《直线方程的五种形式PPT学习教案

1、会计学1 直线方程的五种形式直线方程的五种形式ppt课件课件PPT课件课件 21 21 yy k xx 1、直线的倾斜角、直线的倾斜角范围范围？ 1800 2、如何求直线的斜率？、如何求直线的斜率？ tank (90 ) 12 ()xx 3、在直角坐标系内如何确定一条直线？ 答（1）已知两点可以确定一条直线。 （2）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率） 可以确定一条直线。 第1页/共62页 1 1、过点、过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 上的上的 每一点每一点的坐标都满足方程（的坐标都满足方程（1 1）。）。 00,0 ()P x y kl 00 ()yyk xx （1 1） 直线方程的

2、直线方程的点斜式点斜式 （1）直线上）直线上任意一点任意一点的的坐标坐标是方程的是方程的解解（满足方程）（满足方程） （2）方程的）方程的任意任意一个一个解解是直线上点的坐标是直线上点的坐标 注：点斜式适用范围：斜率注：点斜式适用范围：斜率k存在存在 直线和方程的关系直线和方程的关系 第2页/共62页 1 yy 1、当直线、当直线 的倾斜角为零的倾斜角为零 度度 时（图时（图 2）tan0 =0 , 即即 k=0. 这时直线这时直线 的方程就是的方程就是 l 特属特属 情况情况 2、当直线、当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时时, 直线没有斜率这时直线直线没有斜率这时直线 与与y轴平行轴平行 或重

3、合，它的方程不能用点斜式表示。或重合，它的方程不能用点斜式表示。 但因直线上每一点的横坐标都等于但因直线上每一点的横坐标都等于 (图图3），所），所 以它的方程是以它的方程是 l l 90 0 1 x 1 xx o x x y l 1 p 图图2 2 00,0 ()P x y o y x 1 p 图图 3 3 00,0 ()P x y 第3页/共62页 直线直线 经过点经过点 ，且倾斜，且倾斜 角角 ，求直线，求直线 的点斜式方的点斜式方 程程 l l 0( 2,3) P 0 45 第4页/共62页 课堂练习： 1.写出下列直线的点斜式方程：写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点）经过点A(

4、3, 1)，斜率是，斜率是；2 （2）经过点）经过点B( , 2)，倾斜角是，倾斜角是30；2 （3）经过点）经过点C(0, 3)，倾斜角是，倾斜角是0； （4）经过点）经过点D(4, 2)，倾斜角是，倾斜角是120. 2.填空题：填空题： （1）已知直线的点斜式方程是）已知直线的点斜式方程是 y2=x1，那么此直线的那么此直线的 斜率是斜率是_,倾斜角是倾斜角是_. （2）已知直线的点斜式方程是）已知直线的点斜式方程是 y2= (x1)，那么此直线那么此直线 的斜率是的斜率是_,倾斜角是倾斜角是_. 3 )3(21xy )2( 3 3 2 xy 3 y )4(32 xy 1 45 3 60

5、第5页/共62页 l y O x P0(0, b) 直线经过点直线经过点 ， 且斜率为且斜率为 的点斜式方程？的点斜式方程？ bP, 0 0 k (0)ybk x ykxb 斜率 在 y轴的截距 【注意】适用范 围：斜率K存在 直线的直线的斜截式方程斜截式方程 第6页/共62页 y=kx+b 直线方程的斜截式 . O y x P(0,b) 截距与距离不一样，截距可正、可零、可负截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离不能为负。而距离不能为负。 思考2：截距与距离一样吗？ 第7页/共62页 练习：练习： 写出下列直线的斜率和在写出下列直线的斜率和在y y轴上的截距：轴上的截距： 23)3

6、( 3)2( 231 yx xy xy）（ 第8页/共62页 例例2:直线直线l的倾斜角的倾斜角 60，且，且l 在在 y 轴上的截轴上的截 距为距为3，求直线，求直线l的斜截式方程。的斜截式方程。 第9页/共62页 练习练习:写出下列直线的斜截式方程。写出下列直线的斜截式方程。 （1） 斜率是斜率是 ，在，在y轴上的截距是轴上的截距是-2； 2 3 （2） 斜率是斜率是-2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是4； 2- 2 3 xy 答案：答案： 42-xy答案：答案： 第10页/共62页 2. 2.两点式两点式: :已知直线已知直线 经过点经过点 和和 ( )( )求直线求直线 的方程的方程

