高中物理竞赛讲座3

1、专题七、电磁感应专题七、电磁感应 ldrkrtBsdBd)cos( 0 dx x ldrkrtBd)cos( 0 )sin()(sin 0 kxtdxkt k lB )cos()()cos()( 0 kxtdxktkv k lB dt d tE )cos( 0 krtBB )()cos( 0 krtdkrt k lB dx x 例例 解解 )cos()()cos()( 0 kxtdxktkv kR lB R E ti ltdxBtiltxBtitf),()(),()()( 2 22 0 )cos()cos( )( )(kdkxtkxt R v k lb tf 当当kd=(2n+1)，即即 当当

2、kd=2n，即，即 例例（A12）半径为和半径为和 的两圆形电流环同心共面放置，的两圆形电流环同心共面放置， ，小环中电流强度为，且随时间的变化率为，大环中电流，小环中电流强度为，且随时间的变化率为，大环中电流 为。求：为。求：1、两环的互感系数、两环的互感系数M；2、大环中的互感应电动势、大环中的互感应电动势 ； 3、 大环圆周上的切向感应（涡旋）电场强度大环圆周上的切向感应（涡旋）电场强度 ；4、在大电流环圆周上某、在大电流环圆周上某 点放置一电量为点放置一电量为Q的点电荷，然后拿走大电流环。当小环中电流强度在较的点电荷，然后拿走大电流环。当小环中电流强度在较 短时间内从变为零的过程中，点

3、电荷短时间内从变为零的过程中，点电荷Q 所受的切向冲量所受的切向冲量P；5、长为、长为 L 、横截面积为、横截面积为 A 的绝缘空心管内有带电粒子沿轴向运动形成电流，已的绝缘空心管内有带电粒子沿轴向运动形成电流，已 知每个运动带电粒子的质量为知每个运动带电粒子的质量为 m 、电量为、电量为 q ，速度相同，带电粒子的数，速度相同，带电粒子的数 密度为密度为 n ，管内电流强度为，管内电流强度为 。考虑相对论效应，试给出管内带电粒子。考虑相对论效应，试给出管内带电粒子 的总动量的总动量 P ；6、用第、用第5小题中的绝缘空心管做成的边长为小题中的绝缘空心管做成的边长为的的正方形正方形 电流环取代

4、第电流环取代第3小题中的圆形小电流环，设环很重，不计其运动。环中同小题中的圆形小电流环，设环很重，不计其运动。环中同 一截面载流子速度相同，不计载流子间相互作用。试计算正方形环中载流一截面载流子速度相同，不计载流子间相互作用。试计算正方形环中载流 子的总线动量子的总线动量 Phid，这个动量称为这个动量称为“隐藏动量隐藏动量”；7、用线圈的磁矩、用线圈的磁矩 IS 来表示第来表示第4小题和第小题和第6小题的答案（小题的答案（1/00c2）。）。 rR Rr II I 0 I I I 解：解：1 1、大电流环环心处的磁感应强度为、大电流环环心处的磁感应强度为 R I B 2 00 0 小环的磁通

5、为小环的磁通为 2 00 2 0 2 r R I rB 互感系数为互感系数为 R r I M 2 2 0 0 2 2、小环对大环的互感磁通为、小环对大环的互感磁通为 R Ir MI 2 2 0 0 大环的互感电动势为大环的互感电动势为 I R r dt dI R r dt d M 22 2 0 2 00 3 3、 I R r E 2 2 0 4 I R r REl dE L 2 2 2 0 4 4、Q Q受到的冲量受到的冲量 dt dI R r Q I R r QQEF 2 2 0 2 2 0 4 4 dI R Qr Fdt 2 2 0 4 0 2 2 0 2 2 0 0 44 I t I R

6、 Qr dI R Qr FdtP 5 5、 nqvAI nqA I v 2 2 2 2 2 )(1 11 nqAc I q mIl c v q mIl nlA c v mv mvnlAP 6 6、设正方形线框右、左两边载流子、设正方形线框右、左两边载流子 的线密度和速度分别为的线密度和速度分别为1 1、1 1、 2 2、2 2，两边的洛伦兹因子分别为，两边的洛伦兹因子分别为 1 1和和2 2。则有。则有 2211 vqvqI 载流子从环的左边运动跑到右边能量守恒，即载流子从环的左边运动跑到右边能量守恒，即 ) 2 (4) 2 (4 0 2 1 0 2 2 l R qQ mc l R qQ mc

7、 2 0 2 12 4 )( R qQl mc 左、右两边载流子的总动量为左、右两边载流子的总动量为 )(ns 22 0 2 22 0 1211122212 44 )( cR QIl mcR Qql q mIl q mIl lmvlmvPPP hid 注意：上式中已不含载流子的微观量注意：上式中已不含载流子的微观量 、。、。 7 7、用磁矩表示第、用磁矩表示第4 4、6 6小题中的小题中的PP和和 P Phid hid。 。 2 0 2 2 0 2 2 0 444 4 R Q I R Qr I R Qr P 小题中：第 2 0 22 0 2 44 6 R Q cR QIl P hid 小题中：

