梁的剪力图与弯矩图PPT学习教案

1、会计学1 梁的剪力图与弯矩图梁的剪力图与弯矩图 第1页/共86页 火车车轴可以简化为两端外伸梁火车车轴可以简化为两端外伸梁 可以简化为简支梁的吊车大梁可以简化为简支梁的吊车大梁 第2页/共86页 第3页/共86页 第4页/共86页 第5页/共86页 C 第6页/共86页 第7页/共86页 第8页/共86页 第9页/共86页 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆 件上的外力相平衡；件上的外力相平衡； 在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同 的规律变化；的规律变化； 第10页/共86页 第11页/共86页 第12

2、页/共86页 第13页/共86页 第14页/共86页 FQ FQ 5.2.3 剪力和弯矩的正负号规则剪力和弯矩的正负号规则 第15页/共86页 5.2.4 截面法确定指定横截面上截面法确定指定横截面上 的剪力和弯矩的剪力和弯矩 00，MFy 应用截面法确定某一个指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。 第16页/共86页 5.2.4 截面法确定指定横截面上截面法确定指定横截面上 的剪力和弯矩的剪力和弯矩 【例题例题5.1】 图示之一端固定另一端自由的悬臂梁悬臂梁(cantilever

3、 beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力 第17页/共86页 解：解：1求截面C上的剪力和弯矩 用假想截面从截面C处将梁截开，取右段为研究对象 ，在截开的截面上标出剪力FQC和弯矩MC的正方向，如 图（b）所示。 由平衡方程 00 PQ ，FFF Cy 00 P ，lFMMM OCC PQ FF C lFlFlFlFMM OCPPPP 2 第18页/共86页 解：解：2求截面D上的剪力和弯矩 从截面D处将梁截开，取右段为研究对象。假设D、B两 截面之间的距离为，由于截面D与截面B无限接近，且位 于截面B的左侧，故所截梁段的长度。在截开的横截面 上

4、标出剪力FQD和弯矩MD的正方向，如图（c）所示。由 平衡方程 QDP FF 00 PQ ，FFF Dy 00 P ，FMM DD 00 PP FFM D 第19页/共86页 【例题例题5.1】 图示之一端固定另一端自由的悬臂梁悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力 第20页/共86页 在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。 梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。 描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分 别称为剪力方程剪力方程(equation of shearing

5、force)和弯矩弯矩 方程方程(equation of bending moment)。 第21页/共86页 【例题例题5.2】 图示之一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试写出该梁的剪力方程和弯矩方程。 第22页/共86页 解：解：1确定约束力确定约束力 因为只有铅垂方向的外力，所以支座因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束的水平约束 力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支 座座A与支座与支座B处铅垂方向的约束力相

6、同。于是，根据处铅垂方向的约束力相同。于是，根据 平衡条件不难求得：平衡条件不难求得： AB FFql 第23页/共86页 2. 确定控制面和分段 因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变) ，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁 的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述， 因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。 第24页/共86页 3建立Axy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Axy坐标系，如图a所示。 第25页/共86页 4确定剪力方程和弯矩方程 以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截 开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的正方

7、向，如图（b）所示。 由左段梁的平衡条件 00 QR xFqxFF Ay , 0 2 0 R ， x qxxFxMM A 第26页/共86页 据此，得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为 QR 02 A FxFqxqlqxxl lx qx qlxxM20 2 2 这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。 第27页/共86页 第28页/共86页 第29页/共86页 B A 简支梁受力的大小和方向如图示简支梁受力的大小和方向如图示 。 例题例题2 1kN.m 2kN 1.5m1.5m1.5m 试画出：试画出：其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值

8、。并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。 解解：1确定约束力确定约束力 求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FRA0.89 kN , FRB1.11 kN FRA FRB 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 第30页/共86页 例题例题2 解解：2确定控制面确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的在集中力和集中力偶作用处的 两侧截面以及支座反力内侧截面两侧截面以及支座反力内侧截面 均为控制面，即均为控制面，即A、B、C、D、 E、F各截面均为控制面。各截面均为控制面。 3建立坐标系建立坐标系 建立建立FQx和和Mx坐标系坐标系 x FQ/kN O M/kN.m O B A 1kN.m 2kN 1.

