曲线曲面积分习题课PPT学习教案

1、会计学1 曲线曲面积分习题课曲线曲面积分习题课 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条条 件件 在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有 连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . L QdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在) 1 ( C DCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2( QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3( x Q y P D ,)4(内内在在 等等 价价 命命 题题 第1页/共48页 1.1.定义定义: : 0),(),( dyyxQdxyxP则则 dyyxQdxyxPyxdu)

2、,(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式 例如例如, 0 ydyxdx ),( 2 1 ),( 22 yxyxu 全微分方程全微分方程 或恰当方程或恰当方程 ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程. . x Q y P 全微分方程全微分方程 第2页/共48页 2.2.解法解法: : 0),(),( dyyxQdxyxP 应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. x Q y P 通解为通解为 y y x x dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0 ,),(),( 00 0 xdyxPdyyxQ x x y y ;),(Cyxu 用直接凑用直接

3、凑全微分的方法全微分的方法. 全微分方程全微分方程 不定积分法不定积分法. 第3页/共48页 . 0)3()3( 2323 的通解的通解 求方程求方程 dyyxydxxyx 解解,6 x Q xy y P 是全微分方程是全微分方程, yx dyyxdxyxyxu 0 3 0 23 )3(),( . 42 3 4 4 22 4 C y yx x 原方程的通解为原方程的通解为 , 42 3 4 4 22 4 y yx x 例例1 1 曲线积分法曲线积分法 第4页/共48页 .0 32 4 22 3 的通解的通解求方程求方程 dy y xy dx y x 解解, 6 4 x Q y x y P 是全

4、微分方程是全微分方程, 将左端重新组合将左端重新组合) 32 ( 1 4 2 32 dy y x dx y x dy y )() 1 ( 3 2 y x d y d . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为原方程的通解为 ), 1 ( 3 2 y x y d 例例2 凑微分法凑微分法 第5页/共48页 .0 32 4 22 3 的通解的通解求方程求方程 dy y xy dx y x 另解另解, 6 4 x Q y x y P 是全微分方程是全微分方程, 3 2 ( , ) x u x ydx y 2 3 ( ) x C y y . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为原方程的通解为

5、 ( , ), u Q x y y 例例2 又又即即 222 44 33 ( ) xyx Cy yy 2 1 ( )Cy y 1 1 ( )C yC y 不定积分法不定积分法 第6页/共48页 定义: 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程 0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全 微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. . 问题: 如何求方程的积分因子? 第7页/共48页 1.公式法: , )()( x Q y P x Q x Q y P y P ，两边同除两边同除 x Q y P y P x Q lnln

6、求解不容易 特殊地: ;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y , dx d x 第8页/共48页 ;.有关时有关时只与只与当当yb )( 1ln x Q y P Qdx d )(xf .)( )( dxxf ex , 0 x , dy d y )( 1ln y P x Q Pdy d )(yg .)( )( dyyg ey 第9页/共48页 2.观察法:凭观察凑微分得到 ),(yx 常见的全微分表达式 2 22 yx dydyxdx x y d x ydxxdy 2 x y d yx ydxxdy arctan 22 xyd xy ydxxdy ln )ln( 2 1 22 22 yxd

7、 yx ydyxdx yx yx d yx ydxxdy ln 2 1 22 第10页/共48页 可选用的积分因子有 ., 1 , 1 , 1 , 1 2222222 等等 x y y x yxyxxyx .0)()3( 22 的通解的通解 求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy 解 , 1 )( 1 xx Q y P Q dx x ex 1 )( .x 例3 则原方程为 , 0)()3( 2322 dyyxxdxxyyx 第11页/共48页 , 0)()3( 2322 dyyxxdxxyyx )(3 32 xdyydxxydyxydxx )( 2 1 ( 23 xyyxd , 0 原方程

8、的通解为 .)( 2 1 23 Cxyyx (公式法) 可积组合法 第12页/共48页 .0)1(2 22 的通解的通解 dyyxdxyxx 解 将方程左端重新组合,有 例4 求微分方程 , 022 22 dyyxdxyxxxdx , 0)()( 2222 dyyxxdyxxd , 0)()( 222 yxdyxxd 原方程的通解为 .)( 3 2 2 3 22 Cyxx 第13页/共48页 .0)1(ln2 222 的通解的通解 dyyyxydxxy 解 将方程左端重新组合,有 , 01)ln2 222 dyyydyxydxxy（ , 1 ),( y yx 易知易知 , 01)ln2( 2

