常微分方程与差分方程解法归纳

1、戲 P(x)y 0,这是可 dx分离变量的方程，两边积分即可得到CeC(x)来替换C，于是一阶线性常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分 可分离变量方程(分离变量法)如果一阶微分方程 dy f(x,y)中的二元函数 f (x, y)可表示为f (x, y) g(x)h(y) dx的形式，我们称 3 g(x)h(y)为可分离变量的方程。dx对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为型 g(x)dx的形式，再对此式两边积h(y)分得到 -dyg(x)dx C从而解出 3 g(x)h(y)的解，其中C为任意常数。h(y)dx具体例子可参考书本 P10 P11的例题。 一阶线性齐次、非齐次方程(常数变

2、易法)如果一阶微分方程史 f (x, y)中的二元函数f (x, y)可表示为 dxf(x, y) Q(x) P(x)y的形式，我们称由此形成的微分方程dy P(x)y Q(x)为一阶线dx性微分方程，特别地，当 Q(x) 0时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程P(x) dx非齐次微分方程存在着形如y C(x)eP(x)dxP(x)dx得到 C (x)eP(x)C(x)eP(x) dxC (x) Q(x)e，再对其两边积分得P(x)dx的解。将其代入dydxP(x)y Q(x)我们就可P(x)dxP(x)C(x)e

3、Q(x)这其实也就是yC(x)eP(x)dx即得一阶线性P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edx C 。P(x) dxC(x) Q(x)e dx C，于是将其回代入微分方程鱼 P(x)y Q(x)的通解 dx，其中C为任意常数。这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设具体例子可参照书本 P16 P17的例题。 一阶齐次型微分方程(变量代换)如果一阶微分方程 dy f (x, y)中的二元函数f(x,y)满足对于一切非零实数 t都有等dx式f (tx,ty) f(x, y)成立，我们称一阶微分方程为一阶齐次型微分方程。dx对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换

4、的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上，如果我们令t -于是f(x,y)xf(1,-)x(y)。于是一阶齐次型微分方程xdy f (x, y)可表示为dydxdx过程如下：令u $，xdu ,、 du u x(u)也就疋dxdx(-)然后令u 上将其化为一阶可分离变量微分方程。具体xx则y xu,dy u xdu , 代入方程鱼()可得dxdxdx x(u) u，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将 u -xx回代就可得到一阶齐次型微分方程鱼f (x, y)的通解。dx当然，有时候我们令t1于是f (x, y)ydyf (x, y)可表示为业/ x、口 dx ()也就是一d

5、xdxydyf (- ,1)x(y)。x于是阶齐次型微分 方程1此时令vxdxdv则v y -,dydy(x)yydx代入方程dy1dv1可得v y然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更()dy(v)y简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本 P20 P22的例题。 伯努利方程(变量代换)如果一阶微分方程3 f(x,y)中的二元函数f (x,y)满足等式dxf(x,y) Q(x)yn P(x)y,(n 0,1),我们就称由此形成的微分方程 3 P(x)y Q(x)yn ,(n0,1)为伯努利方程。dx对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化

6、为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程 3 P(x)y Q(x) yn, (n 0,1)两边同除以yn，可以将方程变形为 dxy ndy P(x)y1n Q(x)即丄血)P(x)y1 n Q(x)。我们令 z y1 n，于是方 dx1 n dxP(x)y Q(x)的通解 dx(1 n)P(x)z (1 n)Q(x)利用一阶线性微分方程P(x) dxP(x)dxdzy eQ(x)e dx C 可得 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x)的通解，再将dxz y1 n回代就得到了伯努利方程 3 P(x)y Q(x) yn, (n 0,1)的通解。dx具体例子可参照书本 P22 P23的例题。 变量

7、代换方法的应用-其他类型的齐次微分方程ax by的方程也是齐次方程。盼by对于这种类型的方程通过简单的代换就dyfaxbyc的齐次方程，我们令x, V，其中，为待定常数，dxa1xdyG可得dyfababea，可以选取适当的，使得b e 0dxa1b1a1b1C1a1b1C10当ab| a1b0时，, 有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程dfab求解此方程，并将x,v代回就得到齐次方程5da1thdyfaxbyc的解。当ab1 a1b 0时要分两种情况讨论。dxa1xdyG可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。我们讨论更一般的情形，对于形如情况一：若b10,则-k。原方程可以化为dxa1b1f