9、5m1.5m1.5m FRB FRA 第31页/共86页 例题例题2 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷作因为梁上无分布载荷作 用，所以剪力用，所以剪力FQ图形均为平图形均为平 行于行于x轴的直线；弯矩轴的直线；弯矩M图形图形 均为斜直线。于是，顺序连均为斜直线。于是，顺序连 接接FQx和和Mx坐标系中的坐标系中的a 、b、c、d、e、f各点，便得各点，便得 到梁的剪力图与弯矩图。到梁的剪力图与弯矩图。 x FQ/kN O x M/kN.m O 解解：4应用截面法确定控应用截面法确定控 制面上的剪力和弯矩值，并制面上的剪力和弯矩值，并 将其标在将其标在FQx和和Mx坐标

10、坐标 系中。系中。 1.11 f 0.89 d d, e 1.665 f 0 c 0.335 b 1.335 1.11 e b0.89,c a0 a 0.89 B A 1kN.m 2kN 1.5m1.5m1.5m FRB B C DE FRA 第32页/共86页 例题例题2 5确定确定剪力与弯矩的最剪力与弯矩的最 大绝对值大绝对值 从图中不难得到剪力与弯从图中不难得到剪力与弯 矩的绝对值的最大值分别矩的绝对值的最大值分别 为为 ( (发生在发生在EFEF段段) ) ( (发生在发生在D D、E E截面上截面上) ) B A 1kN.m 2kN 1.5m1.5m1.5m FRB B C DE x

11、 FQ/kN O x M/kN.m O 1.11 f 0.89 d d, e 1.665 f 0 c 0.335 b 1.335 1.11 e b0.89,c a0 a 0.89 FRA 第33页/共86页 例题例题2 从所得到的剪力图和弯矩从所得到的剪力图和弯矩 图中不难看出图中不难看出AB段与段与CD段段 的剪力相等，因而这两段内的剪力相等，因而这两段内 的弯矩图具有相同的斜率。的弯矩图具有相同的斜率。 此外，在集中力作用点两侧此外，在集中力作用点两侧 截面上的剪力是不相等的，截面上的剪力是不相等的， 而在集中力偶作用处两侧截而在集中力偶作用处两侧截 面上的弯矩是不相等的，其面上的弯矩是不

12、相等的，其 差值分别为集中力与集中力差值分别为集中力与集中力 偶的数值，这是由于维持偶的数值，这是由于维持DE 小段和小段和BC小段梁的平衡所必小段梁的平衡所必 需的。建议大家自行加以验需的。建议大家自行加以验 证。证。 B A 1kN.m 2kN 1.5m1.5m1.5m FRB B C DE x FQ/kN O x M/kN.m O 1.11 f 0.89 d d, e 1.665 f 0 c 0.335 b 1.335 1.11 e b0.89,c a0 a 0.89 FRA 第34页/共86页 例题3 q B A D a4a q l FAy FBy 梁由一个固定铰链支座和梁由一个固定铰

13、链支座和 一个辊轴支座所支承，但是一个辊轴支座所支承，但是 梁的一端向外伸出，这种梁梁的一端向外伸出，这种梁 称为称为外伸梁外伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部。梁的受力以及各部 分分尺寸尺寸均示于图中。均示于图中。 试画出：试画出：其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。 解：解：1确定约束力确定约束力 根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得A、F 二处的约束力二处的约束力 第35页/共86页 例题例题3 q B A D a4a q l FAy FBy C O x F Q O x M 解解：2确

14、定控制面确定控制面 由于由于AB段上作用有段上作用有 连续分布载荷，故连续分布载荷，故A 、B两个截面为控制两个截面为控制 面，约束力面，约束力FBy右侧右侧 的的C截面，以及集中截面，以及集中 力力qa左侧的左侧的D截面，截面， 也都是控制面。也都是控制面。 3建立坐标系建立坐标系 建立建立FQx和和Mx坐坐 标系标系 第36页/共86页 例题例题3 q B A D a4a q l FAy FBy O x F Q O x M 9qa/4 a 7qa/4 b d qa c qa a d b,c qa2 解解：4确定控制确定控制 面上的剪力和弯矩面上的剪力和弯矩 值，并将其标在值，并将其标在FQ

15、 x和和Mx坐标系坐标系 中。中。 第37页/共86页 例题例题3 q B A D a4a q l FAy FBy O x F Q O x M c qa 9qa/4 a 7qa/4 b d qa a d b,c qa2 5根据微分关系连根据微分关系连 图线图线 对于剪力图对于剪力图：在：在AB段段 ，因有均布载荷作用，因有均布载荷作用， 剪力图为一斜直线，于剪力图为一斜直线，于 是连接是连接a、b两点，即得两点，即得 这一段的剪力图；在这一段的剪力图；在 CD段，因无分布载荷段，因无分布载荷 作用，故剪力图为平行作用，故剪力图为平行 于于x轴的直线，由连接轴的直线，由连接c 、d二点而得，或者