9、2 dyyydy y x ydxx则则 . 0)1( 3 1 )ln( 2 3 22 ydyxd即即 原方程的通解为 .)1( 3 1 ln 2 3 22 Cyyx 可积组合法 例5 求微分方程 第14页/共48页 . 1 32 的通解的通解求微分方程求微分方程 x yxx dx dy 解1整理得 , 1 1 2 xy xdx dy A 常数变易法: B 公式法: . 43 43 C xx xyy 通解为通解为 . 1x C y 对应齐方通解对应齐方通解 . 1 )( x xC y 设设. 43 )( 43 C xx xC , 1 1 2 1 1 Cdxexey dx x dx x 例6 第1

10、5页/共48页 解解2 2 整理得 , 0)1()( 32 dyxdxyxx ,1 x Q y P .是全微分方程是全微分方程 A 用曲线积分法: ,)(),( 00 32 yx dydxyxxyxu B 凑微分法: , 0)( 32 dxxdxxydxxdydy ，0 43 )( 43 x d x dxyddy . 0) 43 ( 43 xx xyyd 第16页/共48页 C 不定积分法: , 32 yxx x u dxyxx)( 32 ),( 43 43 yCxy xx ),(yCx y u ,1x y u 又又 ,1)(xyCx , 1)( y C,)(yyC 原方程的通解为 . 43

11、43 C xx xyy 第17页/共48页 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成, , 函数函数 ),(, ),(yxQyxP及在及在D上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, ,则则 有有 D dxdy y P x Q )(_； 2 2、 设设D为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , , 函 数函 数 ),(, ),(yxQyxP在在D内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数, ,则则 L QdyPdx在在D内与路径无关的充要条件是内与路径无关的充要条件是 _在在D内处处成立；内处

12、处成立； 3 3、 设设D为由分段光滑的曲线为由分段光滑的曲线L所围成的闭区域所围成的闭区域, ,其面其面 积为积为 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一阶连续偏上有一阶连续偏 导数导数, ,且且1 x Q , ,1 y P , ,则则 L QdyPdx_. . 练 习 题 第18页/共48页 二、二、 计算计算 L dyyxdxxxy)()2( 22 其中其中L是由抛物线是由抛物线 2 xy 和和xy 2 所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并 验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . . 三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线t

13、aytax 33 sin,cos 所所 围成的图形的面积围成的图形的面积 . . 四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3( )2, 1( 2232 )36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面 内与路径无关内与路径无关, ,并计算积分值并计算积分值 . . 五、利用格林公式五、利用格林公式, ,计算下列曲线积分计算下列曲线积分: : 1 1、 L dyyxdxyx)sin()( 22 其中其中L是在圆周是在圆周 2 2xxy 上由点上由点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)的一段弧；的一段弧； 第19页/共48页 2 2、求曲线积分、求曲线积分 AMB dyyxd

14、xyxI 22 1 )()(和和 ANB dyyxdxyxI 22 2 )()(的差的差. .其中其中AMB 是过原点和是过原点和)1,1(A, ,)6,2(B且其对称轴垂直于且其对称轴垂直于x 轴的抛物线上的弧段轴的抛物线上的弧段, , AMB是连接是连接BA ,的线段的线段 . . 六、计算六、计算 L yx ydxxdy 22 , ,其中其中L为不经过原点的光滑闭曲为不经过原点的光滑闭曲 线线 .( .(取逆时针方向取逆时针方向) ) 七、验证七、验证yxxdxxyyx 2322 8()83( dyye y )12 在整在整 个个xoy平面内是某一函数平面内是某一函数),(yxu的全微分

15、的全微分, ,并求这并求这 样一个样一个),(yxu. . 第20页/共48页 八、试确定八、试确定 , ,使得使得dyr y x dxr y x 2 2 是某个函数是某个函数 ),(yxu的全微分的全微分, ,其中其中 22 yxr , ,并求并求 ),(yxu. . 九、设在半平面九、设在半平面0 x内有力内有力)( 3 jyix r k F 构成力构成力 场场, ,其中其中k为常数为常数, , 22 yxr . .证明在此力场中证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关 . . 第21页/共48页 练习题答案 一、一、1 1、 L dyQPdx； 2 2、

