第三章 插值法 Hermite插值

1、第三章第三章 插值法插值法 第五节第五节 Hermite插值插值 埃尔米特插值埃尔米特插值 埃尔米特埃尔米特Hermite插值问题插值问题 其中其中), 1 , 0(nixi 互异，互异， i m为正整数，记为正整数，记，1 0 mm n i i )(xfy 给定给定 )1()1( 1 )1( 0 )1( )1()1( 1 )1( 0 10 10 10 )( )( )( ni m n mmm n n n fffxf fffxf fffxf xxxx 函数值函数值表及各阶表及各阶导数值导数值表如下：表如下： ),()( )()( i k i k xfxP ) 1, 1 , 0;, 1 , 0(

2、i mkni 寻求寻求m次多项式次多项式P( (x) )使满足插值条件：使满足插值条件： Hermite插值问题插值问题 共有共有m+1+1个条件个条件 )()(),()( iiii xfxPxfxP我们只讨论我们只讨论 的情形。的情形。 ).(15 一一 讨论讨论Hermite插值问题插值问题 ,)( 1 baCxfy 函数函数表表及导数表及导数表 n n n yyyxf yyyxf xxxx 10 10 10 )( )( 已知已知 ), 1 , 0()( )( 12 12 niyxH yxH iin iin 其中其中互异互异,寻求寻求), 1 , 0(nixi 12 n次多项式次多项式使满

3、足使满足)( 12 xH n 插值条件插值条件: ).(25 ,)( 1 baCxf 且已知且已知 )(xf 函数表及导数表，函数表及导数表，如果如果 12 n 次多项式次多项式 满足插值条件满足插值条件(5.2).则存在唯一次数不超过则存在唯一次数不超过)( 12 xH n 证明：证明：先证唯一性。先证唯一性。 下证下证存在性。存在性。（用（用构造构造法，同构造法，同构造L L- -插值多项式的方法）插值多项式的方法） ), 1 , 0( , 0)( , 0 , 1 )( nkx jk jk x kj kj 时时当当 时时当当 的的12 n次多项式次多项式 。),.1 , 0(),(njx

4、j 第一，求第一，求HermiteHermite 插值基函数插值基函数 1.1.求满足插值条件：求满足插值条件： 问题问题 定理定理 其中其中C C为待定常数为待定常数, , , ,于是可令于是可令由由为为 )(x j 的二重零点且的二重零点且 njj xxxxx, 1110 1)( jj x ).(35 )(xl j n ji i ij i xx xx 0 (5.3(5.3) )式求导，得式求导，得 )()( 1)( 2)()( 2 xlxlxxcxclx jjjjj ，得由0)( jj x )()(2)()(0 2 jjjjjjjj xlxlxclx )(2 )( )( 2 jj jj j

5、j xl xl xl c 所以所以 ), 1 , 0()( 1 )(21)( 2 0 njxl xx xxx j n ji i ij jj )(1 ( j xxc ）（xl j 2 n ji i ij xx 0 1 2 22 1 2 1 2 1 2 0 )()()()()( njj xxxxxxxxxx 22 1 2 1 2 1 2 0 22 1 2 1 2 1 2 0 )()()()()( )()()()()( )(1 ()( njjjjjjj njj jj xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxcx 22 1 2 1 2 1 2 0 22 1 2 1 2 1 2 0 )()()(

6、)()( )()()()()( njjjjjjj njj xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx (2) 已知已知 ， 001000)( 0000)( 10 xf xf xxxxx nj 由于由于 njj xxxxx, 1110 为为 )(x j 的二重零点且的二重零点且 ,0)( jj x )()()()( 1 22 1 2 1 2 0njjjjjj xxxxxxxx A 又由又由1)( jj x ，则，则有有 22 1 2 1 2 1 2 0 )()()()()()(1 njjjjjjjjj xxxxxxxxxxAx ).(45 2 1 2 1 2 0 )()()()( jjj xxx

7、xxxxxAx 22 1 )()( nj xxxx 则可令则可令 ), 1 , 0(),()()( 2 njxlxxx jjj 于是于是 求求12 n次多项式次多项式 ), 2 , 1 , 0()(njx j , ,使满足插值条件：使满足插值条件： ), 1, 0( , 0)(nkxk j 时时当当 时时当当 jk jk xk j , 0 , 1 )( 第二，求第二，求多项式多项式)( 12 xH n n j jjjjn yxyxxH 0 12 )()()( ).(55 i n j jijjijin yyxyxxH)()()( 0 12 ), 1 , 0(ni （满足插值条件（满足插值条件(5

8、.2(5.2) )的多项式）的多项式） )( 12 xH n n j ijijiijin yyxyxxH 0 12 )()()( 事实上事实上, ,有有 即即(5.5)(5.5)式是满足插值条件式是满足插值条件(5.2)(5.2)的插值多项式的插值多项式 . . 所以存在所以存在2 2n n+1+1次多项式满足插值条件次多项式满足插值条件(5.2).(5.2). # ；)()()( 2 xlxxx jjj ), 1 , 0(),(),(njxx jj 为为HermiteHermite插值基函数插值基函数, ,即即其中其中 ij i n ji i j xx xx xl 0 )( ？ ；)() 1

