第04章理想流体动力学

1、第04章理想流体动力学1 第4章 1.1.先建立理想流体动力学的基本方程先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运欧拉运 动微分方程动微分方程 2.2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日 积分积分 3.3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。 4.4.两个积分的物理意义和实际应用两个积分的物理意义和实际应用 5.5.导出动量及动量矩定理，及其应用。导出动量及动量矩定理，及其应用。 第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学 本章内容：本章内容： 课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？课堂提问：支持飞机升空，机翼的

2、升力是怎么产生的？ 为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船 坞等岸边建筑物附近下水？坞等岸边建筑物附近下水？ 第04章理想流体动力学2 4-1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式 欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本 方程，欧拉于方程，欧拉于17751775年由牛顿第二定律导出。年由牛顿第二定律导出。 某瞬间在理想流某瞬间在理想流 体中棱边为体中棱边为dx,dy,dzdx,dy,dz 的平行六面体，顶点的平行六面体，顶点 A(x,y,z)A(x,y,z)处的处的 推导如下：推导如下： (x(x，y y，z)z) 压

3、力压力 速度速度 V（x，y，z) p p pdx x y x z dy dz dx A(x,y,z) 第04章理想流体动力学3 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： i ii i ( ( =x=x，y y，z z） （4-14-1） 以方向为例：以方向为例： () pp pdydzpdx dydzdxdydz xx 表面力表面力沿向的合力沿向的合力： 理想流体，各面上无切应力理想流体，各面上无切应力, , 质量力在轴上的投影：质量力在轴上的投影： X dx dy dz 加速度在方向的投影：加速度在方向的投影： xxxx xxyz vvvvdx avvv dttxyz p p pdx x y x

4、z dy dz dx A(x,y,z) dvx 第04章理想流体动力学4 将以上各式代入（将以上各式代入（4-14-1）式中，并取，）式中，并取， 得如下第一式。同理可得其余的两式：得如下第一式。同理可得其余的两式： 即为理想流体的即为理想流体的欧拉运动微分方程式。欧拉运动微分方程式。 （4-24-2） 1 1 1 xxxx xyz yyyy xyz xzzz xyz p X x p Y y p X z vvvv vvv txyz vvvv vvv txyz vvvv vvv txyz 用矢量表示为：用矢量表示为： 1 Fp DV Dt Z 第04章理想流体动力学5 该方程适用条件该方程适用条

5、件: : 理想流体理想流体, ,即无论流动定常与否，可压缩还是即无论流动定常与否，可压缩还是 不可压缩均适用。不可压缩均适用。 方程（方程（4-24-2）有三个分量式，再加上连续方）有三个分量式，再加上连续方 程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可 求解四个未知函数求解四个未知函数x x , ,y y , ,z z和。和。 若要使所求的若要使所求的x x , ,y y , ,z z , ,是某个实是某个实 际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，际问题的解，还要满足所提问题的边界条件， 初始条件。初始条件。 第04章理想流体动力学6 4-2 拉格朗日积

6、分式拉格朗日积分式 欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下 的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。 拉格朗日积分式有如下假设条件：拉格朗日积分式有如下假设条件： （1 1）理想不可压缩流体：）理想不可压缩流体： const.const. （3 3）若运动无旋则存在速度势函数）若运动无旋则存在速度势函数，满足，满足 1 () pp xx 所以有所以有： , xyz vvv xyz （2 2）质量力具有势函数：）质量力具有势函数： , UUU XYZ xyz 第04章理想流体动力学7 因此因此 ()() x v t

7、txxt ()() y x v v yyxxyx ()() xz vv zzxxzx 代入欧拉方程代入欧拉方程 1 xxx xyz x vvv vvv xytz p X v x 222 () ) 2 ( 1 ) ( y xz xyz xyz v vv vvv xxx v xt x v U x t v x p 有有 第04章理想流体动力学8 上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式 2 ()0 2 pv U xt 2 ()0 2 pv U yt 2 ()0 2 pv U zt （4-34-3） 括弧内函数不随空间坐标括弧内函数不随空间坐标( (，) )变化