16、x Q y p ； 3 3、10.10. 三、三、 30 1 . . 四、四、 2 8 3 a . . 五、五、236.236. 六、六、1 1、2sin 4 1 6 7 ； 2 2、-2-2. . 七、七、1 1、当、当 所所包包围围L 的的 D区区域域 不包含原点时不包含原点时,0,0； 2 2、当、当 所所包包围围L 的的 D区区域域 包含原点包含原点, , 仅仅绕绕且且 L 原点原点 一圈时一圈时, , 2； 3 3、当、当 所所包包围围L 的的 D区区域域 包含原点包含原点, , 绕绕且且 Ln原原点点 圈时圈时, , n2. . 第22页/共48页 七七、)(124),( 223y

17、y eyeyxyxyxu . . 八八、 y r yxu ),(, 1 . . 第23页/共48页 2002研究生考题研究生考题(数学一数学一) 8分分 ),()(在在设函数设函数xf内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数, , L是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线 , , 其起点为其起点为(a, b),终点为终点为(c, d). ,d1)(d)(1 1 2 2 2 yxyfy y x xxyfy y I L 记记 (1) 证明证明曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关; (2) 当当ab = cd 时时,求求I 的值的值. 证证 )(1 1 2 xyf

18、y yyy P 因为因为 1)( 2 2 xyfy y x xx Q )( 1 )( 2 xyfxy y xyf 所以在上半平面内所以在上半平面内曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关. (1) 第24页/共48页 b a d c 解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关, yxyfy y x xxyfy y I L d1)(d)(1 1 2 2 2 L是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线 , , 起点 起点(a, b),终点终点(c, d). ),(ba ),(dc 所以所以 ),(bc xbxfb b I c a d)(1 1 2

19、 ycyfy y c d b d1)( 2 2 xbxbf b ac c a d)( b c d c ycyfc d b d)( ttfttf b a d c cd bc bc ab d)(d)( (2) 当当ab = cd 时时,求求I 的值的值. 0 t t 法一法一 x y O 第25页/共48页 解解(2) yxyfy y x xxyfy y I L d1)(d)(1 1 2 2 2 L是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线 , , 起点 起点(a, b),终点终点(c, d).(2) 当当ab = cd 时时,求求I 的值的值. 法二法二 I,d)(

20、d)(yxyxfxxyyf L 2 dd y yx y x L b a d c 2 dd y yx y x L 设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则 )d()(d)(d)(xyxyfyxyxfxxyyf LL )()(abFcdF . b a d c I 由此由此 得得 L y x d ),( ),( dc ba y x , 0 第26页/共48页 33 ()2 C Iyy dxx dyC CI 为为光光滑滑的的 简简单单闭闭曲曲线线，取取正正向向， 给给定定曲曲线线积积 问问当当 为为什什么么曲曲线线 分分 时时， 的的 ，其其中中 值值最最大大？ DC解解：设设所所围围成

21、成的的平平面面区区域域，则则有有为为椭椭圆圆格格林林公公式式 22 ( 631) DD QP Idxdyxydxdy xy 22 631xy当当 时，被积函数小于时，被积函数小于0，故当，故当 22 631xy C 22 631xy 时，此二重积分将达到最大值。时，此二重积分将达到最大值。 也就是说当也就是说当 是是 的正向边界时的正向边界时 I 将取得大值。 将取得大值。 第27页/共48页 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积分计算域上的二重积分计算. 1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),( iii

22、n i i Sf ),(lim 1 0 （一投！二代！三换！）（一投！二代！三换！） 22 , , ( , ) 1 xy xy D f x y z x yzz dxdy ( , , )f x y z dS :( , )zz x y 则则 第28页/共48页 补充：补充：参数参数方程曲面上的第一类方程曲面上的第一类 曲面积分计算法曲面积分计算法 ( , ). uv u vD 222 ( , )( , )( , ) ( , ), ( , ), ( , ). ( , )( , )( , ) uv D y zz xx y f x u vy u vz u vdudv u vu vu v dSzyxf),

23、( ( , ) 4.:( , ) ( , ) xx u v yy u v zz u v 则则 第29页/共48页 例例4 4 解解 (其其中中 1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) o y z x 1 由轮换对称性，由轮换对称性， 2222 ()3xyzdSx dS 再由对称性，再由对称性， 第30页/共48页 1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdS yx 22 1 dxdy3 222 ()xyzdS 1 2 24x dS 2 243 xy D xdxdy .32 4 a 2 00 24 3 aax x dxdy o y x y=a-x D Dxyxy a 第31页/共4

