极坐标与直角坐标方程PPT学习教案

1、会计学1 极坐标与直角坐标方程极坐标与直角坐标方程 目标在哪？ 在以为X轴 以为Y轴， 坐标是. 算的太慢了！ 第1页/共63页 以立新街为X轴 以大桥东路为Y轴 请问：去融安 二中怎么走？ 第2页/共63页 以立新街为X轴 以大桥东路为Y轴 脑子 进水了？ 第3页/共63页 以立新街为X轴 以大桥东路为Y轴 精神病！ 第4页/共63页 从这向北向 东南方向 3000米。 请问：去融安 二中怎么走？ 第5页/共63页 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 东 南 走 3 0 0 0 米 ！ 出发点 方向距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平

2、面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。 第6页/共63页 极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 方向）。 这样就建立了一个极坐标系。 X O 第7页/共63页 极坐标系内一点的极坐标的规定 X O M 对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 极坐标。 特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以 OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。 第8页/

3、共63页 题组一:说出下图中各点的极坐标 A B C D E F G O X 4 6 5 3 5 3 4 2 第9页/共63页 平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 特别规定： 当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意值。 想一想？ 第10页/共63页 点的极坐标的表达式的研究 X O M 如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其他 表达式。 思考：这些极坐标之间有何异同？ 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式： 4

4、 2k+ 4 ， 极径相同，不同的是极角 第11页/共63页 (3,0)(6,2 )(3,) 2 45 (5,)(3,)(4, ) 36 5 (6,) 3 ABC DEF G 题组二:在极坐标系里描出下列各点: 第12页/共63页 4 6 5 3 5 3 4 2 AB C D E F G O X 第13页/共63页 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。 2给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于：极角有无数个。 O X P M (,) 第14页/共63页 一般地,若(,)是一点的极坐标,则 (,+2k)、都可以作为它的

5、极坐标. 如果限定0,02或 , 那么除极点外,平面内的点和极坐标 就可以一一对应了. 第15页/共63页 2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称 的点是( ) A.(,) B.(, ) C.(,) D.(,) A B 题组三 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合 的点是( ) 6 A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ) 13 6 6 17 6 6 5 第16页/共63页 第17页/共63页 平面内的一个点的直角坐标是(1, ) 3 这个点如何用极坐标表示? 第18页/共63页 Ox y 在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标

6、系中取相 同的长度单位 点M的直角坐标为)3, 1( )3, 1 (M 设点M的极坐标为(,) 231 22 ）（ 3 1 3 tan 第19页/共63页 极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (,) x=cos, y=sin ) 0(tan, 222 x x y yx 第20页/共63页 互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 第21页/共63页 例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标. ) 3 2 , 5( 解: 2 5 3 2 cos5 x 2 35

7、3 2 sin5 y 所以, 点M的直角坐标为) 2 35 , 2 5 ( 第22页/共63页 已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。 ) 6 , 3( A ) 2 , 2( B ) 2 , 1( C ) 4 , 2 3 ( D) 4 3 , 2( E 第23页/共63页 例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标. ) 1, 3( 解: 21)3( 22 ）（ 3 3 3 1 tan 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为) 6 7 , 2( 第24页/共63页 练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标. )3, 3( A)3, 1(B )0 , 5(C )2, 0( D

8、)3, 3( E 第25页/共63页 第26页/共63页 思考：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程 为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直 线方程为 x=3 x=3 2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方 程为_ x=a 特点：所有点的横坐标都是一样， 纵坐标可以取任意值。 第27页/共63页 答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。 怎样求曲线的极坐标方程？ 第28页/共63页 例题1：求过极点，倾角为 的射线 的极坐标方程。 4 o M x 4 分析： 如图，所求的射线 上任

9、一点的极角都 是 ，其/ 4 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为(0) 4 第29页/共63页 1、求过极点，倾角为 的射线的极 坐标方程。 5 4 易得 5 (0) 4 思考： 2、求过极点，倾角为 的直线的极 坐标方程。 4 5 44 或或 第30页/共63页 和前面的直角坐标系里直线方程的表 示形式比较起来，极坐标系里的直线 表示起来很不方便，要用两条射线组 合而成。原因在哪？ 0 为了弥补这个不足，可以考虑允许极 径可以取全体实数。则上面的直线的 极坐标方程可以表示为 () 4 R 或 5 () 4 R 第31页/共63页 例题2:求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极