8、变化, , 只可能是时间的函数。只可能是时间的函数。 2 ( ) 2 pv UF t t 所以所以 （4 - 4） 若流体的质量力只有重力，取轴铅直向上，若流体的质量力只有重力，取轴铅直向上， 有有U U，故，故 2 ( ) 2 pv UF t t gz（4 - 4） 第04章理想流体动力学9 为书写简单，引入为书写简单，引入 0 ( ) t F t dt 将将对，求偏导数，仍为速度的投影对，求偏导数，仍为速度的投影 x V xx y V yy z V zz 引入引入后，式（后，式（- -）可改写成：）可改写成： 2 2 pV U t （-5-5） 第04章理想流体动力学10 2 2 pV g

9、 z t 若流体的质量力只有重力，式若流体的质量力只有重力，式（4 - 4）可写成：可写成： 2 1 2 pv z ggt (4-7)(4-7) 或或 上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。 对于对于定常定常无旋运动，式（无旋运动，式（4 43 3）括弧内的函）括弧内的函 数不随空间坐标数不随空间坐标，和时间和时间t t变化，因此变化，因此 它在整个流场为常数。它在整个流场为常数。 第04章理想流体动力学11 2 2 pV UC ( (通用常数通用常数) ) 对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常定常无旋运动，因

10、，上式可写成无旋运动，因，上式可写成 2 2 pV zC g ( (通用常数通用常数) ) 上式为上述条件下的拉格朗日积分式，在上式为上述条件下的拉格朗日积分式，在 整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场 建立了速度和压力之间的关系。建立了速度和压力之间的关系。 (4-9)(4-9) 第04章理想流体动力学12 若能求出了流场的速度分布（理论或实验的若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流布，再将压力分布沿固体表面积分，就

11、可求出流 体与固体之间的相互作用力。体与固体之间的相互作用力。 应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物 理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行 驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引 的的“船吸现象船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为；以及在浅水航道行驶的船舶为 什么会产生什么会产生“吸底现象吸底现象”等等。等等。 第04章理想流体动力学13 讨论：讨论：beginbegin 1 1. . 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流 动且只有

12、重力作用时，同一水平面上的两动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？点，其速度和压力的关系如何？ 2. 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的生互相吸引的“船吸现象船吸现象”。 3.3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象吸底现象” 第04章理想流体动力学14 4-3 伯努利积分式及其应用伯努利积分式及其应用 111 (),(),(), pppppp xxyyzz 伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分 假设条件：假设条件： （

13、）理想不可压缩，质量力有势；（）理想不可压缩，质量力有势； （）定常运动；（）定常运动； （）沿流线积分。（）沿流线积分。 由（由（1 1），（），（2 2）有）有 第04章理想流体动力学15 则欧拉方程可写成则欧拉方程可写成 () xxx xyz VVVUp VVV xxxyz () yyy xyz VVV Up VVV yyxyz () zzz xyz VVVUp VVV zzxyz （1） （2） （3） 定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立 x dxV dt （4） （5） （6） y z dyV dt dzV dt 同理有同理有: 第04章

14、理想流体动力学16 () xxx xyxxzxx V dtV dtV VVVp UVVV xxy dtV d z t 式式(1),(2),(3)(1),(2),(3)的两边分别乘以式的两边分别乘以式(4),(5),(6)(4),(5),(6) 以第一式为以第一式为: 2 ()() 2 x Vp Udxd x 即即（7 7） 2 ()() 2 y V p Udyd y 2 ()() 2 z Vp Udzd z 同理同理 (8) (8) （9 9） () x xxx xyzx dxdxV VVVp UVVV xxy dt z Vdt 222 xxx VVV xyz d xd yd z 第04章理想

15、流体动力学17 将将( (),(),(),(),(）三式相加，考虑到速）三式相加，考虑到速 度的模度的模2 2x x2 2y y2 2z z2 2，有，有: : 2 ()() 2 pV dUd 2 ()0 2 pV dU 在流线上有在流线上有 (10)(10) 括弧内沿流线上的全微分等于零，则括弧内沿流线上的全微分等于零，则 沿流线一定是常数沿流线一定是常数: : 2 2 l pV UC （1111） 第04章理想流体动力学18 2 2 l pv gzC 在重力场中，则沿流线在重力场中，则沿流线: : 2 2 l pv zC g 或为或为（1212） 拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同拉

16、氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同 之点有二：之点有二： l 称为流线常数称为流线常数 第04章理想流体动力学19 () 应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无 旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。可用于有旋运动。 （）常数性质不同。拉格朗日积分中的常数（）常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积 分常数分常数l 只在同一条流线上不变，不同流线取只在同一条流线上不变，不同流线取 值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整

