同济大学高等数学上D复合求导PPT学习教案

1、会计学1 同济大学高等数学上同济大学高等数学上D复合求导复合求导 )(),(ttfz 定理定理. 若函数 ,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d z 则复合函数 证证: 设 t 取增量t , v v z u u z z )()( 22 vu)(o 则相应中间变量 且有链式法则 vu tt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v , 第1页/共22页 ,0t令,0,0vu则有 t o )( ( 全导数公式全导数公式 ) t v v z t u u z t z t o

2、 )( z vu tt )()( 22 vu )( o )()( 22 t v t u 0 (t0 时,根式前加“”号) t v t v t u t u d d , d d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d 第2页/共22页 若定理中 ),(),(vuvuf在点 例如例如: ),(vufz tvtu , 易知: ,0)0 , 0( )0 , 0( u f u z 但复合函数 ),(ttfz 2 1 d d t z t v v z t u u z d d d d 01010 0)0 , 0( )0 , 0( v f v z 偏导数

3、连续偏导数连续减弱为 偏导数存在偏导数存在, 2 t 0, 22 22 2 vu vu vu ,00 22 vu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立. 第3页/共22页 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 . t z d d 321 fff 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, ),(, ),(, ),(yxvyxuvufz x z 1211 ff 2221 ff y z z z wvu vu yxyx ttt t u u z d d t v v z d d t w w z d d x u u z x v v z y

4、u u z y v v z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu 第4页/共22页 ),(, ),(yxvvxfz 当它们都具有可微条件时, 有 x z 121 ff y z 22 f fz x yx 注意注意: 这里 x z x f x z 表示固定 y 对 x 求导, x f 表示固定 v 对 x 求导 口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f x v v f y v v f 与不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共22页 ,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 解解: x z veusin )

5、cos()sin(yxyxye yx y z )cos()sin(yxyxxe yx veusin x u u z x v v z veucos y u u z y v v z veucos y1 x1 z vu yxyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页 ,sin,),( 2 222 yxzezyxfu zyx y u x u ,求 解解: x u 222 2 zyx ex yxyx eyxx 2422 sin22 )sin21(2 zyx yx u y u 222 2 zyx ey yxyx eyyxy 2422 sin4 )cossin(2 x f x z z f 2

6、22 2 zyx ez y f y z z f 222 2 zyx ez yxsin2 yx cos 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页 ,sintvuz. d d t z z tvu tt t z d d t ev ttte t cos)sin(cos t u u z d d t v v z d d t z 求全导数 , t eu ,costv 解解: tusintcos 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 第8页/共22页 为简便起见

7、, 引入记号 , 2 121 vu f f u f f ),( 1 zyxzyxf f 具有二阶连续偏导数, , ),(zyxzyxfw 求 ., 2 zx w x w 解解: 令 ,zyxvzyxu x w w vu zyxzyx ),(vufw 1 1 fzy f 2 ),( 2 zyxzyxfzy 则 zx w 2 1 11 f 222 2 1211 )(fyfzyxfzxyf yxf 12 2 fy zy1 21 f yxf 22 21 ,ff 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共22页 (当 在二、三象限时, ) x y arctan 二阶偏导数连续,求下列表达式在 ),(

8、yxfu 2 2 2 2 22 )2(,)()() 1 ( y u x u y u x u 解解: 已知 sin,cosryrx u r yxyx 极坐标系下的形式 x r r u x u (1) , 则 x y yxrarctan, 22 r x r u , r x x r x 2 x y 2 )(1 x y 22 yx y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x u 2 r yu r u r u sin cos 第10页/共22页 y u y r r u 222 1 )(1 , yx x yr y y r x y x r u r u cos sin y u 2 2 222 )( 1 )()

9、()( u r r u y u x u 题目 目录 上页 下页 返回 结束 r y r u 2 r xu u r yxyx 第11页/共22页 已知 r sin ) ( r u r u sin cos )( x u x 2 2 )2( x u r u r u x u sin cos u r yxyx ) ( rx u ) ( x u r u r u sin cos 2 2 2 cos r u 2 cossin r u cos r sin x u rr u cossin 2 2 2 2 2 sin r u 2 rr u 2 sin 2 cos) ( r 注意利用注意利用 已有公式已有公式 机动

10、目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共22页 2 2 y u 2 2 2 2 y u x u 2 1 r 2 2 x u 2 2 2 22 2 2 2 sincossin 2cos r u rr u r u rr u r u 2 2 sincossin2 rr u r u 2 2 coscossin2 同理可得 2 2 r u 2 2 2 1 u r r u r 1 2 2 )( u r u r r r 2 2 2 22 2 2 2 coscossin 2sin r u rr u r u 题目 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页 设函数 ),(, ),(, ),(yxvyxu

11、vufz 的全微分为 y y z x x z zddd x x v v z x u u z d)( y y v v z y u u z d)( u z v z u z 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(y y u x x u )dd(y y v x x v 则复合函数 ) (fz ),(, ),(yxyx ud v z vd 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页 )cos( )sin(yxyxe yx 例例1 . ,sinyxvyxuvez u ., y z x z 求 利

12、用全微分形式不变性再解例1. 解解: ) (dd z uveudsin )cos()sin(yxyxye yx )cos()sin(yxyxye x z yx )cos()sin(yxyxxe y z yx 所以 veusin vveudcos )cos( )sin(yxyxe yx )(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxe yx )d(dyx xd yd )dd(yxxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 例如例如, , ),(, ),(yxvvyxfuu vyx yx x u 1

13、f 3 f ; 1 y u 2 f 3 f 2 2. 全微分形式不变性 , ),(vufz 对 不论 u , v 是自变量还是因变量, vvufuvufz vu d),(d),(d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页 解答提示解答提示: P31 题7 v z 2 )(1 1 y x 1 v x x z y z v y )( 2 y x ) 1( y 1 2 )(1 1 y x 22 yx xy 22 vu u P31 题7; 8(2); P73 题11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuyvux y x z,arctan 第17页/共22页 P31 题8(2) x u

14、 y 1 1 f 1 1 f y y u 1 f )( 2 y x 2 f z 1 z u 2 f )( 2 z y 21 2 1 f z f y x 2 2 f z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 z y y x fu, 第18页/共22页 1 f x z y e 1 f 2 f yx z 2 y e 11 f y ex 2 y e 13 f y ex 21 f 23 f 作业作业 P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 y exuyxufz, ),( 第19页/共22页 ,1),( 2 xy yxf,2),( 2 1 xyxf xy 1. 已知 求 .),( 2 2 xy yxf 解解: 由 1),( 2 xxf 两边对 x 求导, 得 02),(),( 2 2 2 1 xxxfxxf xxxf2),( 2 1 1),( 2 2 xxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页 ) )1 , 1(, 1() 1 (ff 1 )( d d 3 x x x 1)1 , 1 ( f 1 d d )(3 2 x