概率论与数理统计第2讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计 第二第二 讲讲 主讲教师：程维虎教授主讲教师：程维虎教授 北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院 1.2 事件的概率事件的概率 1.2.1 事件的频率事件的频率 I. 频率定义频率定义 设设A是一个事件是一个事件, 在相同条件下进行在相同条件下进行n次试次试 验，验，A发生了发生了m 次。次。 则称则称 m为事件为事件A在在 n 次试验次试验 中发生的中发生的频数频数或或频次频次，称，称 m与与 n之比之比 m/n 为事为事 件件A在在 n次试验中发生的次试验中发生的频率频率，记为，记为 fn(A)。 当试验次数当试验次数 n充分大时，事件的频率总

2、在充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。的稳定性。 频率在一定程度上反映了事件在一次试频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次次 试验，所得到的频率可能各不相同试验，所得到的频率可能各不相同,但只要但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值足当大，频率就会非常接近一个固定值 概率概率。 因此因此, 概率可以通过频率来概率可以通过频率来“度量度量”, 频率频率 是概率

3、的近似是概率的近似, 概率是频率某种意义下的极限。概率是频率某种意义下的极限。 考虑在相同条件下进行的考虑在相同条件下进行的 k 组试验组试验 事件事件A在各组试验中的频率形成一个数列在各组试验中的频率形成一个数列 . 2 2 1 1 k k n m n m n m ， 频率稳定性是指：频率稳定性是指：各组试验次数各组试验次数 n1, ,n2, nk 充分大时，在各组试验中事件充分大时，在各组试验中事件 A 出现的频率出现的频率 间、或频率与某定值相差很小间、或频率与某定值相差很小 。 稳定在概率稳定在概率 p 附近附近 下面我们来说明频率稳定性的含义。下面我们来说明频率稳定性的含义。 在实际

4、问题中，当概率不易求出时，人在实际问题中，当概率不易求出时，人 们在试验次数很大情况下，常用事件的频率们在试验次数很大情况下，常用事件的频率 作为概率的估计，并称此概率为作为概率的估计，并称此概率为统计概率。统计概率。 这种确定概率的方法为这种确定概率的方法为频率法。频率法。 例如例如: : 若需了解某射箭运动员中若需了解某射箭运动员中1010环的概率，环的概率， 应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况 进行观测、统计。进行观测、统计。 假设其射击假设其射击 n 次，中次，中1010环环m次，当次，当 n很大很大 时，就时，就 m/n 作为其命中作为其命中

5、1010环的概率。环的概率。 又如：又如：进行产品检验时，如果检验了进行产品检验时，如果检验了n 件产品件产品, , 其中其中m 件为次品，则当件为次品，则当 n 很大时，可用很大时，可用 m/n 作作 为产品的次品率为产品的次品率( (概率概率) )的估计值。的估计值。 (1)(1) 0 0 fn n( (A)1)1； (2)(2) fn n()=1, ()=1, fn n()=0()=0； (3).(3).若事件若事件 A1 1, ,A2 2,Ak k 两两互斥，则两两互斥，则: : II. 频率性质频率性质 。 k i in k i in AfAf 11 )( 1933年，前苏联数学家年

6、，前苏联数学家(概率统计学家概率统计学家)柯柯 尔莫哥洛夫尔莫哥洛夫 (KolmogorovKolmogorov) 给出了概率如下给出了概率如下公公 理化理化定义。定义。 1.2.2 事件概率事件概率 I. 概率定义概率定义 概率的公理化定义概率的公理化定义 (2). P()=1 ; (3). 若事件若事件A1, A2 , 两两互斥，则有两两互斥，则有 设设E是随机试验，是随机试验，是样本空间，对是样本空间，对中中 的每个事件的每个事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A) ，如果事，如果事 件件(集合集合)函数函数 P(A) 满足下述三条满足下述三条: (1). P(A)00； 则称则称P(

7、A)为事件为事件A 的概率的概率。 . )()()( 2121 APAPAAP 注意：注意：这里的函数这里的函数P(A)与以前所学过的函与以前所学过的函 数不同。不同之处在于：数不同。不同之处在于：P(A)的自变量是事件的自变量是事件 ( 集合集合 )。 不难看出：不难看出：这里事件概率的定义是在频率这里事件概率的定义是在频率 性质的基础之上提出的。性质的基础之上提出的。在在5.1中中, 我们将看我们将看 到：到：频率频率fn(A)在某种意义下收敛到概率在某种意义下收敛到概率P(A)的的 结论。基于这一点，我们有理由用上述定义的结论。基于这一点，我们有理由用上述定义的 概率概率 P(A)来度量