17、个空值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。 第04章理想流体动力学20 为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。有限大的流束。 渐变流动渐变流动: :流线近似平行，而且流线的曲率很小流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。的流动，否则称为急变流动。 () p z 渐变流动特点：渐变流动特点： 项在整个过水（过流）项在整个过水（过流） 断面上为常数。断面上为常数。 为简单计，约定为简单计，约定 取过水断面形心处的取过水断面形心处的 数值。流线上

18、任意一点的速度近似地用过数值。流线上任意一点的速度近似地用过 流断面上的平均流速流断面上的平均流速U U来代替即用来代替即用 近似代替近似代替 2 2 v g 2 2 U g 第04章理想流体动力学21 适用于有限大流束的伯努利方成为：适用于有限大流束的伯努利方成为： 2 2 pU zconst g （1313） 22 1122 12 22 pUpU zz gg （1414）或或 （）理想流体，定常流动；（）理想流体，定常流动； （）只有重力的作用；（）只有重力的作用； （）流体是不可压缩的；（）流体是不可压缩的； （4 4）. .截面处流动须是渐变流。但截面处流动须是渐变流。但1.21.2两

19、断两断 面间不必要求为渐变流动。面间不必要求为渐变流动。 方程适用条件：方程适用条件： 第04章理想流体动力学22 讨论：讨论：end 1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？相同？ 2.为什么在急变流动的过流断面上，为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/ ) 项不保持常数？项不保持常数？ 第04章理想流体动力学23 4-4 伯努利方程的意义伯努利方程的意义 一、几何意义一、几何意义 z ：长度量纲，流体质点或空间点在基准面长度量纲，流体质点或空间点在基准面 以上的几何高度，又

20、称位置水头。以上的几何高度，又称位置水头。 单位重量流体具有的势能。单位重量流体具有的势能。 p/ p/ ：长度量纲，测压管中液面上升的高度，长度量纲，测压管中液面上升的高度， 称为压力高度、或测管高度，或称压称为压力高度、或测管高度，或称压 力水头、测管水头，记为力水头、测管水头，记为Hp 单位重量流体具有的势能。单位重量流体具有的势能。 V2/(2g)：具有长度的量纲，称为流速高度或具有长度的量纲，称为流速高度或 速度水头。可用皮托管和测压管中液速度水头。可用皮托管和测压管中液 面高度差来表示，记为面高度差来表示，记为HV 单位重量流体具有的动能。单位重量流体具有的动能。 第04章理想流体

21、动力学24 一、几何意义图一、几何意义图 第04章理想流体动力学25 结论：对于理想流体，定常运动，质量力只结论：对于理想流体，定常运动，质量力只 有重力作用时，沿流线有：几何高度、压有重力作用时，沿流线有：几何高度、压 力高度和流速高度之和为一常数。力高度和流速高度之和为一常数。 Z+Hp+Hv=H 三个高度（水头）之和称为总水头。三个高度（水头）之和称为总水头。 其端点的连线其端点的连线总水头线为一条水平线总水头线为一条水平线 。如。如 下图所示。下图所示。 第04章理想流体动力学26 2 1 2 V g 2 2 2 V g 1 p 2 p 总水头线总水头线 H 压力水头线压力水头线 第0

22、4章理想流体动力学27 二、能量意义二、能量意义(物理意义物理意义) 伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿 流线守恒。流线守恒。 ：代表单位重量流体的位能，记为代表单位重量流体的位能，记为 z ez ：单位重量流体的压力能，记为：单位重量流体的压力能，记为 p e p ：单位重量流体的动能，记为：单位重量流体的动能，记为 V e 2 2 V g 单位重量流体的总机械能：单位重量流体的总机械能： zpv e e e E 第04章理想流体动力学28 C Vv pVVz 2 2 第04章理想流体动力学29 对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有对于理想、不可压

23、缩流体，定常运动，只有 重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流 线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中 单位重量的单位重量的/ /单位体积的单位体积的位能、压力能和动能之位能、压力能和动能之 和保持不变。和保持不变。 在流体力学中在流体力学中 称为静压称为静压 称为动压称为动压 2 2 v pz C v pz 2 2 第04章理想流体动力学30 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞）实