16、由二点而得，或者由 其中任一点作平行于其中任一点作平行于x 轴的直线而得。轴的直线而得。 第38页/共86页 例题例题3 q B A D a4a ql FAy FBy 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对于弯矩图：对于弯矩图：在在AB段，因段，因 有均布载荷作用，图形为有均布载荷作用，图形为 二次抛物线。又因为二次抛物线。又因为q向向 下为负，弯矩图为凸向下为负，弯矩图为凸向M 坐标正方向的抛物线。于坐标正方向的抛物线。于 是，是，AB段内弯矩图的形状段内弯矩图的形状 便大致确定。为了确定曲便大致确定。为了确定曲 线的位置，除线的位置，除AB段上两个段上两个 控制面上弯矩数值外，还控制面

17、上弯矩数值外，还 需确定在这一段内二次抛需确定在这一段内二次抛 物线有没有极值点，以及物线有没有极值点，以及 极值点的位置和极值点的极值点的位置和极值点的 弯矩数值。从剪力图上可弯矩数值。从剪力图上可 以看出，在以看出，在e点剪力为零点剪力为零 。 9qa/4 a 7qa/4 b d qa a d b,c qa2 c qa e 81qa2/32 e E O x F Q O x M 第39页/共86页 例题例题3 ME q A E xE 6确定弯矩图极值点确定弯矩图极值点 的位置。的位置。 q B A D a4a ql FAy FBy 9qa/4 a 7qa/4 b d qa a d b,c q

18、a2 c qa O x F Q O x M e 81qa2/32 e E 第40页/共86页 例题例题3 7确定确定剪力与弯矩剪力与弯矩 的最大绝对值的最大绝对值 从图中不难得到剪力与从图中不难得到剪力与 弯矩的绝对值的最大值弯矩的绝对值的最大值 分别为分别为 q B A D a4a ql FAy FBy 9qa/4 a 7qa/4 b d qa a d b,c qa2 c qa O x F Q O x M e 81qa2/32 e E 第41页/共86页 例题例题3 注意到在右边支座注意到在右边支座 处，由于约束力的作处，由于约束力的作 用，该处剪力图有突用，该处剪力图有突 变（支座两侧截面

19、剪变（支座两侧截面剪 力不等）弯矩图在该力不等）弯矩图在该 处出现折点（弯矩图处出现折点（弯矩图 的曲线段在该处的切的曲线段在该处的切 线斜率不等于斜直线线斜率不等于斜直线 cd的斜率）。的斜率）。 q B A D a4a ql FAy FBy 9qa/4 a 7qa/4 b d qa a d b,c qa2 c qa O x F Q O x M e 81qa2/32 e E 第42页/共86页 x Q FQ x qa/2 qa/2 FQFQ q q M x M x q q 第43页/共86页 q q q q x FQ x FQ qa FQ M x M x qa2/2 qa2 F Q q q

20、第44页/共86页 q q FQ 第45页/共86页 第46页/共86页 O x y dx x FQFQ+ dFQ MM+d M q(x) 第47页/共86页 FQFQ+ dFQ MM+d M q(x) O x y C Fy=0: MC=0: FQqdxFQdFQ =0 M+(M+dM)FQdxqdx dx /2=0 第48页/共86页 第49页/共86页 第50页/共86页 第51页/共86页 B 第52页/共86页 第53页/共86页 第54页/共86页 第55页/共86页 第56页/共86页 第57页/共86页 节点处的平衡关系节点处的平衡关系 FN FQ FN FQ FN FQ FN

21、FQ B 第58页/共86页 B 第59页/共86页 B ql 第60页/共86页 B ql B B A C 第61页/共86页 第62页/共86页 第63页/共86页 第64页/共86页 第65页/共86页 FN FQ qa2/2 qa2/2 第66页/共86页 1.根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平 衡方程，可以确定静定梁上任意横截面上的剪力和衡方程，可以确定静定梁上任意横截面上的剪力和 弯矩。弯矩。 2.剪力和弯矩的正负号规则不同于静力学，但在建剪力和弯矩的正负号规则不同于静力学，但在建 立平衡方程时，依然可以规定某一方向为正、相反立平衡

22、方程时，依然可以规定某一方向为正、相反 者为负。者为负。 3.剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标x的函数的函数 表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数 值。值。 第67页/共86页 4.论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图， 都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要 的。的。 5.可以根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩可以根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩 图，也可以不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯图，也可以不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯 矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。 第68页/共86页 第69页/共86页 第70页/共86页 第71页/共86页 第72页/共86页 第73页/共86页 确定控制面上剪力和弯矩确定控制面上剪力和弯矩 有几种方法？怎样确定弯矩图有几种方法？怎样确定弯矩图 上极值点处的弯矩数值？上极值点处的弯矩数值？ 第74页/共86页 第75页/共86页 力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩力系简化方法应用于确定控制面