10、 轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点( , )M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM o x A M 在 中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即 cosa 可以验证，点A的坐标也满足上式。 第32页/共63页 求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 是直线上任意一点； ( , )M 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 的方 程,并化简； , 5、检验并确认所得的方程即为所求。 第33页/共63页 练习：设点A的极坐标为A ,直线 过点A且与极轴所成的角为 ,求直线 的 极坐标方程。 ( ,0)a l l 解：如图，设点( , )M 为直线 上异于的点l

11、连接OM， o M x A 在 中有 MOA sin()sin() a 即 sin()sina 显然A点也满足 上方程。 第34页/共63页 例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 11 (,) l l o x M P 1 1 第35页/共63页 解：如图，设点( , )M 点P外的任意一点，连接OM 为直线上除 则 由点P的极坐标知 ,OMxOM 1 OP 1 xOP 1 ,()OMPOPM 由正弦定理 得 1 1 sin()sin() 11 sin()sin() 显然点P的坐标 也是它的解。 设直线 与极轴交于点A。则在 MOP l 第36页/共

12、63页 直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的 角度 第37页/共63页 第38页/共63页 x C(a,0) O M A=2acos 第39页/共63页 C(r,0) x O M =r 第40页/共63页 2 -2acos 2asin 第41页/共63页 2 2 练习2 第42页/共63页 参数方程的概念： 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高 处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投 放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记 空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ x y 500 o 第43页/共63页 参数方程的概念： x

13、 y 500 o 物资投出机舱后，它的运动由下列两种 运动合成： （1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 tx y 解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以 2 100 , ) 1 500. 2 xt ygt 2 （g=9.8m/s 第44页/共63页 tgy tfx 第45页/共63页 r x y o p0 p o1 o x y r sinry cosrx sinrby cosrax 第46页/共63页 练习: 如图，已知点P是半径是2的圆O 上的一个动点，点Q是x轴上的定点，坐标 为（6，0）.当点P在圆上运动时,线段PQ

14、 的中点M的轨迹是什么? P x y O Q M 第47页/共63页 P x y OA M 解: 设点M的坐标是 (x,y).因为圆O的参数方 程为 sin2 cos2 y x 所以 可设点P的坐标为(2cos , 2sin ). 由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参 数方程为 sin cos3 y x 第48页/共63页 cos3, () sin x M y 由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。 2222 cos3,sin cos(3)1 sin x xy y M 由参数方程得： 所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1

15、的圆。 第49页/共63页 参数方程和普通方程 的互化 第50页/共63页 （1）普通方程化为参数方程需要引入参数 如：直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程 .22 , ty tx （t为参数） 在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程 .cot ,tan y x （为参数） 第51页/共63页 （2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如：参数方程 .sin ,cos rby rax 消去参数 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2. .42 , ty tx 参数方程 （t为参数） 可得普通方程：y=2x-4 通过代入消元法消去参数

16、t , （x0） 注意：在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x，y的取值范围保持一致。否则， 互化就是不等价的. 第52页/共63页 例: 把下列参数方程化为普通方程，并说明 它们各表示什么曲线？ 1 () 12 t yt x=t (1)为参数 sincos (). 1 sin2y x= (2)为参数 第53页/共63页 例: (1)设x=3cos ， 为参数； 2.tt(2)设y=， 为参数 22 1 94 xy 求椭圆的参数方程。 第54页/共63页 解：（1）把x=3cos 代入椭圆方程，得到 22 9cos 1, 94 y 22 4(1 cos)4sin, 2 所以 y 2sin即

17、y。 。的任意性，可取由参数2siny 的参数方程为所以，椭圆1 49 2 2 y x 为参数） ( sin2 cos3 y x 第55页/共63页 椭圆 的参数方程为： 22 22 1 xy ab （ab0） cos () sin xa yb 为参数 ,2 )o通常规定 第56页/共63页 练习:1.把下列参数方程化为普通方程，普通 方程化为参数方程（口答） 3cos , 5sin . x y （1） 8cos , 6sin . x y （2） 22 1 49 xy （3） 2 2 1 16 y x （ 4） 2 3cos , 2.( 3 2sin . x y 曲线为参数)的焦距是 。 第57页/共63页 练习 3.曲线的参数方程 2 2 cos, (), sin. x y 为参数 则此曲线是( ) A 椭圆 B 椭圆的一部分 C 线段 D 直线 第58页/共63页 （1）当参数R时，化为普通方程是_. （2）当参数0，时，化为普通方程是_. （1）(x-1)2+(y+3)2=4； 4、在参数方程 .sin23 ,cos21 y x 中， 练习: （2）(x-1)2+(y+3)2=4,(y-3). 第59页/共63页 2 22