24、例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。用下从小孔流出。求流量。 设小孔面积比容器中液面设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度近似面积小很多，液面高度近似 认为不变（近似为定常流），认为不变（近似为定常流）， 不计流体粘性，此时流体的质量力只有重不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。力。满足伯氏方程来求解的前提。 第04章理想流体动力学31 取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面取容器液面为截面 ，出流流束截面收缩，出流流束

25、截面收缩 到最小处为截面到最小处为截面，该，该 处流动满足渐变流的条处流动满足渐变流的条 件。在此两截面上，各件。在此两截面上，各 物理量分别为：物理量分别为： 截面截面：1 1 1 10 0 1 1 截面截面：2 20 2 第04章理想流体动力学32 2 00 00 2 ppU h g ,截面列伯氏方程：截面列伯氏方程： 这样就可解出小孔理想出流的速度公式：这样就可解出小孔理想出流的速度公式： 2Ugh （1515） 实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度 小于此值，一般用一个流速系数来修正，则小于此值，一般用一个流速系数来修正，则 实际 实际 （1616）

26、 由实验确定，由实验确定， = 0.960.96 流量流量Q = Q = 平均流速平均流速c c 第04章理想流体动力学33 收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处 汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水 平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。 2 c QUgh 实际实际 令令 为流量系数为流量系数 2 c QUgh 实际实际 称为收缩系数称为收缩系数 c 由实验测定，如圆形孔口，值为由实验测定，如圆形孔口，值为0.610.610.630.63。 第04章理想流

27、体动力学34 实例二文德利管实例二文德利管 实例二实例二 文德利管（一种流量计）文德利管（一种流量计） 应用伯努利方程的原应用伯努利方程的原 理可制成各种测量流速或理可制成各种测量流速或 流量的仪器。文德利管就流量的仪器。文德利管就 是其中的一种。是其中的一种。 和和处的压力差由测压处的压力差由测压 管读出来，为已知量。管读出来，为已知量。 令令1 1和和2 2分别为分别为和和截面上的平均流速截面上的平均流速 第04章理想流体动力学35 取管轴为基准列伯努利方程取管轴为基准列伯努利方程: : 22 1122 22 pUpU gg 连续性方程连续性方程: 22 12 44 Dd UU 2 412

28、1 ()1 2 ppUD gd 联立得：联立得： 解出解出 12 1 4 2 ( )1 D d pp Ug 流量流量 1212 111 4 2 ( )1 D d ppppg QUk 第04章理想流体动力学36 12 hpp 汞 （） 形管（内装水银）：形管（内装水银）： h Q k 汞 （） 或或 注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时 按上式算得的还应乘上修正流量的系数按上式算得的还应乘上修正流量的系数，它，它 的值约为的值约为0.980.98。 因此因此 Qk h 第04章理想流体动力学37 实例三汽化器实例三汽化器 实例三实例三 汽化器汽化器

29、 汽化器原理如图汽化器原理如图, ,空气由活塞的抽吸作用空气由活塞的抽吸作用 从自由大气中吸入从自由大气中吸入, ,细管将汽油自油箱引来。细管将汽油自油箱引来。 求求: :汽化器的真空度汽化器的真空度 解：取主管轴为基准，整解：取主管轴为基准，整 个汽化器作一个流管个汽化器作一个流管. . 取入口远前方为截面取入口远前方为截面 最小截面处为截面最小截面处为截面 第04章理想流体动力学38 截面截面：，：，0 0， 截面截面：，待求，：，待求， 2 0 222 2 116 000 2() ppQ gDd 列立伯氏方程：列立伯氏方程： 2 0 2222 8 () Q pp Dd 汽化器的真空度为：

30、汽化器的真空度为： 由连续性方程得由连续性方程得: 22 1 4 () Q U Dd 第04章理想流体动力学39 实例四皮托管实例四皮托管 流线上流线上，管，管（测压管）的口部（测压管）的口部 平行于流线，可测平行于流线，可测点的静压点的静压， 9090弯管弯管 迎向水流，使其口部垂直于流线。迎向水流，使其口部垂直于流线。 设流线近似为一组平行直设流线近似为一组平行直 线，则铅直方向上动水压力线，则铅直方向上动水压力 按静水压力分布，即按静水压力分布，即 A A 管管液面升高液面升高 和自由表面平齐和自由表面平齐 点称为驻点点称为驻点 实例四实例四 （用于测流速）（用于测流速） 皮托管和联合测

