采样及其应用

1、采样及其应用采样及其应用 要讨论的问题：要讨论的问题： 在什么条件下，连续时间信号可以由其离散时间样本在什么条件下，连续时间信号可以由其离散时间样本 来表示来表示? 如何从样本恢复出原来的连续时间信号？即样本点如如何从样本恢复出原来的连续时间信号？即样本点如 何抽取才能保证连续时间信号的不失真？何抽取才能保证连续时间信号的不失真？ 连续信号如何离散化？连续信号如何离散化？ 离散信号的再抽样。离散信号的再抽样。 1. 抽样抽样 从连续时间信号中提取离散样本的过程。从连续时间信号中提取离散样本的过程。 一、抽样的概念一、抽样的概念 抽样即时间轴上离散化的过程。抽样若按抽样间隔来分，抽样即时间轴上离

2、散化的过程。抽样若按抽样间隔来分， 可分为均匀抽样与非均匀抽样。可分为均匀抽样与非均匀抽样。 我们讨论的是均匀抽样。我们讨论的是均匀抽样。 如何从连续时间信号中提取离散样本？如何从连续时间信号中提取离散样本？ 一个样本相同，信号不同的例子。一个样本相同，信号不同的例子。 用信号样本表示连续时间信号用信号样本表示连续时间信号 在没有任何约束的条件下，离散时间样本不能唯一在没有任何约束的条件下，离散时间样本不能唯一 地表示连续时间信号。因为有无限多个信号都可以地表示连续时间信号。因为有无限多个信号都可以 产生一组给定的样本值。产生一组给定的样本值。 一个连续时间信号必须在某一种条件下才能由其样本一

3、个连续时间信号必须在某一种条件下才能由其样本 来表示。来表示。 2. 抽样的必要性抽样的必要性 对连续信号而言，随着数字处理技术的发展，越来越对连续信号而言，随着数字处理技术的发展，越来越 迫切地要求连续信号的离散化。迫切地要求连续信号的离散化。 看似连续的信号是可以由其离散的样本值来表征的。看似连续的信号是可以由其离散的样本值来表征的。 T-采样间隔，采样间隔， s=2 /T为抽样频率。为抽样频率。 二、理想抽样二、理想抽样 理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号进行理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号进行 抽样。抽样。 其原理图如下：其原理图如下： n nTttp)()( )(t

4、x )(tx p n nTttp)()( n p nTttxtptxtx)()()()()( )()( n nTtnTx )()()(tptxtx p 时域分析：时域分析： 频域分析频域分析 ) 2 ( 2 )( k T k T jP )()( 2 1 )( jPjXjX P k sP kjX T jX)( 1 )( )()(jXtx 这表明：对连续时间信号在时域理想抽样，就这表明：对连续时间信号在时域理想抽样，就 相当于在频域以抽样频率相当于在频域以抽样频率 s为周期进行延拓，为周期进行延拓， 幅值减小幅值减小1/T。要使频谱不混迭，就必须使信。要使频谱不混迭，就必须使信 号带限，且号带限，

5、且 Ms MMs 2 这就是时域抽样的约束条件。这就是时域抽样的约束条件。 设设 是某一个带限信号，在是某一个带限信号，在| | M时，时，X（j ）=0。 如果抽样频率如果抽样频率 s2 M ，其中，其中 s 2 /T, 那末那末 就唯就唯 一地由其样本一地由其样本 所确定。所确定。 已知这些样本值，我们能用如下办法重建：让抽样后的已知这些样本值，我们能用如下办法重建：让抽样后的 信号通过一个增益为信号通过一个增益为T, 截止频率大于截止频率大于 M，而小于，而小于 （ s M）的理想滤波器，该滤波器的输出就是）的理想滤波器，该滤波器的输出就是 . 该定理称为奈斯特定理该定理称为奈斯特定理,