7、. . l ),( 111 yxpl 1 x 2 x )( 222 yxp 12 1 12 1 xx xx yy yy 这个方程是由直线上两点确定的，叫做这个方程是由直线上两点确定的，叫做 直线方程的直线方程的两点式两点式。 第11页/共62页 例：求经过两点例：求经过两点P（a,0）,Q(0,b)的直线的直线l方程方程 截距式截距式: :这个方程是由直线在这个方程是由直线在x x 轴和轴和 y y 轴的截距式确定的轴的截距式确定的, ,叫做直线方程的叫做直线方程的截截 距式距式 . . 1 b y a x 第12页/共62页 第13页/共62页 温故知新温故知新 指明直线方程几种形式的应用范

8、围指明直线方程几种形式的应用范围. . 点斜式 yy0 = k（xx0） 斜截式 y = kx + b 两点式 ),( 2121 12 1 12 1 yyxx xx xx yy yy 截距式0,1ba b y a x 有斜率的直线 有斜率的直线 不垂直于x,y轴 的直线 不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线 第14页/共62页 5.5.一般式一般式: :关于关于x x和和y y的一次方程都表的一次方程都表 示一条直线示一条直线. .我们把方程我们把方程 Ax+By+C = 0 ( ( 其中其中A A、B B 不全为零不全为零) )叫做直线方程的叫做直线方程的 一般式一般式 . . 第15页

9、/共62页 的倾斜角求直线 lyx043 第16页/共62页 5、已知直线经过点A（4,-3），斜率为-23求直线的点 斜式方程，并化为一般式方程. 6、已知三角形三个顶点分别为A(-3，0)， B(2，-2),C(0，1)求这个三角形三边各自所在直线的方程。 第17页/共62页 当斜率大于当斜率大于0时时 当斜率小于当斜率小于0时时 y=kx+b (k0,b0) y=x y=kx+b (k0,b0) y x o y=kx+b(k0 y=-x y=kx+b(k0,b0 y x o 第18页/共62页 课堂练习课堂练习 第19页/共62页 课堂练习：课堂练习： 1.1.直线直线ax+by+c=0

10、ax+by+c=0，当，当ab0,bc0ab0,bc0,AB0,AC0 (B) AC0 (B) AB0,AB0,AC0C0 (C) A (C) AB0,AB0 (D) AC0 (D) AB0,AB0,AC0C0 B 第21页/共62页 例例2 2、设直线、设直线l l的方程为的方程为 （m m2 2-2m-3-2m-3）x+x+（2m2m2 2+m-1+m-1）y=2m-6y=2m-6， 根据下列条件确定根据下列条件确定m m的值：的值： （1 1）l l在在X X轴上的截距是轴上的截距是-3-3； （2 2）斜率是）斜率是-1.-1. 3 5 第22页/共62页 1、直线、直线l过点过点A（

11、1,2）且不过第四象限，那么）且不过第四象限，那么l的斜率的斜率 的取值范围为的取值范围为 A、【1,2】 B 0，1 C 0，12 D 0，12 2、若过点、若过点p(1-a,1+a)和和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，的直线的倾斜角为钝角， 那么实数那么实数a的取值范围为的取值范围为 3、已知三点、已知三点A（2，-3）B（4，3）C(5,k2),在同一条在同一条 直线上，则直线上，则k的值为的值为 4、已知、已知A(1,1),B(3,5) C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线四点在同一条直线 上，求直线的斜率上，求直线的斜率k以及以及a,b的值。的值。 3、已知点、已知点A(

12、2,-3),B(-3,-2),直线直线l过点过点P(3,1)且与线段且与线段 AB相交，求直线相交，求直线l的斜率的取值范围。的斜率的取值范围。 (-2,1) 12 K=2,a=4,b=-3 【12,4】 第23页/共62页 -1,1 450,1350 ), 1 ) 1,( 第24页/共62页 定点问题定点问题 1，直线，直线y=k(x-2)+3必过定点必过定点 2， 第25页/共62页 1、若过点、若过点P（-1,-3）的直线）的直线l与与y轴的正半轴没有公共轴的正半轴没有公共 点，求直线点，求直线L的斜率的斜率 2、设线、设线L的方程为（的方程为（a+1）x+y+2-a=0 1)若直线若直