8、事件来度量事件A在一次试验中发生的可在一次试验中发生的可 能性大小。能性大小。 II. 概率的性质概率的性质 1. P()=01. P()=0，即不可能事件的概率为零；即不可能事件的概率为零； 2. 2. 若事件若事件 A1 1, ,A2, , An n 两两互斥，则有： 两两互斥，则有： P(P(A1 1A2 2An n)=P()=P(A1 1)+P()+P(An n),), 即互斥事件并的概率等于它们各自即互斥事件并的概率等于它们各自 概率之和概率之和( (有限可加性有限可加性) )； 4. 对两个事件对两个事件A和和B，若，若A B, , 则有则有: : P(P(B- -A)=P()=P

9、(B)-P()-P(A), P(), P(B)P()P(A) )。 );(1)(APAP 3. 对任一事件对任一事件A, 均有均有 证明：证明： 5.对任意两个事件对任意两个事件A, B，有，有 )()()()(ABPBPAPBAP 因因 AB，AAB，BAB两两互斥，且两两互斥，且 由概率的可加性，由概率的可加性， 有有 P(AB) =P(AB(AAB) (B AB) =P(AB)+P(A AB)+P(B AB） =P(AB)+P(A AB)+P(B AB)+P(AB) P(AB) =P(A)+P(B) P(AB). AB = AB(A AB) (B AB)， J 说明说明 niii iii

10、 n k k n l l k k AAAP AP 21 21 11 1 1 )()1( n个事件并的多除少补公式个事件并的多除少补公式 特别地，特别地，n = 3 时，有时，有 )( )()()()()()( )( 321 323121321 321 AAAP AAPAAPAAPAPAPAP AAAP 小结小结 1.3 古典概率模型古典概率模型 I. 什么是古典概率模型什么是古典概率模型 如果试验如果试验 E 满足满足 (1).(1).试验结果只有有限种；试验结果只有有限种； (2).(2).各种结果出现的可能性相同。各种结果出现的可能性相同。 则称这样的试验模型为则称这样的试验模型为等可能概

11、率模型等可能概率模型或或古古 典概率模型典概率模型，简称，简称等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。 II. 古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 因因试验试验E E的结果只有有限种，即样本点是的结果只有有限种，即样本点是 有限个有限个: : 1 1, , 2 2 , , n n 。 = 1 1 2 2 n n ， i i 是基本事件，且各自发生的概率相等。是基本事件，且各自发生的概率相等。 于是，有于是，有 1=P()=P( 1=P()=P( 1 1 2 2 n n) =P( =P( 1 1)+P()+P( 2 2 )+P( )+P( n n) = =n P(P( i i

12、), ), i=1,2,=1,2,n。 从而，从而， P(P( i i)= 1/n)= 1/n，i=1,2,=1,2,n. . 因此，若事件因此，若事件A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 .)()( 1基本事件总数 中包含基本事件数A n k PAP k r ir , 21k iii A 则则 III. 古典概模型举例古典概模型举例 例例1：掷一颗均匀骰子，设掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为表示所掷结果为 “四点或五点四点或五点”，B表示所掷结果为表示所掷结果为“偶数偶数 点点”，求，求P(A)和和P(B)。 解：解：由由 n=6=6，k kA A=2,=2,得得 P(P(A)=

13、2/6=1/3)=2/6=1/3； 再由再由k kB B=3=3，得，得 P(P(B)=3/6=1/2)=3/6=1/2。 例例2 2：货架上有外观相同的商品货架上有外观相同的商品1515件，其中件，其中1212件件 来自产地甲来自产地甲, 3, 3件来自地乙。现从件来自地乙。现从1515件商品中随件商品中随 机地抽取两件机地抽取两件, ,求这两件商品来自一同产地的概求这两件商品来自一同产地的概 率。率。 解：解：从从1515件商品中取出件商品中取出2 2商品，共有商品，共有C C2 215 15= 105 = 105 种取法，且每种取法都是等可能的，种取法，且每种取法都是等可能的，故故n=1