9、 )( 21 ()( 2 0 xl xx xxx j n ji i ij jj Hermite插值余项插值余项 )( 12 xHb n ）（为为Hermite插值多项式，插值多项式， 证明与拉格朗日余项公式证明类似 证明与拉格朗日余项公式证明类似. .举例时再证举例时再证. . 存存在在，于于设设),()(,)()( )22(12 baxfbaCxfa nn ,(baxi ), 1 , 0互互异异 i xni 有有关关。且且与与 xba),( ),( )!22( )( 2 1 )22( x n f n n 22 1 2 0 )22( )()()( )!22( )( n n xxxxxx n f

10、 )()()( 1212 xHxfxR nn 则则 定理定理 二二 带导数的两点插值（特例带导数的两点插值（特例: : ）1 n ,)( 1 baCxf 函数表及导数表函数表及导数表 1 1 1 )( )( kk kk kk mmxf yyxf xxx 已知已知 ).( 75 求求3次多项式次多项式)( 3 xH使满足插值条件使满足插值条件: : 1133 1133 )(,)( )(,)( kkkk kkkk mxHmxH yxHyxH ).(85 ).(95 )( 3 xH存在且唯一，表达式为存在且唯一，表达式为 )()()()()( 11113 xmxmxyxyxH kkkkkkkk 2

11、11 1 1 )(21 ()( kk k kk k k xx xx xx xx x 2 1 1 )()( kk k kk xx xx xxx ,)()( 2 1 11 kk k kk xx xx xxx , 1 kk xxx 2 1 1 1 )(21()( kk k kk k k xx xx xx xx x 其中其中 ).(105 ；)()()( 2 xlxxx jjj ；)() 1 )( 21 ()( 2 0 xl xx xxx j n i ij jj ji ij i n ji i j xx xx xl 0 )( 问题问题 结论结论 余项公式为余项公式为: 2 1 2 4 33 4 )()(

12、 ! )( )()()( )( kk xxxx f xHxfxR 例例已知已知 )(xfy 函数表及导数表函数表及导数表 1 210 210 )( )( fxf yyyxf xxxx 113 3 )( )2 , 1 , 0( ,)( fxp iyxP ii )( 3 xP使满足插值条件：使满足插值条件：求次数不超过求次数不超过3 3的多项式的多项式 已知已知),(),(),( 221100 yxyxyx三点，由牛顿插值多项式，三点，由牛顿插值多项式， 可确定可确定2 2次多项式，在此基础上，增加了节点，则增加三次项即次多项式，在此基础上，增加了节点，则增加三次项即 可，并使前三个插值条件不受影

13、响。可，并使前三个插值条件不受影响。 分析分析 解：解： )(,)(,)()( 1021001002 xxxxxxxfxxxxfxfxP 221100 ,yxyxyx 的的2 2次牛顿插值多项式为次牛顿插值多项式为过过3 3点点 21 210 , xx xxxf 2110 ,xxxxf 1021001003 )(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfxP )( )(,)( 2101 01210101 xxxx xxxxxfxxfxf A 12101012101013 )()(,)(fxxxxAxxxxxfxxfxP 由由 - - 带重节点的牛顿插值多项式带重节点的牛顿插值多项式 102100

14、1003 )(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfxP 设所求多项式为设所求多项式为 113 )(fxP 确定确定A . .再由条件再由条件 , 11 xxf 重节点定义重节点定义 )( 1 x f 01 1011 , xx xxfxxf 110 ,xxxf 21 210110 , xx xxxfxxxf 重节点定义重节点定义 )()( 210 xxxxxxA )()(, 2102110 xxxxxxxxxxf )( 01 xx )( 01 xx 插值余项（误差估计）插值余项（误差估计）: 存存在在。， ）（ )(,)( 43 xfbaCxf xxx且且依依赖赖于于 20, 。)()( !

15、 4 )( )()()( 2 2 10 )4( 3 xxxxxx f xPxfxR ; 00)(,)2 , 1 , 0(1 右端右端时时）当）当（ ii xRixx ,)2 , 1 , 0(2时时）当）当（ ixx i )()()()()()( 2 2 103 xtxtxtxktPtft 构造构造函数（作辅助函数函数（作辅助函数):): 至至少少有有四四个个互互异异根根)(t 至少有一个根，至少有一个根， ）（ )( 4 t 0, 4 20 ）（使使即即至至少少存存在在一一点点 ）（ xx !4)( 4 xkf）（ ）（ !4 )( 4 ）（ ）（ f xk )()( ! 4 )( )( 2

16、2 10 )4( xxxxxx f xR 设设)()()()( 2 2 10 xxxxxxxkxR , 其中其中)(xk为待定函数。为待定函数。 的的根根是是的的根根，且且为为)()(, 1210 txtxxxx 则则 条件条件 结论结论 证明证明 P.88 15作业作业: : (1) (1)理解理解H-H-插值多项式的插值多项式的构造构造方法（方法（基函数法基函数法与与例的方法例的方法）；）； (2)(2)能能根据具体条件根据具体条件求出求出插值多项式及插值余项。插值多项式及插值余项。 HermiteHermite插值插值（以（以 mi=2, i=0,1,n 为例）为例） ；)()()( 2 xlxxx jjj ), 1 , 0(),(),(njxx jj 为为Hermite插值基