24、8页 例例,d 2 Sx 求求 2222 :azyx 解解 积分曲面方程积分曲面方程 轮换轮换对称对称Szyxd)( 222 SzyxSxd)( 3 1 d 2222 3 1 提示提示 即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变. Sx d 2 2 2 4 3 a a 具有具有 轮换对称性轮换对称性, , 中的变量中的变量x、y、z 3 Sd 2 a 第32页/共48页 思考思考 题题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分 的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明 这个因子的几何意义这个因子的几何意义. 22 1 yx zz 第33页/共48页 思考

25、题解答思考题解答 是曲面元的面积是曲面元的面积,dS 22 1 1 ),cos( yx zz zn 22 1 yx zz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余轴夹角的余 弦的倒数弦的倒数. z 第34页/共48页 思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的 曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题是非题 n i ii PfPf 1 0| )(limd)( .,)( PPPf ii 为点函数为点函数其中其中 是是因为若因为若为直线上的区间为直线上的区间a, b, ),()(xfPf 则则 故故 .)(l

26、imd)(d)( 1 0| n i ii b a PfxxfPf 第35页/共48页 是是 若若是平面区域是平面区域G, ),()(yxfPf 则则 故故 n i iii n i ii fPf 1 0| 1 0| ),(lim)(lim .dd),(yxyxf G 是是 若若是空间区域是空间区域, ),()(zyxfPf 则则故故 n i iiii n i ii fPf 1 0| 1 0| ),(lim)(lim .ddd),(zyxzyxf 第36页/共48页 是是 若若为平面为平面(空间空间)曲线曲线L, ),()(yxfPf 则则 L syxfd),( ),),()(zyxfPf 或或

27、部分和式的极限为曲线积分部分和式的极限为曲线积分 ).),(),(LzyxLyx 或或 ).d),( L szyxf或或 是是 若若为曲面为曲面, 则上述部分和式的极限就是则上述部分和式的极限就是 .d),( Szyxf 曲面积分曲面积分 第37页/共48页 z x y O 其中其中是球面是球面.2 222 azzyx )0( a 解解的方程的方程 方程是方程是: 222 yxaaz 方程是方程是: 投影域投影域 222 :ayxDxy 222 yxaaz 记记上半球面上半球面为为, 1 下半球面下半球面为为, 2 不是单值的不是单值的. . 计算曲面积分计算曲面积分SzyxId)( 222

28、的值的值. 第38页/共48页 对对上半球上半球 yxzzS yx dd1d 22 yx yxa a dd 222 得得 1 d)( 222 Szyx 对对下半球下半球 2 d)( 222 Szyx yx yxa yxaaa dd )(2 222 2222 222 :ayxDxy xy D xy D azzyx2 222 是球面是球面 yx yxa yxaaa dd )(2 222 2222 222 yxaaz 222 yxaaz 第39页/共48页 所以所以 a a a 0 22 2 0 3 d d4 极坐标极坐标 I 1 2 222 3 dd 4 yxa yx a 4 8 a yx yxa

29、 yxaaa dd )(2 222 2222 yx yxa yxaaa dd )(2 222 2222 xy D xy D xy D 222 :ayxDxy 第40页/共48页 z x y O 计算计算,d)( 23 Szyxx 其中其中为球面为球面 222 yxaz 之位于平面之位于平面 曲面曲面的方程的方程 在在xOy面上的面上的投影域投影域 2222 :hayxDxy 解解 222 yxaz 2222 :hayxDxy )0(ahhz 上方的部分上方的部分. 第41页/共48页 z x y O yxzzS yx dd1d 22 yx yxa a dd 222 2222 :hayxDxy 因曲面因曲面 于是于是 )( 22 haa Szd00 222 yxa yx yxa a dd 222 x3是是x的奇函数，的奇函数， x2y是是y的奇函数的奇函数. Szyxxd)( 23 222 yxaz xy D 关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称; 第42页/共48页 1995年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分 xyxyxz2 2222 在柱体在柱体为锥面为锥面设设 .d, Sz求曲面积分求曲面积分内的部分内的部分 解解 积分曲面积分曲面 22 :yxz