31、管皮托管和联合测管 点点: B B（） 第04章理想流体动力学40 管管测得压力称静压力测得压力称静压力A A 管管测的压力称总压测的压力称总压B B ，又称总压管皮托管。，又称总压管皮托管。 在流线上列立伯氏方程，考虑到在流线上列立伯氏方程，考虑到 点点 A A U UA A U U B B点点 B B U UB B 2 000 2 AB ppU g 因此因此 2 BA pp Ug （4 42424） 得得 测出总压测出总压B B和静压和静压A A之差，可算出流速。之差，可算出流速。 第04章理想流体动力学41 在上述问题中在上述问题中 B BA A（） 2Ugh 因此因此 （4 42525

32、） 读出皮托管与测压管的液读出皮托管与测压管的液 面高度差面高度差h，可算出流速。，可算出流速。 第04章理想流体动力学42 实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起， 形成形成“联合测管联合测管”，或称普朗特管，或称普朗特管 这时这时 U UA AU U， U UB B 处感受到静压处感受到静压 处感受到总压处感受到总压 公式（公式（-）仍能用。）仍能用。 第04章理想流体动力学43 2 BA pp Ug 若测量空气或其它液体的流速，若测量空气或其它液体的流速， 用用形管连形管连 接管接管、，仍用公式（，仍用公式（- -）即：）即： B BA A ：

33、总压与静压之差 ：总压与静压之差 P PB BA A1 1 形管中液面高度差。形管中液面高度差。 欲测流速的汽体重度欲测流速的汽体重度 测压计中液体重度测压计中液体重度 P PB BA AUU 2 2/2/2 第04章理想流体动力学44 实例五实例五 虹吸管虹吸管 h1 h2 s 0 1 22 0011 01 22 pvpv zz gg 021 01 01 0 0? aa zhz pppp vv 求虹吸管出口流速和最求虹吸管出口流速和最 高点高点S S处的压力处的压力 22 2vgh 列列0-1两截面的伯努利方程两截面的伯努利方程 v1 第04章理想流体动力学45 22 00 0 22 SS

34、S pvpv zz gg 12 () saa pphhp 列列0-S两截面的伯努利方程两截面的伯努利方程 02112 0 011 ? 02 as s zhzhh ppp vvvgh 第04章理想流体动力学46 虹吸管虹吸管 =150=150，1 1=3.3=3.32 2=1.5=1.5，z=6.8z=6.8， 不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道 最高点处的真空值。最高点处的真空值。 解：取解：取-为为 基准，列断面基准，列断面- - 和和- -的伯氏方程：的伯氏方程： 例题 2 002 1 00 2 ppHU H g 第04章理想流体动力学47 1

35、2 2 ()2 9.8 1.8 5.94 /Ug HHm s解得：解得： 23 0.105/ 4 Qd Um s 水流量水流量 - -和和- - 断面列方程：断面列方程： 2 0 1 0 2 x ppU Hz g 处真空度处真空度 2 0 1 5.3 2 x ppU zHm g 第04章理想流体动力学48 4-5 动量定理及动量矩定理动量定理及动量矩定理 一、动量定理一、动量定理 工程中常常需要求流体和物体之间的相互作工程中常常需要求流体和物体之间的相互作 用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合 适与方便。适与方便。 () i d mvp dt 理

36、论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对 质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在 该质系上的合外力，即该质系上的合外力，即 F 第04章理想流体动力学49 为应用方便，需将动量定理转换成适合于控为应用方便，需将动量定理转换成适合于控 制体的形式（欧拉法）。制体的形式（欧拉法）。 控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、 大小任意，固定不动的空间。大小任意，固定不动的空间。 控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。 流体经过控制面流入

37、、流出。通过流体经过控制面流入、流出。通过 控制面一般控制面一般有流体质量、动量、能量交有流体质量、动量、能量交 换换，控制体内与控制体外的流体或固体，控制体内与控制体外的流体或固体 存在作用力与反作用力。存在作用力与反作用力。 第04章理想流体动力学50 适合于控制体形式动量方程推导如下：适合于控制体形式动量方程推导如下： 对于定常流动，同一位置的所有参数不对于定常流动，同一位置的所有参数不 随时间改变，质量为常数。随时间改变，质量为常数。 )( 12 vvQF 取控制体积取控制体积V，其质量为，其质量为 )( 12 ttQQdtVm vQv t tQ t vm t vm F dd d d