14、05=105。 令令 A=两件商品都来自产地甲两件商品都来自产地甲,k kA= C= C2 212 12=66, =66, B=两件商品都来自产地乙两件商品都来自产地乙,k kB= C= C2 23 3 =3 =3， 而事件而事件: : 两件商品来自同一产地两件商品来自同一产地=AB, , 且且 A与与B互斥互斥, , AB包含基本事件数包含基本事件数66+3=6966+3=69。 故，所求概率故，所求概率=69/105=23/35=69/105=23/35。 例例3 3：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6 6只，按电流放大系只，按电流放大系 数分类，数分类，4 4只属甲类，只属甲类，2

15、2只属乙类。按下列两种只属乙类。按下列两种 方案抽取三极管两只：方案抽取三极管两只： (1).(1).每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只 ( (放回抽样放回抽样) )； (2).(2).每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三 极管中再抽取下一只极管中再抽取下一只( (不放回抽样不放回抽样) )。 设设 A=抽到两只甲类三极管抽到两只甲类三极管 ， B=抽到两只同类三极管抽到两只同类三极管, , C=至少抽到一只甲类三极管至少抽到一只甲类三极管, D=抽到两只不同类三极管抽到两只不同类三极管 。 求求

16、 P(P(A),P(),P(B),P(),P(C),P(),P(D) )。 解解: : (1).(1).由于每次抽测后放回由于每次抽测后放回, , 因此，每次都因此，每次都 是在是在6 6只三极管中抽取。只三极管中抽取。 因第一次从因第一次从6 6只中取一只，共有只中取一只，共有6 6种可能取种可能取 法；法；第二次还是从第二次还是从6 6只中取一只，还是有只中取一只，还是有6 6种取种取 法。法。故，故，取两只三极管共有取两只三极管共有6 6 6=366=36种可能的取种可能的取 法。法。从而从而, , n=36=36。 注意：注意：这种分析方法使用的是中学学过的这种分析方法使用的是中学学过

17、的 “乘法原理乘法原理”。 因每个基本事件发生的可能性相同因每个基本事件发生的可能性相同。故。故第第 一次取一只甲类三极管共有一次取一只甲类三极管共有4 4种可能取法种可能取法, ,第二第二 次再取一只甲类三极管还是有次再取一只甲类三极管还是有4 4种可能取法。种可能取法。 故故, ,取两只甲类三极管共有取两只甲类三极管共有4 4 4=16 4=16 种可能的取种可能的取 法法, ,即即k kA=16=16。所以，。所以，P(P(A)=16/36=4/9)=16/36=4/9； 令令E=抽到两只乙类三极管抽到两只乙类三极管 ，则，则 kE= =2 2 2=42=4。 故，故，P(P(E)=4/

18、36=1/9)=4/36=1/9； 因因C是是E的对立事件，所以的对立事件，所以 P(P(C)=1-P()=1-P(E)=8/9;)=8/9; 因因B= =AE, , 且且A与与E互斥，得互斥，得 P(P(B)=P()=P(A)+P()+P(E)=5/9)=5/9； D是是B的对立事件的对立事件, , 得得 P(P(D)=1-P()=1-P(B)=4/9)=4/9。 (2). (2).由于第一次抽测后不放回由于第一次抽测后不放回, ,所以第一次所以第一次 从从6 6只中取一只只中取一只, , 共有共有6 6种可能的取法；第二次种可能的取法；第二次 是从剩余的是从剩余的5 5只中取一只，有只中取

19、一只，有5 5种可能的取法。种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有由乘法原理，知取两只三极管共有n= 6= 6 5=305=30 种可能的取法。种可能的取法。 由乘法原理，得由乘法原理，得 kA=4=4 3=123=12。从而。从而 P(P(A)=12/30=2/5)=12/30=2/5； 类似地类似地, ,得得kE= =2 2 1=21=2，P(E)=2/30=1/15P(E)=2/30=1/15； 由由C是是E的对立事件的对立事件, ,得得 P(P(C)=1-P()=1-P(E)=14/15;)=14/15; 由由B= =AE, , 且且A与与E互斥，得互斥，得 P(P(B)=P(

