【教案】高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章3.3.2抛物线的简单几何性质-教案

1、课程基本信息课题抛物线的简单几何性质教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年 5 月教学目标教学目标：借助抛物线的图形和标准方程理解抛物线范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.教学重点：抛物线的简单几何性质.教学难点：应用坐标法解决一些与抛物线有关的问题.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟引入问题1：在椭圆、双曲线里我们研究了它们的哪些几何性质？用什么方法研究的？追问：你认为我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？范围，对称性，顶点，离心率；类比椭圆、双曲线研究几何性质的方法，依然用先直观猜想，再方程验证的研究方法.6分钟

2、新课问题2：以开口向右的抛物线 y2=2px p0为例，对范围、对称性、顶点、离心率逐一研究.（1）范围：追问1：观察直角坐标系中的抛物线，它的范围是什么？你能用它的方程给出证明吗？抛物线开口向右，除原点以外，曲线上其他的点都在 y 轴右侧，向右上方和右下无限延伸.从方程 y2=2px p0 可知，因为 p0 ，等号左边是完全平方，所以对于抛物线上的点 Mx，y ，都有，；当的值增大时，y的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延展.（2）对称性：追问2：观察方程 y2=2px p0的曲线，开口向右的抛物线有对称轴、对称中心么？类比椭圆、双曲线对称性的证明，你能从抛物线的方程入手，给出证明

3、吗？由图象可知，方程 y2=2px p0的曲线关于x 轴对称，没有对称中心.以 -y 代替 y ，我们发现方程 y2=2px p0 不变，所以抛物线关于 x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.（3）顶点：追问3：椭圆、双曲线的顶点如何定义的？曲线与对称轴的交点叫做曲线的顶点，所以椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点. 追问4：抛物线有几个顶点？能证明吗？抛物线与对称轴交于原点，从方程来看，当 x=0 时，y=0 ，因此，抛物线只有一个顶点，就是原点0 , 0.（4）离心率： 它的定义是：抛物线上的点 M 与焦点 F 的距离和点 M 到准线的距离 d 的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表

4、示. 由抛物线的定义可知，e=1. 另几种开口方向的抛物线的性质，请同学们用同样的方法探究一下.13分钟知识应用问题3：已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M2，-22，求它的标准方程.追问1：根据给定的条件，怎么求抛物线的标准方程？根据待定系数法，设抛物线的方程，代入经过的点 M 的坐标就可以确定系数 p 的值.追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？由于抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，经过的 M 点在第四象限，所以可以判定抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，所以设它的标准方程为 y2=2px p0.因为点 M 在抛物线上，所以代入坐标，得 -222=2p2 p0解得

5、 p=2.因此，所求抛物线的标准方程是 y2=4x.追问3：如果把条件“关于 x 轴对称”改为“对称轴是坐标轴”，那么结果有变化吗？点 M 在第四象限，那么抛物线除了关于 x 轴对称，还可以关于 y 轴对称，即开口向下.此时，设标准方程为 x2=2py p0，同样采用待定系数法，代入点 M 的坐标，得 22=2p-22 p0，解得.因此，所求抛物线的标准方程是 x2=-2y.因此，如果条件“关于 x 轴对称”改为“对称轴是坐标轴”，那么结果有两个，分别是 y2=4x， x2=-2y.小结：选择抛物线的标准方程是解题的关键点，所以在设方程之前，先确定抛物线的开口方向，而后，抛物线方程中只有一个待

6、定系数 p ，所以只要一个条件就可以带入求值了.问题4：斜率为1的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F ，且与抛物线相交于A，B 两点，求线段 AB 的长.追问1：在前面椭圆、双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的，对于这道题，你有什么解答思路？解法一：可求得，直线 l 的方程为 y=x-1. 联立直线的方程与抛物线的方程， y=x-1 , y2=4x . 整理得x2-6x+1=0.用求根公式解得或即A3+22，2+22，B3-22，2-22.由两点间距离公式，得 AB=x2-x12+y2-y12 =3+22-3+222+2+22-2+22

7、2=8.即线段AB的长为8.小结：这种方法与之前直线与椭圆、双曲线相交问题上所使用的方法是统一的，说明它具有一般性，为我们解决直线与圆锥曲线问题提供了基本的解题思路. 但是在计算时有些麻烦. 追问2：能否不求出A，B两点的坐标而求出|AB|呢？在两点间距离公式 AB=x2-x12+y2-y12 中，我们只要求出x2-x12，y2-y12的值就可以求出AB，由此得到解决这个问题的第二种方法.解法二：设 Ax1，y1，Bx2，y2，将直线 l 的方程 y=x-1与抛物线的标准方程 y2=4x 联立，代入消元得 x2-6x+1=0 ，所以可得x1+x2=6，x1x2=1，x2-x12=x1+x22-

8、4x1x2=62-41=32.因为 y1=x1-1，y2=x2-1， y2-y12=x2-x12=32.所以，AB=x2-x12+y2-y12=32+32=8.小结：相较第一种解法，应用一元二次方程根与系数关系，计算过程简化很多，所以在解决数学问题时，希望同学们多注意观察和思考，用最简便的方法解决问题.追问3：根据题目条件作图观察，应用数形结合的思想，再回忆一下抛物线的定义，有没有给你一些启发？解法三：直线 l 过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，所以AF=AA，BF=BB.那么AB=AF+BF=AA+BB,因为轴，所以.同理.于是得， AB=

9、AF+BF=AA+BB=x1+x2+p.由题意知，p=2，再由解法二，联立直线 l 的方程与抛物线方程，代入化简得 x2-6x+1=0. 根据根与系数关系，得 x1+x2=6 .所以，AB=x1+x2+p=6+2=8.所以，线段 AB 的长是8.追问4：如果直线 l 不经过焦点 F ，那么 AB 还等于 x1+x2+p 吗？由图观察，显然 AF+BF=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p AB所以，如果直线 l 不经过焦点 F ，那么 AB 不等于 x1+x2+p. 同学们也可以用代数法，设出直线 l 的方程，与抛物线方程联立，探究AB与谁的值有关，从而发现它的长度不是等于x1+x2+p .小结：比较三种解题方法，可以发现这三种方法各有特点解法一最直接，具有一般性，但是计算量大解法二运用一元二次方程根与系数的关系，简化运算，但是需要掌握变形技巧解法三充分运用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离，使运算大大简化，但要注意，直线必须过焦点. 这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来，体现了用坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决2分钟归纳小结本课小结：（1） 本节课我们研究了抛物线的哪些几何性质？（2） 这些性质通过什么方法得到？直观猜想，方程验证.（3） 直线与抛物线相交，