1.3平面点集的一般概念

1、一、一、 复平面点集的一般概念复平面点集的一般概念 二、二、 区域区域 三、 平面曲线平面曲线 一、一、复平面点集的一般概念复平面点集的一般概念 定义定义1 邻域邻域: :)( , 0 为为半半径径的的圆圆任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以 z 记记 作作:N(z0) N(z0)=z | |z-z0| . 0 0 0 的的去去心心邻邻域域确确定定的的点点的的集集合合为为 所所称称由由不不等等式式 z zz 记作：记作：N0(z0)=z | 0|z-z0|0: N(z0) =z0 若若z0属于属于 ，但在但在z0某邻域内除某邻域内除z0外不含外不含的点，的点， 则称则称z0为为G的

2、孤立点的孤立点 定义定义 有界集和无界集有界集和无界集 , 心心的的圆圆里里面面 中中被被包包含含在在一一个个以以原原点点为为 可可以以如如果果一一个个G点集 z 有界！有界！ z x y o 如果如果 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那么那么 为为开开 集集 定义定义3 开集与闭集开集与闭集 平面上不属于平面上不属于 的点的全体称为的点的全体称为的的余集余集； 开集开集 的余集称为的余集称为闭闭集集或开集及其边界的并集称为闭集或开集及其边界的并集称为闭集 . , , 0, 否则称为无界的否则称为无界的 称为有界的称为有界的那末那末 足足使区域的每一个点都满使区域的每一个点都满

3、即存在即存在 GMz M 二、二、 区域区域 定义定义5 区域区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称 它为一个它为一个区域区域 (1) D是一个是一个开集开集； (2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何中任何 两点都可以用完全属于两点都可以用完全属于D的一的一 条折线连结起来条折线连结起来. D加上加上D的边界称为闭域，记为的边界称为闭域，记为 D D+ D z1 z2 D 说明说明 (2) 区域的边界可能是区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立 的点所组成的的点所组成的. z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C

4、3 C (1) 区域都是开的区域都是开的. 以上基以上基 本概念本概念 的图示的图示 1 z 2 z 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点 边界边界 不包含边界！不包含边界！ (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o . , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线

5、线 代代那那末末方方程程组组 是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxx tytx 平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示: )().()()( ttiytxtzz C的实参数方程的实参数方程 C的复的复参数方程参数方程 起点起点z( ) 终点终点z( ) C C的正向：起点的正向：起点终点终点 z x y o 三、三、 平面曲线平面曲线 定义定义6 连续曲线连续曲线 , , 2 2 ty tx xy的的参参数数方方程程是是抛抛物物线线 2 )()(itttiytxz 的参数方程为的参数方程为圆圆 222 ayx ,20 ,sin ,cos t tay tax )20

6、( )sin(cos ttitaz 方方程程为为两两点点的的直直线线段段复复数数形形式式和和平平面面上上连连接接 21 zz 例如：例如： ).10( )( 121 ttzzzz 复数形式为复数形式为 复数形式为复数形式为 或或).20( taez it 例例1 1求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线: . 4)Im()3( ;22)2(; 2)1( zi ziziz 解解 .2 2 )1( 的点的轨迹的点的轨迹为为 距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx , 2)1( 22 yx.

7、 4)1( 22 yx圆方程圆方程 22)2( ziz .22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i . 22 段的垂直平分线段的垂直平分线 的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设 ,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设 ,)1(iyxzi , 41)Im( yzi . 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为 . )( , )()( , , 12121 2121 的重点的重点 称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztztt tttt

8、没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为称为 简单曲线简单曲线( (或或Jordan曲线曲线).). 重点重点 重点重点 重点重点 . , )( )( , 为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即 的的起起点点和和终终点点重重合合如如果果简简单单曲曲线线 Czz C 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 定义定义7 简单曲线简单曲线 课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线? 答答 案案 简简 单单 闭闭 简简 单单 不不 闭闭 不不 简简 单单 闭闭 不不 简简 单单 不不 闭闭 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(a

9、z )(bz 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质约当定理约当定理 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成 C, ,I( (C), ),E( (C) ) 三个互不相交三个互不相交 的点集的点集. .满足：满足： I(C) E(C) 边界边界 x y o （1）I( (C) ) 是一个有界区域是一个有界区域 （称为（称为C C的内部）的内部）. . （2）E( (C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C的外部）的外部）. . （3）C是是I( (C), ),E( (C) )的公共边界的公共边界. . 定义定义8 光滑曲线光滑曲线: . 0, )(

10、)( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于 都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxt tytxt 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . x y o x y o 特特 点点 （1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求长 定义定义9 单连通域与多连通域单连通域与多连通域: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域D, 如果在其中任作如果在其中任作 一条简单闭曲线一条简单闭曲线, 而曲线的内部

11、总属于而曲线的内部总属于D, 就称就称 为单连通域为单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称就称 为多（复）连通域为多（复）连通域. 单连通域单连通域 多连通域多连通域 解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re( 222 yxz , 11)Re( 222 yxz 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 例例2 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是是有界的还是 无界的无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. . 411 )4( ; 3 1 )3( ; 3 arg)2( ; 1)Re( )1( 2 zz z zz 3 ar

12、g)2( z , 3 arg 33 arg zz 是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 3 1 )3( z , 3 1 3 1 z z , 3 1 , 的圆的外部的圆的外部 半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心 无界的多连通域无界的多连通域. 411)4( zz 表示到表示到1, 1的距离之的距离之 和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆, 411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 例例3 3 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域? , 3Im)1( z 是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123 x 1 2 3 4 5 6 y 不是区域不是区域. , 2Re)2( z ), 2Re ( 2Re z z 不包括直线不包括直线 为右界的半平面为右界的半平面以以 单连通域单连通域. , 210)3( iz , 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘 为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域