6、 抽样频率称为奈斯特率。抽样频率称为奈斯特率。 )(tx )(nTx )(tx )(tx *抽样定理抽样定理 抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵循抽样抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵循抽样 定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来表征。定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来表征。 将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离散化必将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离散化必 须满足三个条件：须满足三个条件： 即：即： 1. 带限于带限于 M 。 2. s2 M 3. M c（ s M）。可取）。可取 c s /2. 利用内插由样本重建信号利用内插由样本重建信号 )()()

7、(thtxtx pr )()()(jHjXjX pr )()()( n p nTtnTxtx n r nTthnTxtx)()()( 内插恢复的时域分析内插恢复的时域分析 取c=s/2=/T 第一个过零点的值/c=T 内插示意图 当然，在实际实现信号抽样时，理想抽样是做不到的，当然，在实际实现信号抽样时，理想抽样是做不到的， 通常采用的是零阶保持抽样。通常采用的是零阶保持抽样。 零阶保持零阶保持 )(tx)( 0 tx )(tp )(tx )(txp )( 0 th T0 )( 0 tx 零阶保持电路零阶保持电路 例：已知例：已知 带限于带限于100Hz， 带限于带限于400Hz， 若对下列信

8、号进行抽样，试求信号的抽样率。若对下列信号进行抽样，试求信号的抽样率。 )( 1 tx )( 2 tx )2/()()( 211 txtxty )()2()( 211 txtxty )()()( 211 txtxty )()()( 211 txtxty )(tp )(tx )(txp )( 0 th T0 )( 0 tx )( )( jH th r r )(tr 零阶保持内插恢复零阶保持内插恢复 欠抽样的效果：混叠现象欠抽样的效果：混叠现象 以上我们讨论的都是满足抽样定理要求的情况。以上我们讨论的都是满足抽样定理要求的情况。 如果对带限信号抽样时，抽样频率不够高或抽样间隔如果对带限信号抽样时，

9、抽样频率不够高或抽样间隔 过大，就会出现频谱的混迭，这一现象就称为欠抽样。过大，就会出现频谱的混迭，这一现象就称为欠抽样。 欠抽样使信号发生了频谱的交叉欠抽样使信号发生了频谱的交叉。 但欠抽样并不是百害而无一利的，在实际应用中，但欠抽样并不是百害而无一利的，在实际应用中， 利用欠抽样可使高频变化的信息映射到低频变化的信利用欠抽样可使高频变化的信息映射到低频变化的信 号上。这为高频信号的测量带来了便利。如频闪仪和号上。这为高频信号的测量带来了便利。如频闪仪和 抽样示波器等。可参看书后习题抽样示波器等。可参看书后习题7.38。 问题：一个连续时间周期信号经抽样后的序列是周期的问题：一个连续时间周期

10、信号经抽样后的序列是周期的 吗？若要保持周期性是否有条件限制？吗？若要保持周期性是否有条件限制？ N m T Ts 0 Ts为抽样间隔，为抽样间隔，T0为抽样频率。为抽样频率。 频闪效应：频闪效应： 0 旋转圆盘旋转圆盘 频闪器频闪器 时域理想抽样的傅立叶变换时域理想抽样的傅立叶变换 )(tf 0t )(F 0 1 )(tP ) 1 ( 0t0 )(tf s 相 乘 相 卷 )( s s s s s 0 0 t s T )( s F s T 1 FT FT FT 时域抽样 频域周期重复 )()( n sT nTtt n ss np)()( 非理想抽样信号的傅立叶变换 )(tf 0t )(tP

11、0 t )(tfs 0 t )(F 0 )(P 0 0 s T 2 2 s s s s 2 2 s E s E 1 FT FT FT 乘 卷 根据连续时间傅立叶变换时域频域的对偶性，我们也可根据连续时间傅立叶变换时域频域的对偶性，我们也可 对信号的频域进行抽样，使连续的频谱变为离散的谱线。对信号的频域进行抽样，使连续的频谱变为离散的谱线。 )(F 0 )( ) 1 ( )( 1 F 0 相 乘 )(tf 0t IFT IFT1 )( t T 1 1 )(tf 0t IFT 卷 积 1 1 1 1 T 1 T 0t 1 1 1 0 1 时域的周期性时域的周期性 频域的离散性频域的离散性 时域的离