20、)=P(A)+P()+P(E)=7/15)=7/15； 由由D是是B的对立事件的对立事件, , 得得 P(P(D)=1-P()=1-P(B)=8/15.)=8/15. 例例4 4：n个球随机地放入个球随机地放入N( (Nn) )个盒子中，若个盒子中，若 盒子的容量无限制。求盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一每个盒子中至多有一 球球”的概率。的概率。 解解: 因因每个球都可以放入每个球都可以放入N个盒子中的任何一个盒子中的任何一 个，个，故故每个球有每个球有N N种放法。由乘法原理，将种放法。由乘法原理，将n个个 球放入球放入N个盒子中共有个盒子中共有 Nn 种不同的放法。种不同的放法。

21、每个盒子中至多有一个球的放法每个盒子中至多有一个球的放法( (由乘法由乘法 原理得原理得): ): N(N- -1)(N- -n+1)=ANn 种。种。故，故， P(P(A)= )= Ann / Nn . . 设每个人在一年设每个人在一年( (按按365365天计天计) )内每天出内每天出 生的可能性都相同，现随机地选取生的可能性都相同，现随机地选取n( (n365)365) 个人，则他们生日各不相同的概率为个人，则他们生日各不相同的概率为 A365n / 365n。 于是于是, , n n个人中至少有两人生日相同的概率为个人中至少有两人生日相同的概率为 1-1-A365 365n / 365

22、 / 365n。 打开书打开书 P13P13，可看到表，可看到表1.3。 许多问题和上例有相同的数学模型。许多问题和上例有相同的数学模型。 如如(生日问题生日问题)： 某人群有某人群有n个人，他们中至少个人，他们中至少 有两人生日相同的概率有多大？有两人生日相同的概率有多大？ 从上表可以看出从上表可以看出: : 在在4040人左右的人群里人左右的人群里, , 十有八九十有八九会发生会发生 两人或两人以上生日相同两人或两人以上生日相同 这一事件。这一事件。 把把 n 个物品分成个物品分成k组，使第一组有组，使第一组有n1 1个个, , 第二组有第二组有n2 2个个,第第 k 组有组有nk k个，

23、且个，且 n1 1+ + n2 2+nk k= =n， 则不同的分组方法数为则不同的分组方法数为 公式公式 ! ! 21k nnn n 例例5：某公司生产的某公司生产的15件产品中，有件产品中，有12件正品件正品, 3件次品。现将它们随机地分装在件次品。现将它们随机地分装在3个箱中个箱中, 每每 箱装箱装5件，设件，设A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=三三 件次品都在同一箱中件次品都在同一箱中。求。求P(A)和和P(B)。 解：解：1515件产品装入件产品装入3 3个箱中，每箱装个箱中，每箱装5 5件，有件，有 种等可能的装法。种等可能的装法。故，基本事件总数为故，基本事件总数为

24、 ) !5 !5 !5/(!15 ) !5 !5 !5/(!15 把三件次品分别装入三个箱中，共有把三件次品分别装入三个箱中，共有3!3!种种 装法。这样的每一种装法取定以后，把其余装法。这样的每一种装法取定以后，把其余1212 件正品再平均装入件正品再平均装入3 3个箱中，每箱装个箱中，每箱装4 4件，有件，有 个基本事件。个基本事件。 ,) !4!4!4/(!12种种装装法法 再由乘法原理，可知装箱总方法数有再由乘法原理，可知装箱总方法数有 种种。)/(4!4!4!3!12! 即即A包含包含 。 91 25 !5!5!5 !15 !4!4!4 !12 !3)( AP )/(4!4!4!3!

25、12! 从而，从而， 把三件次品装入同一箱中把三件次品装入同一箱中, ,共有共有3 3种装法。种装法。 这样的每一种装法取定以后这样的每一种装法取定以后, ,再把其余再把其余1212件正品件正品 装入装入3 3个箱中个箱中( (一箱再装一箱再装2 2件件, ,另两箱各装另两箱各装5 5件件) )又又 有有 个基本事件。故，个基本事件。故， 种种装装法法。) !5!5!2/(!12 由乘法原理，知装箱方法共有由乘法原理，知装箱方法共有 种种。) !5!5!2/(!123 即即B包含包含 。 91 6 !5!5!5 !15 !5!5!2 !12 3)( BP )!5!5!2/(!123 例例6：设设N件产品中有件产品中有K件次品，件次品，N- -K件正品件正品, KN。现从。现从N件中每次任意抽取件中每次任意抽取1件产品，检件产品，检 查其是正品还是次品后放回；这样共抽检产查其是正品还是次品后放回；这样共抽检产 品