13、线l在两坐标轴上的截距相等，求直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方的方 程程 2）若直线）若直线l不经过第二象限，求实数不经过第二象限，求实数a的取值范围的取值范围 3、一束光线从点、一束光线从点A（-2,3）射入，经）射入，经x轴上点轴上点P反射，反射， 通过点通过点B(5,7),求点求点P的坐标的坐标 第26页/共62页 3、A,B两厂距离一条小河分别为两厂距离一条小河分别为400m和和100m，A,B 两厂之间的距离为两厂之间的距离为500m,把一条小河看成一条直线，把一条小河看成一条直线， 今在小河边建一座提水站，供今在小河边建一座提水站，供A,B两厂用水，要使两厂用水，要使 提

14、水站到提水站到A,B两厂铺设的水管长度之和最小，提水两厂铺设的水管长度之和最小，提水 站应建在什么地方？站应建在什么地方？ 第27页/共62页 1、若直线（、若直线（2t-3）x+y+6=0不经过第一象限，则不经过第一象限，则t 的取值范围为的取值范围为 ), 2 3 2、经过点、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线方程有对值相等的直线方程有条条3 3、已知三角形、已知三角形ABC三个顶点的坐标为三个顶点的坐标为A(1，2),B(3， 6),C(5，2),M为为A,B的中点，的中点，N为为A,C的中点，则中的中点，则中 位线位线MN所在的直

15、线方程为所在的直线方程为 2x+y-8=0 4、设点、设点A（4,0），），B(0，2),动点动点P(x,y)在线段在线段AB上上 运动，运动，1）求）求xy的最大值。的最大值。 2）在）在1）中）中xy取最大值的前提下，是否存在过点取最大值的前提下，是否存在过点P 的直线的直线L，使得，使得L与两坐标轴的截距相等？若存在，与两坐标轴的截距相等？若存在， 求求L的方程，不存在，说明理由的方程，不存在，说明理由 P(2,1) x-2y=0, x+y-3=0 第28页/共62页 求直线与两坐标轴围成的图形面积和周长求直线与两坐标轴围成的图形面积和周长 1、求斜率为、求斜率为34,且与坐标轴围成的三

16、角形周长为且与坐标轴围成的三角形周长为 12的直线方程的直线方程 2、已知一条直线过点、已知一条直线过点A（-2,2）并且与两坐标）并且与两坐标 轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程。，求此直线方程。 第29页/共62页 1 1、设设A A、B B是是x x轴上的两点，点轴上的两点，点P P的横坐标为的横坐标为2 2，且，且 PA=PBPA=PB，若直线，若直线PAPA的方程为的方程为x-y+1=0 x-y+1=0，则直线，则直线PBPB 的方程是的方程是 x+y-5=x+y-5=0 0 2、求过点、求过点A(5,2)且在两坐标轴上截距互为相反数且在两坐标轴上截距互为相

17、反数 的直线方程的直线方程 3、已知直线、已知直线L:1 4 x m y m 1）若直线的斜率是）若直线的斜率是2，求，求m的值的值 2）若直线）若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的与两坐标轴的正半轴围成三角形的 面积最大，求此直线的方程面积最大，求此直线的方程 第30页/共62页 已知直线已知直线 的方程分别为的方程分别为: : 21,l l 0 111 CyBxA0 222 CyBxA 如何用系数表示两条直线的平如何用系数表示两条直线的平 行与垂直的位置关系行与垂直的位置关系? ? 思考题思考题: 第31页/共62页 1212 (2)1llkk 121212 (1)/llkkbb,且 例

18、例3、已知直线、已知直线 试讨论：试讨论： （1） 的条件是什么？的条件是什么？ （2） 的条件是什么？的条件是什么？ 111222 :,:lyk xblyk xb 12 /ll 12 ll 第32页/共62页 练习 1、判断下列各对直线是否平行或垂直：、判断下列各对直线是否平行或垂直： 12 11 (1):3,:2 22 lyxlyx 12 53 (2):,: 35 lyx lyx 12 /ll 12 ll 第33页/共62页 数学之美数学之美 ： 巩固练习巩固练习 ： 1.1.下列方程表示直线的什么式？倾斜角各为多少度？下列方程表示直线的什么式？倾斜角各为多少度？ 1) 1) 2) 2)