12、散性时域的离散性 频域的周期性频域的周期性 时限信号时限信号 频域非带限频域非带限 带限信号带限信号 时域非时限时域非时限 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理 随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将 连续信号转化为离散信号处理。连续信号转化为离散信号处理。 )(txc nxd nyd )(tyc 连续时间到 离散时间转换 连续时间到 离散时间转换 离散时间系统 C/DD/C )(nTxnx cd )(nTyny cd )(txc )(nTxnx cd )(nTyny cd )(tyc C/D 转换 D/C 转换 离

13、散时间系统 一、一、C/D转换转换 n nTttp)()( )(txc )(txp 从冲击串到从冲击串到 序列序列 )(nTxnx c C/D转换转换 n nTttp)()( n c cp nTttx tptxtx )()( )()()( )()( n c nTtnTx )()()(tptxtx cp )(nTxnx c 时域分析时域分析 频域分析频域分析 n nTj cP enTxjX )()( n nj c n nj d j d enTx enxeX )( )( )/()(TjXeX P j d T k scP kjX T jX)( 1 )( k c j P TkjX T eX)/ )2(

14、 1 )( 0 T 2T 3T 0 1 2 3 )(txc )(tx p nx )(jX c 1 1 1 )(jX p )( j d eX T 2 0 20 nyd D/C转换转换 二、二、D/C转换转换 从离散时间序列从离散时间序列 到冲激串的转换到冲激串的转换 )(ty p T 2 S 2 S )(tyc D/C变换整个是变换整个是C/D变换的逆过程。变换的逆过程。 )()(TYY dP )(tx c nx d ny d )(ty P )(ty c C/D D/C j d eH T 2 S 2 S 连续时间信号的离散化处理连续时间信号的离散化处理 三、三、 连续时间信号的离散化处理连续时间

15、信号的离散化处理 )(txc )(tyc )(jH c )( jH )()()( j d j d j d eHeXeY )()()(THTXTY ddp )()(jXTX pd )()()(THjXTY dpp )( )()(jHjXjY pc 2/|)()( 2/|0 sdP s THjTX 2/|)()( 2/|0 sdc s THjX )(jH c 2/|)( 2/|0 sd s TH 例例1：数字微分器：数字微分器 |0 | )( c c j jH |)()( T jeH j d 即：即： |)()( T HH c 带限微分带限微分 c c | )(|jHc c c 2 2 )(jHc

16、 例例2： 半抽样间隔延时半抽样间隔延时 设设 带限于带限于 ，要求，要求 )(txc c 2 ),()( T txtyc 320 | )(| j d eH 2|0 | )( s c c c j c e jH 离散时间信号的采样离散时间信号的采样 一、脉冲串采样一、脉冲串采样 n kNnnp nxnxp n kNnkNx npnxnx p deXePeX jjj p )()( 2 1 )( )( 2 1 0 )( 2 )( N k s j k N eP 1 0 )( )( 1 )( N k kjj p s eX N eX 二、离散信号抽取与内插二、离散信号抽取与内插 1。抽取。抽取从序列中提取

17、每第从序列中提取每第N个点上样本的过程。个点上样本的过程。 nNxnNxnxnxnx pbp n nj b j b enxeX )( n nj p enNx nNm 令令 )()( N j p m N m j p j b eXemxeX 抽取又称为减抽样抽取又称为减抽样, 内插又称为增抽样。内插又称为增抽样。 减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。 增抽样虽降低了信息的传输率，但节省了传输频带。增抽样虽降低了信息的传输率，但节省了传输频带。 2。内插。内插 其他 的整倍数为 0 Nn N n x nx d p )()( Nj d j p eXeX 对对 以以T抽样再以抽样再以N抽取，则相当于对抽取，则相当于对 以以NT为间隔为间隔 来抽取。来抽取。 )(txc)(txc 例：某一离散时间序列例：某一离散时间序列