2723相似三角形的周长与面积

1、 相似三角形的相似三角形的, , 各对应边的比各对应边的比 。 对应角相等对应角相等成比例成比例 1.三角形相似的判定方法有那些？三角形相似的判定方法有那些？ 2. 相似三角形的有哪些性质相似三角形的有哪些性质? 3.相似三角形对应边的比叫作相似三角形对应边的比叫作 。 如果两个三角形相似，它如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？两个相似多边形呢？ 如果如果ABCABC，相似比为，相似比为k，那么，那么 k AC CA CB BC BA AB 因此因此ABk AB，BCkBC，CAkCA 从而从而 k ACCBBA AkCCkBBkA AC

2、CBBA CABCAB A B C A B C 相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比 （1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相）相似三角形的对应高相等，对应边的比相 等。等。 已知：如图，已知：如图，ABC ABC, ABC与与 ABC的相似比是的相似比是k，AD、AD是对应高是对应高 求证：求证： =k AD AD A BC D A BC D 证明：证明：ABCABC B= B 又又ADBC, ADBC ADB= ADB=90 ABDABD k BA AB DA AD 如图，如图，ABCABC，相似比为，相似比为

3、k，AD，AD分别是边分别是边 BC、BC上的中线，求证上的中线，求证 k DA AD C A B C D A B D 思考：思考：若若AD，AD 改为角平分线呢改为角平分线呢 A B C A BC D D 相似三角形对应相似三角形对应高高的比等于相似比的比等于相似比 结论结论:相似三角形对应相似三角形对应中线中线的比等于相似比的比等于相似比 结论结论:相似三角形对应相似三角形对应角平分线角平分线的比等于相似比的比等于相似比 探究探究 （1）如图，）如图，ABCABC，相似比为，相似比为k，它们的面积比，它们的面积比 是多少？是多少？A B C A BC D D 如图，分别作出如图，分别作出A

4、BC和和ABC的高的高AD和和AD ADB =A/D/B/ BB ABDABD k BA AB DA AD 2 1 2 1 DACB ADBC S S CBA ABC 2 2 1 2 1 k DACB DAkCBk 这样，得到：这样，得到： 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 探究探究 （2）如图，四边形）如图，四边形ABCD相似于四边形相似于四边形ABCD，相似比为，相似比为 k，它们的面积比是多少？，它们的面积比是多少？ A B C D A B C D 则则ABCABC，ADCACD， 相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方

5、分别连接分别连接AC，AC 2 ABC A B C S k S 2 ACD A C D S k S 2 ABCA B C Sk S 2 ACDA C D Sk S 2 ABCACDA B CA C D SSkSS 2 =k ABCD ABCD S S 四边形 四边形 练习：练习： （1）已知已知ABC与与A/B/C/ 的相似比为的相似比为2：3， 则周长比为则周长比为 ，对应边上中线之比，对应边上中线之比 ， 面积之比为面积之比为 。 （2）已知）已知ABCA/B/C/，且面积之比为，且面积之比为9：4， 则周长之比为则周长之比为 ，相似比，相似比 ，对应边上的，对应边上的 高线之比高线之比

6、。 2：3 4：9 3：23： 2 3：2 2：3 例例6.如图，在如图，在ABC和和DEF中，中，AB2DE，AC2DF， AD，ABC的周长是的周长是24，面积是，面积是48，求，求DEF的周长的周长 和面积和面积 解：在解：在ABC和和DEF中，中， AB2DE，AC2DF 2 1 AC DF AB DE 又又 DA DEFABC，相似比为，相似比为 2 1 A B C D EF ADE 11 , = L=12 2242 ADEADE ABC LL L 11 = = =12 4484 ADEADE ADE ABC SS S S 例题分析例题分析 1.判断判断 （1）一个三角形的各边长扩大

7、为原来的）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的三角形的周长也扩大为原来的5倍；倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的四边形的面积也扩大为原来的9倍倍 练习练习 （1）一个三角形各边扩大为原来）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为倍，相似比为1：5 1 55 原周长 扩大 倍周长 扩大扩大5倍周长倍周长5原周长原周长 解：解：一个三角形各边扩大为原来一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为倍，相似比为1：9 2 1 99 S S 原四边形 扩大 倍四边形 边长扩大边长扩大9倍

8、四边形倍四边形81倍原四边形的的面积倍原四边形的的面积 （2）一个四边形的各边长扩大为原来的）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的形的面积也扩大为原来的9倍倍 2.把一个三角形变成和它相似的三角形，把一个三角形变成和它相似的三角形， （1）如果面积扩大为原来的）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍，那么边长扩大为原来的 _倍。倍。 （2）如图在等边三角形）如图在等边三角形ABC中，点中，点D、 E分别在分别在AB、AC边上，且边上，且DEBC, 如果如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么那么ADE 的周长等于的周长等于_cm。 3

9、.两个相似三角形的一对对应边分别是两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和厘米和14 厘米，厘米， （1）它们的周长差）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是厘米，这两个三角形的周长分别是 。 （2）它们的面积之和是）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分平方厘米，这两个三角形的面积分 别是别是_。 A DE BC 4.如图，如图，ABCABC，他们的周长分别为，他们的周长分别为60cm和和72cm， 且且AB=15cm，BC=24cm，求，求BC、AC、AB、AC的长的长 解解： ABCABC 6015 7218 k 15 18 AB A B 1818 1518 151

10、5 A BAB 15 18 BC B C 15 24 20 18 BC 60 152025AC 72 182430A C A B C A B C 5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径一种半径 是是30cm，如果半径是，如果半径是15cm的蛋糕够的蛋糕够2个人吃，半径是个人吃，半径是 30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同） 解解：两块蛋糕是相似的两块蛋糕是相似的 相似比是相似比是1：2 面积的比为面积的比为 2 1 1:4 2 设半径是设半径是30cm的蛋糕够的蛋糕够x人吃人吃 1：42

11、：x x = 8答：半径是答：半径是30cm的蛋糕够的蛋糕够8个人个人吃吃 6. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原 图中的图中的2cm变成了变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？，这次复印的放缩比例是多少？ 这个多边形的面积发生了怎样的变化？这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 63 21 解：解：放缩比例为放缩比例为 面积发生了面积发生了 2 39 11 S S 变化 原图 9SS 变化原图 7.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线 照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，米， 桌面距离地面为桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影米，则地面上阴影 部分的面积为多少？部分的面积为多少？ F ED CB A L L F F H 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，是一块锐角三角形余料， 边边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，上， 其余两个顶点分别在其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方上，这个正方 形零件的边长是