二重积分计算中的积分限的确定.doc

1、二重积分计算中积分限的确定摘要 :二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词 :二重积分累次积分积分限积分次序引言： 高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时， 对于积分限的确定学生难以掌握。 本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。1高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为: 1。(1) 画出积分区域(2) 确定积分区域是否为 X-型或 Y-型区域 ,如既不是 X-型也

2、不是 Y-型区域 ,则要将积分区域化成几个 X-型和 Y-型区域 ,并用不等式组表示每个 X-型和 Y-型区域 .(3) 用公式化二重积分为累次积分 .(4) 计算累次积分的值 .在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得 .2教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限 ,限内画条线 ,先交下限取 ,后交上限见 .下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变

3、量我们要根据积分区域确定其上下限 (所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限 .3例题解析例 1计算xydxdy,其中 D 是由直线 x2, y1, yx 所围成的区域 .D解 :作出积分区域D 的图形yy=xy=1xx=2在这个例题中我们既可以选择先对x积分也可以选择先对y积分 .若我们选择先对x积分 , 那么根据口诀需要先把后积分的变量y的积分限根据积分区域先定下来 . 从积分区域图可以

4、看出y最小取到 1最大取到 2 .然后我们在y的限y 1 和y 2 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在y 1和y2内,则其左边总是和直线xy 相交 ,从而 x 的积分下限即为 y ,而右边总是和直线x2相交,从而 x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:2ydy221 y2 )dy ( y 2 1 y 4 ) 1211xydxdyxdxy(21y1288Dyy=xy=1xx=2若我们选择先对y 积分也是可以的。 先把后积分的变量x 的积分限根据积分区域确定下来。从积分区域图易见x 最小取到1 最大取到 2。然后在 x1 和 x 2 内画一条和这两条直线平行的直

5、线，只要这条线画在x 1 和 x2内，则其下边总是和 y1 相交，而上面总是 yx 相交。从而 y 这个积分变量的下限为1 上限为 x 。于是该二重积分也可转化为下面的二次积分来计算：2x2x3xx 4x221xydxdyxdxydy()dx1D111228418例 2计算xydxdy，其中 D 是由抛物线 y 2x 和直线 yx2所围成的区域。D解 首先作出积分区域图y=x-2y2=x在本题中若我们选择先对 x 积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该二重积分化为二次积分为：2y2122y5 dy5xydxdyydy2xdx2 y( y 2)5D1y18y=x-2y2=x在本题中若我

6、们选择先对y 积分，则根据积分区域图我们先把x 的上下限定下来，由图可见 x 最小取到 0最大取到 4 。但在 x0 和 x4 这两条直线之间画和他们平行的直线的时候发现在x1这条直线的左右两侧情况有所不同：在 x1 的左侧所画直线上下均与抛物线y 2x 相交，而右侧所画直线下面是与直线yx 2 相交上面是与抛物线相交。 从而本题若选择先对y 后对 x 积分则需要将积分区域从直线 x1处分割成两半来处理：1xydy4xxydxdyxdxxdxydyD0x1x 2显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般来讲我们会选择先对x 后对 y 积分。还有的情况恰与这种情况相反，

7、那么我们为了简便起见一般会选择先对 y 后对 x 积分。比如：例 3：计算xydxdy，其中 D 是由抛物线 yx 2 和直线 yx 2 所围成的区域。D解 首先作出积分区域图y=x2y=x+2在本题中若我们仍然选择先对x 积分，则根据积分区域图易知：积分变量y 的最小取到 0 最大取到4。但是在y0和 y4 这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线y1的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同：在直线 y1的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。在直线y1的上侧，所画直线左端与直线相交右端与抛物线相交。于是二重积分转化为累次积分进行计算时要将积分区域沿直线y1分割成两块来处

8、理：1y4yxydxdyydyxdxydyxdx0y1y2Dy=x2y=x+2下面我们选择先对y 积分看是否可以起到简化计算的效果：从积分区域图可以看到积分变量x 最小取到 -1 最大取到 2，在直线 x1和 x2 之间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线yx2 相交下端总是与抛物线 yx 2 相交，从而二重积分化为累次积分如下：2x 21 211421234 x24x x5)dxx432xx6xydxdyxdx2 ydy( x24x6D1x2 131558以上两个例题是根据积分区域选择积分次序以简化计算，积分次序的选择有时还要根据被积函数来选择，比如下面这个例题：例 4：计算x2 e

9、 y2 dxdy ，其中 D 是由直线 x 0, y 1及 y x 所围成的区域。D解 先画出积分区域图y=1y=x若我们选择先对x 积分，根据积分区域图，积分变量y 最小取到0 最大取到1，在直线 y0和 y1之间画平行于他们的直线，该直线左端总是与直线x 0相交右端总是与直线xy 相交，从而二重积分化为累次积分为：x2ey2dxdy1ey2y 2dx1 1 3ey21 1dyx3ydy63eD000本题中若我们选择先对y 积分，则有：x2 e y2dxdy1x 2dx1e y2dyD0x由于 e y 2的原函数不能用初等函数表出，因此我们无法求出二重积分的值！综上所述，对于初学者在将二重积

10、分转化为累次积分时，应该依积分区域和被积函数的具体情况选择积分的先后顺序，方能达到简化计算的目的。参考文献：【 1】杜先能 孙国正。高等数学 M 。安徽大学出版社， 2004【 2】华东师范大学数学系。数学分析M 。高等教育出版社， 2004The integral limit s ascertaining in double integral s calculation( zhaojuan chenhao)(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,AnAbstract:That dual accumulate points calculates ascertaining that mia priority also is a difficult point to the begainnermat.ascThertainingmainbodythe ofmeththi simple and