8、 k(aix by) c。令 a1x by c|1z a1x b1y,则 y(zb1a1x)得到变量可分离的方程虫b dxair kx cf，然后z G按照相应的解法即可求解。情况二：若bi 0，则3!与 b中至少有一个为0.当b 0时，原方程为dyax c3|XC是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。当b 0时，可以令z ax by,a，原方程就变为了adx b dxb dx这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。具体例子可参看书本 P24 P25的例题。3|XC2.可降阶的高阶微分方程部分(主要讨论二阶微分方程) 形如y(n) f(x)的微分方程(n)对于形如y(n) f (x

9、)的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n次便可以求得其含CiXn1有n个任意常数的通解为 y ? f (x)dx (n 1)!n个积分符号C2Xn 2.n。(n 2)!具体例子可参看书本 P28例题。形如y f (x, y )的微分方程因变量y不显含时形成了如般二阶 微分方程可以表示为y g(x, y, y )，当y f (x, y )的不显含因变量 y的二阶微分方程。我们可以通过变量代换来进行降阶。我们令p y , y dP，于是方程可化为 dP f (x, p)，这是一个以p为未知函数，以x为dxdx自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为p (x,G)，则 史 (x,G)。d

10、x两边积分就得到原方程的通解为y(x,CJdx C2。其中C1,C2为任意常数。具体可参看书本 P28 P30例题(注意例4! !)形如y f (y, y )的微分方程与不显含因变量 y的二阶微分方程的定义类似，我们把形如y f(y,y )的微分方程称为不含自变量 x的二阶微分方程。我们仍然通过变量代换来求解此类方程。我们令p y,yf (y, p)，这是一个关于p, y坐虫？3 p虫，于是方程可化为p空dx dy dx dydy的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为p(y,Ci)，则由 p y-dy 可得dxdy_(y,G)dx，两边积分就得到原方程的通解为dy(y,Ci)x C2。其

11、中Ci,C2为任意常数。具体例子可参看书本 P32 P34例题。注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如p时我们一定要注意是否会丢失p 0的解。3.线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。我们直接介绍n阶线性微分方程y(n) ai(x)y(n1) . an,x)yan(x)yf(x)的解的结构与性质。对于区间a,b上的n个函数yx)、y2(x)、y3(x)、yn(x)，若存在n个不全为0n的常数ki、k?、k3、.、kn使得在a,b上有 Ky。) 0 ,我们就称这n个函数在区间i 1a,b上是线性相关的，否则就是线性无关的。此外对于n阶线性微

12、分方程 y(n)a1(x)y(n 1 . an 1(x)yan(x)yf (x)的系数a“(x)、a2(x)、.an 1(x)、an(x)都为常数是我们称该方程为n阶线性常系数方程，否则为n阶线性变系数方程。进一步细分，对于自由项f(x)，若f (x) 0就称原方程为n阶线性齐次方程，否则为 n阶线性非齐次方程。若函数yi(x)、y2(x)、y3(x)、yn(x)是n阶线性齐次方程的 n个线性无关的特解，则y Ciyi(x) C2y2(x) . Cn yn(x)为n阶线性齐次方程的通解。若函数yi(x)、y2(x)、y3(x)、yn(x)是n阶线性非齐次方程的n个线性无关的特解，此外函数yp

13、(x)是n阶线性非齐次方程的1个线性无关的特解，则 y yp(x) Ciyi(x) C2y2(x) . Cnyn(x)为n阶线性齐次方程的通解。二阶常系数齐次线性微分方程我们把形如y py qy 0的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数我们知道如果 yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y Ciyi C2y2就是它的通解现在先尝试能否适当选取r使y满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y erx代入方程y py qy 0得(r 2 pr q)erx 0由此可见 只要r满 足代数方程r2 pr q 0函数y erx就是微分方程的解接下来介绍一般的解法，我们