38、d d d )(d 第04章理想流体动力学51 为了计算方便，控制面通常这样来选取：为了计算方便，控制面通常这样来选取： （）边界面或流面。这些面上没有动量进出，（）边界面或流面。这些面上没有动量进出， 因而动量的通量等于零；因而动量的通量等于零； （）速度及压力分布已知的面。（）速度及压力分布已知的面。 )( 12xxx vvQF 写成分量形式写成分量形式 )( 12yyy vvQF 第04章理想流体动力学52 实例六实例六 实例一实例一 流体对弯管管壁的压力流体对弯管管壁的压力 水平放置的一段弯管。水平放置的一段弯管。 平均流速平均流速 流入，流入， 流出。流出。 1 U 2 U 设流体对

39、管壁的作用力为设流体对管壁的作用力为 , ,管壁对流体的作用为管壁对流体的作用为R w P 图413 取管壁和截面取管壁和截面1 1、2 2组成的封闭面为控制面组成的封闭面为控制面 对此控制面内流体应用动量定理对此控制面内流体应用动量定理 112221 () w ppPGQ UU 单位时间通过控制面的流体动量的变化单位时间通过控制面的流体动量的变化 第04章理想流体动力学53 因此：因此：112221 () w RPppQ UUG 即即11112222 ()()RpU UpUUG 如重力比其他各项小许多，则如重力比其他各项小许多，则 略而不计。略而不计。G 1 U 2 U 2 U 第04章理想

40、流体动力学54 二、动量矩定理二、动量矩定理 理想流体作定常运动时的动量矩定理：理想流体作定常运动时的动量矩定理： 即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力 对同一点或轴的力矩之和：对同一点或轴的力矩之和： () yxnz xvyvv dM () zynx yvzvv dM () xzny zvxvv dM () yxnz xvyvv dM 第04章理想流体动力学55 1 U 2 U 2 U 第04章理想流体动力学56 实例七实例七 实例二实例二 射流对倾斜平板的冲击力射流对倾斜平板的冲击力 图4-14俯视 厚为厚为o的二元的二元 流束以向平板流束以向平

41、板 AB冲击，流速与冲击，流速与 平板的夹角为平板的夹角为， 求流体对平板的求流体对平板的 作用力。作用力。 沿平板切向和法向取坐标。整个射流暴露大气中，沿平板切向和法向取坐标。整个射流暴露大气中， 故流体中压力处处为大气压力故流体中压力处处为大气压力 忽略重力的影响，由 忽略重力的影响，由 流线流线伯氏方程可知：伯氏方程可知： V1=V =V 解：解： 第04章理想流体动力学57 流出与流入控制面的动量之差等于作用于流出与流入控制面的动量之差等于作用于 控制面内流体之外力。平板给流体的反力是控制面内流体之外力。平板给流体的反力是 外力之一。外力之一。 图4-14俯视 目的是求流体作用于平板目

42、的是求流体作用于平板 上的力上的力 ，首先求出，首先求出 再由作用力与反作用力的再由作用力与反作用力的 关系得关系得 R w P w RP 重力在重力在xyxy平面内无分量，整个控制面上大气压平面内无分量，整个控制面上大气压 力的合力为零。平板给流体的反力力的合力为零。平板给流体的反力 的法向的法向 分量分量 ，而切向分量（理想流体），而切向分量（理想流体） w P n P 第04章理想流体动力学58 1 1 12220 ()( cos )0v v bvv bv vbP 0 0sin n vb vP 01 122 vbv bv b 列立列立方向和方向的动量方程，有：方向和方向的动量方程，有：

43、由连续性方程有由连续性方程有 0RP 2 0 sin nn RPv b (4-38) 联立有联立有: 10 1 cos 2 bb 20 1 cos 2 bb b0b1+b2 (c)(c) 第04章理想流体动力学59 可以可以看出看出,当当为锐角时为锐角时12， ，因在拐弯曲 因在拐弯曲 率小的那边，流体能顺地流过去，故有更多的流率小的那边，流体能顺地流过去，故有更多的流 体拥向这边，使得曲率小的这边流束厚。体拥向这边，使得曲率小的这边流束厚。 式中：式中： 为流体对平板作用的切向分力为流体对平板作用的切向分力(为零为零)。 总冲击力总冲击力n沿平板法向。沿平板法向。 1、2: :流束冲击平板后