19、3) 3) 32xy 2 3 3 xy 3332xy 2.2.方程方程 表示表示( )( ) A) A)通过点通过点 的所有直线；的所有直线； B B）通过点）通过点 的所有直线；的所有直线； C C）通过点）通过点 且不垂直于且不垂直于x x轴的所有直线；轴的所有直线； D D）通过点）通过点 且去除且去除x x轴的所有直线轴的所有直线. . )3(2xky 3, 2 2 , 3 2 , 3 2 , 3 0 30 0 45 0 60 C C 第34页/共62页 过点过点(2, 1)且平行于且平行于x轴的直线方程为轴的直线方程为_ 过点过点(2, 1)且平行于且平行于y轴的直线方程为轴的直线方

20、程为_ 过点过点(2, 1)且过原点的直线方程为且过原点的直线方程为_ 思维拓展1 1y 2x xy 2 1 第35页/共62页 （4 4）一直线过点）一直线过点 ，其倾斜角等于，其倾斜角等于 直线直线 的倾斜角的的倾斜角的2 2倍，求直线倍，求直线 的方程的方程. . l xy 3 3 3 , 1A 第36页/共62页 拓展拓展2: 过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7平行的直线平行的直线 方程为方程为_ 过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7垂直的直线垂直的直线 方程为方程为_ 12 xy 2 3 2 1 xy 第37页/共62页 小结： 直线 方程 名称 已知 条件 直线方

21、程使用范围 点 斜 式 斜 截 式 斜率k和直 线在y轴上 的截距 bkxy 点点),( 111 yxP 和斜率k )( 11 xxkyy 斜率必须存在斜率必须存在 0 xx 直线方程为：直线方程为：斜率斜率不不存在时，存在时， 第38页/共62页 第39页/共62页 x y l P2(x2， ，y2) 21 21 yy k xx 21 11 21 () yy yyxx xx P1(x1，y1) 00 ()yyk xx代入得 探究：探究：已知直线上两点已知直线上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1), P), P2 2(x(x2 2,y,y2 2) ) （x x1 1xx2 2, y,

22、 y1 1yy2 2 ），求通过这两点的直线方程？），求通过这两点的直线方程？ 11 1212 2121 (,) yyxx xxyy yyxx 两点式： 【注意】当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示； 第40页/共62页 1.1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再求经过下列两点的直线的两点式方程，再 化斜截式方程化斜截式方程. . (1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0) 12 3 10 2 yx 2 3yx 50 0550 yx 5yx 00 5 04 0 yx 5 4 yx 课堂练习： 方法小结已知两点坐标，求直线

23、方程的方法： 用两点式 先求出斜率k，再用点斜式。 第41页/共62页 截距式方程 x y l A(a，0) 截距式方 程 B(0，b) 代入两点式方程得代入两点式方程得 化简得化简得 1 xy ab 横截距 纵截距 0 00 yxa ba 【适用范围适用范围】截距式适用于横、纵截距都截距式适用于横、纵截距都存在存在且都且都 不为不为0 0的直线的直线. . 横截距与x轴交点的横坐标 纵截距与y轴交点的纵坐标 第42页/共62页 2.2.根据下列条件求直线方程根据下列条件求直线方程 （1）在）在x轴上的截距为轴上的截距为2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是3； （2）在）在x轴上的截距为轴上的

24、截距为-5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是6； 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得： 1 23 xy 326 0 xy 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：1 56 xy 6530 0 xy 第43页/共62页 y=2x (与x轴和y轴的截距都为0) 即：a=3 12 1 aa 把(1,2)代入得： 1 xy aa 设 直线的方程为: 2)当两截距都等于当两截距都等于0时时 1)当两截距都不为当两截距都不为0时时 第44页/共62页 解：三条解：三条 变： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条? 解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=

25、0、y-x-1=0或y=2x 1 xy ab ab 设 对截距概念的深刻理解对截距概念的深刻理解 【变】：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上 的截距的2倍的直线是（ ） A、 x+y-3=0 B、x+y-3=0或y=2x C、 2x+y-4=0 D、2x+y-4=0或y=2x 第45页/共62页 名名 称称 条条 件件 方程方程 适用范围适用范围 bkxy )( 00 xxkyy 1 b y a x 小结小结 点点P(x0,y0)和斜率和斜率k 点斜式点斜式 斜截式斜截式 两点式两点式 截距式截距式 斜率斜率k, y轴上的纵截距轴上的纵截距b 在在x轴上的截距轴上的截距a 在在y轴上的截距