14、把方程r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方、p p2 4q 、程 特征方程的两个根 ri、r2可用公式 r, 2求出2特征方程的根与通解的关系(i)特征方程有两个不相等的实根ri、r2 时函数 yi erix、y2 er2x是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数yi erix、y2 er2x是方程的解又必y2erixer2xe(ri r2)x不是常数因此方程的通解为 y CieriX Cze护(2) 特征方程有两个相等的实根ri r2时 函数yi erix、y xerix是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 yi erix是方程的解 又 (xeriX)

15、p(xerix) q(xerix) (2口 xri2)erix p(i xri)erix qxerixerix(2ri p) xerix(ri2 pri q) 0yxei x所以 y xerix也是方程的解 且22 竽厂x不是常数 因此方程的通解为yierixhxmxhxy CieC2xe(Ci C2X)e(3) 特征方程有一对共轭复根ri,2i时函数y e( i )x y e( i )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数y e xcos x、y e xsin x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数yi e( i )x和y2 e( i )x都是方程的解而由欧拉公式得yie(i )

16、xex(cosxis inx)y2e(i )xex(cosxis inx)yi y2i2e xcos x e xcos x (1 y2)yi y2i2ie xsin x e xsin x %(%y2)故 e xcosx、y2 e xsin x也是方程解可以验证 yi e xcos x、y2 e xsin x是方程的线性无关解因此方程的通解为y e x(Cicos x C2Sin x)求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方r2 pr q 0第二步求出特征方程的两个根ri、匕第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解二阶线性常系数非齐次方

17、程其中p、q是我们把形如y py qy f(x)的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特解 y y*(x)之和y Y(x) y*(x)当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法一、 f(x) Pm(x)e x 型当 f(x) Pm(x)e x 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为 y* Q(x)e x 将其代入方程 得等式Q (x) (2p)Q (x) ( 2 pq)Q(x) Pm(x)(1) 如果 不是特征方程r2 pr q 0的根 则2 p q 0要使上式成立Q(x)应

18、设为m 次多项式Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1x bm通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1bm 并得所求特解y* Qm(x)e x(2) 如果 是特征方程 r2 pr q 0 的单根 则 2 p q 0 但 2 p 0 要使等式Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 pq)Q(x) Pm(x)成立Q(x)应设为m 1次多项式Q(x) xQm(x)Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1x bm通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1bm 并得所求特解y* xQm(x)e x(3) 如果 是特征方程 r2 pr q 0 的二重根 则 2 p q 0 2 p 0 要

19、使等式Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)成立 Q(x)应设为m 2次多项式Q(x) x2Qm(x)Qm(x) boxm bixm 1bm 1X bm通过比较等式两边同次项系数可确定bo bl bm并得所求特解y* x2Qm(x)e x综上所述 我们有如下结论如果f(x) Pm(X)ex则二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)有形如y* xk Qm(x)e x的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2二、f(x) e xPi(x)cos x Pn(x)sin

20、x型方程 y py qy e xPl (x)cos x Pn(x)sin x的特解形式应用欧拉公式可得e xP|(x)cos x Pn(x)sin xei x e i xexR(x卢f -ei x e i xPn(x)e 2T 2【P(x) iPn(x)e( i )x1【R(X)iPn(X)e( )xP(x)e( i )x P(x)e( i)x1 其中 P(x) 2(P Pni) P(x)12(P Pni)而 m max l n设方程 y py qy P(x)e(i )x 的特解为 y1* xkQm(x)e( i )x则xkQm(x)e( i 必是方程y py qy P(x)e( i)的特解其

21、中k按 i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1于是方程 y py qy e xPl(x)cos x Pn (x)sin x的特解为y* xkQm(x)e( i )x xkQm(x)e( i )xxke xQm(x)(cos x isin x) Qm(x)(cos x isin x)xke xR(1)m(x)cos x Rm(x)sin x综上所述我们有如下结论如果f(x) e x Pi(x)cos x Pn(x)sin x则二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f(x)的特解可设为 y* xke xRm(x)cos x Rm(x)sin x其中Rm(x)、Rm(x)是m次多项式 m max I n而k按 i (或 i )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1高阶线性常系数微分方程对于n阶线性微分方程y(n)a.