经济理论为依据，对变量不施加任何协整限制，因而 上述的VAR模型也称之为非限制性向量自回归模型(Unrestricted VAR)。 解释变量中不包括任何当期变量。如果包含当期变量，就是所谓 结构性向量自回归模型(Structural VAR, SVAR)所分析的问题。 3. 非限制性VAR模型在预测方面具有优势，特别是样本外的近期 预测。因为在

40、VAR模型中的解释变量不含有当期变量，这种模型 用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值 做任何预测。 4. VAR模型包含较多的待估参数，比如一个包含两个变量的 VAR(2)模型，其最大滞后期k=2，则有kn2=222=8个参数需要估 计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大，加之VAR 模型不以严格的经济理论为依据，所以对于模型的参数估计值， 通常并不分析其经济意义。 5.一般而言，VAR模型是针对平稳数据的模型，在建立VAR模型 之前，可对数据进行平稳性检验，检验方法可按照AR(p)的平稳 性进行检验。 平稳时间序列模型57 二、二、VAR模型滞后期的选择模型滞后期

41、的选择 建立VAR模型一个重要的问题就是如何正确地确定 滞后期k。 一方面，如果k值过大，会导致自由度减小，直接 影响VAR模型参数估计量的有效性。 另一方面，k值太小，误差项的自相关会很严重， 并导致参数的非一致性估计，因为在VAR模型中适 当增加滞后变量的个数，可以消除误差项中存在的 自相关。 现有的确定滞后阶数的方法主要包括似然比(LR)法、 信息准则法等。 平稳时间序列模型58 2 1 2 log T t t k AICuT T (12.4.6) 其中， 表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。选 择最佳k值的原则是使AIC的值达到最小。 tu (12.4.7) 选择最佳k值的原则

42、也是使SC值达到最小。SC准则也可以称之 为贝叶斯信息准则(Bayes Information Criterion，BIC)。 2 1 log log T t t kT SCuT T 平稳时间序列模型59 三、三、VAR模型的估计模型的估计 因VAR模型的每个方程中只包含内生变量及其滞后 项，它们与扰动项是uit(i=1,2,n)渐近不相关的， 所以可以用常规的最小二乘法依次估计每一个方程， 得到参数的一致估计量。 即使扰动项有同期相关，OLS估计仍然是适用的。 而且，在VAR模型中，各变量的滞后直接出现在模 型之中，由此导致扰动项序列不相关的假设并不严 格要求。 平稳时间序列模型60 四、四

43、、VAR模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数 我们已经论述了，VAR模型不是建立在经济 理论基础之上的，是一种乏理论(Atheoretic) 的模型，无需对变量作任何先验性的约束。 因此，在分析VAR模型时，往往不分析一个 变量的变化对对另一个变量的影响，而是分 析当一个误差（脉冲）项发生变化，也就是 模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这 种分析方法称为脉冲响应函数(Impulse response function，IRF)分析法。 平稳时间序列模型61 脉冲响应函数作用的原理脉冲响应函数作用的原理 首先考虑下面的双变量VAR(1)模型 11 12 0.50.3 0.20.1 ttt ttt xxu yyu (12.4.8) 假定VAR模型(12.4.8)式从第0期开始活动，并设 x-1= y-1=0，设 于第0期给定扰动项u10=1，u20=0，并且其后均为0，即u1t= u2t=0（t=1,2,），即第0期给x以脉冲，下面我们来分析x和y 在不同时期对来自x的脉冲u10=1的响应。 平稳时间序列模型62 0 1 0 1 0 0 1 . 02 . 0 3 .