26、轴上的截距b P1(x1,y1),P2(x2,y2) 有斜率有斜率 有斜率有斜率 不垂直于不垂直于x、 y轴的直线轴的直线 不垂直于不垂直于x、y 轴，且不过原轴，且不过原 点的直线点的直线 12 1 12 1 xx xx yy yy 第46页/共62页 斜截式 截距式 点斜式 应用范围直线方程已知条件 方程名称 两点式 P 11 点 （x ,y ） 斜 率 k 斜率k b截距 存在斜率k 存在斜率k ykxb 11 ()yyk xx 11 2121 yyxx yyxx 1 xy ab 222 ( ,)P x y 111 P(x,y ), 1212 (,)xxyy (0)a a 横截距 (0)

27、b b 纵截距 不包括垂直于坐标 轴的直线 不包括垂直于x,y坐标 轴和过原点的直线 【注】所求直线方程结果最终化简为一般式的形式 Ax+By+C=0 第47页/共62页 中点坐标公式 x y A(x1，y1) B(x2， ，y2) 中点 12 12 2 2 xx x yy y 第48页/共62页 例例2 2、三角形的顶点是、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求求BCBC边所在直线的方程边所在直线的方程? ? x x y y O O C C B B A A . . . . M M 变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程?

28、 变式2:BC边上高所在直线的方程? 3x-5y+15=0 3x-5y-7=0 第49页/共62页 练习练习： 1 :1 2 (3,4) l yx Pl 已知直线， 求点关于直线 的对称点 第50页/共62页 数形结合与对称的灵活应用数形结合与对称的灵活应用 已知直线已知直线l:x-2y+8=0和两点和两点A(2,0)、B(-2,-4) （1）求点）求点A关于直线关于直线l的对称点的对称点 （2）在直线）在直线l是求一点是求一点P，使，使|PA|+|PB|最小最小 （3）在直线）在直线l是求一点是求一点Q，使，使| |QA|-|QB| |最大最大 A(2,0) A1(x,y) G B(-2,-

29、4) P A(2,0) Q B(-2,-4) (-2,8) (-2,3) (12,10) 第51页/共62页 数形结合与对称的灵活应用数形结合与对称的灵活应用 已知一条光线从点已知一条光线从点A(2，-1)发出、经发出、经x轴反射后，轴反射后， 通过点通过点B(-2,-4)，与，与x轴交与点轴交与点P，试求点，试求点P坐标坐标 A(2,-1) (x,0) B(-2,-4) P 变：变：已知两点已知两点A(2，-1)、B(-2,-4) 试在试在x轴上求一点轴上求一点P，使，使|PA|+|PB|最小最小 变：变：试在试在x轴上求一点轴上求一点P，使，使|PB|-|PA|最大最大 第52页/共62页

30、 2.2.根据下列条件求直线方程根据下列条件求直线方程 （1）在）在x轴上的截距为轴上的截距为2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是3； （2）在）在x轴上的截距为轴上的截距为-5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是6； 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得： 1 23 xy 326 0 xy 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：1 56 xy 6530 0 xy 第53页/共62页 1 xy ab 第54页/共62页 ) )表表示示; ;y y) )( (y yx x( (x x) )x x) )( (x xy y都都可可以以用用方方程程( (y y ) )的的点点的的直直线线y y,

31、 ,( (x xP P) ), ,y y, ,( (x xP PD D. .经经过过任任意意两两个个不不同同 b b表表示示. .k kx x可可以以用用y yC C. .经经过过定定点点的的直直线线都都 1 1表表示示; ; b b y y a a x x 都都可可以以用用方方程程B B. .不不经经过过原原点点的的直直线线 ) )表表示示; ;x xk k( (x xy y方方程程y y ) )的的直直线线都都可可以以用用y y, ,( (x xA A. .经经过过定定点点P P ) ) 题题是是( (下下列列四四个个命命题题中中的的真真命命 1 12 21 11 12 21 1 2 22 22 21 11 11 1 0 00 0 0 00 00 0 第55页/共62页 1. x2yxyxyxy A1B1C:2D1 234-3-6553