44、分为两股流束的厚度流束冲击平板后分为两股流束的厚度 第04章理想流体动力学60 对对O点应用动量矩定理来求点应用动量矩定理来求n,作用点离开作用点离开O点的点的 距离。规定反时针为正距离。规定反时针为正, ,反之为负。反之为负。 O处进流通过处进流通过O点，动量点，动量 矩为零。矩为零。 1处出流对处出流对O点的动量矩为点的动量矩为 1 111 2 b v b v 2 2处出流对处出流对O点的动量矩为点的动量矩为 2 222 2 b v b v n n对对O点之力矩为点之力矩为 n P e 列出动量矩方程式列出动量矩方程式 1 111 2 b v b v 2 222 2 b v b v( )-

45、 -0= n P e n P 第04章理想流体动力学61 0 tan 2 b ec 将式（将式（4-384-38）和式）和式(c)(c)的结果代入上式，并加以的结果代入上式，并加以 整理，可得整理，可得 式中的负号表示式中的负号表示n作用点位于作用点位于轴的负向上。轴的负向上。 如图中如图中Rn所示。所示。 第04章理想流体动力学62 实例八实例八 实例三实例三 气垫船基本原理气垫船基本原理 顶部进气从底部向周围喷出。喷出宽度为顶部进气从底部向周围喷出。喷出宽度为0 0 速度速度0 0与底部水平线成与底部水平线成的夹角，然后转为水的夹角，然后转为水 平向两侧喷出。船自重，底面积。平向两侧喷出。

46、船自重，底面积。 试求试求: :底部间隙和艇重底部间隙和艇重 量之间的关系。量之间的关系。 图图4 41515 设艇底压力为，以右边喷柱设艇底压力为，以右边喷柱( (单位厚度单位厚度) )为讨为讨 论对象，取控制体如图，沿水平方向列动量方程论对象，取控制体如图，沿水平方向列动量方程: : 解：解： 第04章理想流体动力学63 艇自重全部由气垫所承担，即艇自重全部由气垫所承担，即 2 00 v b x方向流出动量为方向流出动量为 2 00 cosv b 流进动量为流进动量为 x方向受气垫压力为方向受气垫压力为ph(相对压力相对压力) 2 00 v b 2 00 (cos )v bph 则则: :

47、 （a） 图图4 41515 第04章理想流体动力学64 将将代入式（代入式（a）得）得: : 2 00 (1cos ) S hv b W (4-40)(4-40) 0 (1cos) S hk W 或写成或写成 (4-41)(4-41) 2 000 kv b式中：式中： 为喷出的流体动量，由风扇的功率所决定。为喷出的流体动量，由风扇的功率所决定。W W 越大则间隙越小越大则间隙越小, ,增大则增大。故艇增大则增大。故艇 的形状较扁平以增大的形状较扁平以增大S.S. 第04章理想流体动力学65 实例九实例九 实例四实例四 滑行艇的基本原理滑行艇的基本原理 设滑行艇与水平面夹角为设滑行艇与水平面夹

48、角为，水速，水速0 从右向左流动。水原来深度为从右向左流动。水原来深度为0，流经滑行艇，流经滑行艇 后分为两部分：后分为两部分： 一部分宽度为一部分宽度为，以速度，以速度 2沿艇首喷出，沿艇首喷出， 试求试求: :作用在滑行艇上的力。作用在滑行艇上的力。 另一部分水深为，以速另一部分水深为，以速 度度1向艇尾流去。向艇尾流去。 图4-16 第04章理想流体动力学66 自由表面上处处为大气压力自由表面上处处为大气压力0（艇底除外）（艇底除外） 由由流线流线伯努利方程，可得：伯努利方程，可得：120 艇体反力在方向分量为艇体反力在方向分量为sin 由连续方程知：由连续方程知： 0 2 0 v h尾部向后流出动量为尾部向后流出动量为 2 0 cosv首部向前在方向流出的动量为首部向前在方向流出的动量为 首部由前方流进动量首部由前方流进动量(沿沿x负向负向) 2 00 v h 222 0000 cossinv hvv hp 水平方向动量方程：水平方向动量方程： 第04章理想流体动力学67 : : 艇对流体的作用力。负值为其方向与图艇对流体的作用力。负值为其方向与图 中方向相反。图示的正好就是流体对滑行艇中方向相反。图示的正好就是流体对滑行艇 的作用力。的作用力