8、第 Ir 2 Il 2 我们看到，以上两式相同我们看到，以上两式相同 例例( (2222决决) ) 如图如图所示，所示，O O O O为固定为固定 不动的半径为不动的半径为a a1 1 的圆柱金属轴，其 的圆柱金属轴，其 电阻忽略。一内半径为电阻忽略。一内半径为 a a1 1 、外半径 、外半径 为为a a2 2 、厚为 、厚为h(a1) h(RR2 2，小圆环金属表面绝缘。两圆，小圆环金属表面绝缘。两圆 环单位长导线的电阻均为环单位长导线的电阻均为 r r0 0 ，磁感应强 ，磁感应强 度为度为 B B 的匀强磁场垂直于图平面向里。一的匀强磁场垂直于图平面向里。一 单位长电阻来单位长电阻来

9、r1 r1 的长直金属细杆放在大圆的长直金属细杆放在大圆 环上，并从距环心左侧为环上，并从距环心左侧为 R1/100 R1/100 （R2R2） 的位置的位置 abab 处，以速度处，以速度 v v 匀速向右沿环平匀速向右沿环平 面滑动到相对环心与面滑动到相对环心与 abab 对称的位置对称的位置 cdcd 处处 ，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接 触。触。试求试求在上述滑动过程中通过小圆环导线在上述滑动过程中通过小圆环导线 横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁 场

10、为匀强磁场。半径为场为匀强磁场。半径为 R R、长为、长为 l l 的圆弧电流的圆弧电流I I在圆心处的磁场为在圆心处的磁场为 ，长直电流，长直电流 I I 在距电流在距电流 r r 处的磁场为处的磁场为 。 2 R Il kB m r I kB m 2 解：解： abab滑动产生动生电动势，大小为：滑动产生动生电动势，大小为： BLv (1)(1) 2 2 1 11 22 100 R LRR (2)(2) 将（将（2）式代入（）式代入（1）式得）式得 1 2BRv(3)(3) I 1 I 2 I以以 、 和和 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图所示分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的

11、电流，方向如图所示 以以 、 表示表示a、b两端的电压，由欧姆定律有两端的电压，由欧姆定律有 ab U cd U ab1 1 0 UI l r 022 rlIUcd(4)(4)(5)(5) 根据提示根据提示得得 2 1 11 1 R lI kB m 2 1 22 2 R lI kB m (6)(6) (7)(7) (方向竖直向上方向竖直向上) (方向竖直向下方向竖直向下 ) 由（由（4 4）、（）、（5 5）、（）、（6 6）和（）和（7 7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁 感应强度为感应强度为 0 120 BBB (8)(8) 于是在圆心处只有金属

12、杆的电流于是在圆心处只有金属杆的电流I I所产生磁场。所产生磁场。金属杆在金属杆在ab位置时，杆中位置时，杆中 电流产生的磁感应强度大小电流产生的磁感应强度大小为为 1100 3 2002 1 R I k I kB m R m (方向竖直向下方向竖直向下) (9)(9) 右左 右左 RR RR R I 杆中的电流杆中的电流 (10)(10) 11 2 rRRR ab 01r RRR 右左 (11)(11) 利用（利用（3 3）、（）、（9 9）、（）、（1010）和（）和（1111）式可得）式可得 )4( 800 011 3 rrR vBk B m (13)(13) (14)(14) (12)

13、(12) 当金属杆位于当金属杆位于abab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为 3 2 2B R ab 同理，同理，当长直金属杆滑到当长直金属杆滑到cdcd位置时位置时穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为 )( 3 2 2 BR cd 3 2 2 2BR abcd (15)(15) 小圆环中产生的感应电动势为大小为小圆环中产生的感应电动势为大小为 t BR t 3 2 2 1 2 (18)(18) (17)(17) (16)(16) 小圆环导线中产生的感应电流为小圆环导线中产生的感应电流为 tr BR rR I 0 32 02 1

14、 1 2 在在t内通过小环导线横截面的电荷量为内通过小环导线横截面的电荷量为 )4( 800 0101 2 0 32 1 rrrR vBRk r BR tIQ m 例例（29j5) 29j5) 如图所示，一半径为如图所示，一半径为R R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置， 可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为 a a 的轻质小的轻质小 圆线圈圆线圈(a (a R)R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等间隔固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等间隔 地固定地固定4 4个质量均为个质量均为m m

15、的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为 q q 。此装置处在一磁感应强度大小为。此装置处在一磁感应强度大小为BoBo、方向竖直向上的均匀强磁场中。、方向竖直向上的均匀强磁场中。 初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I I，方向沿顺时针方向（从上往，方向沿顺时针方向（从上往 下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆盘下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆盘稳定转稳定转 动后动后，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设金属小球，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设金

16、属小球 可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场 。 已知固定在圆盘面上的半径为已知固定在圆盘面上的半径为a a、通有电流、通有电流 I I的圆线圈在圆盘面内、的圆线圈在圆盘面内、 距线圈圆心的距离为距线圈圆心的距离为 r r 处（处（rara）产生的磁场的磁感应强度的大小为）产生的磁场的磁感应强度的大小为 ： ， 式中式中k km m为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方 向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常

17、量为k ke e 。 32 2rIakB m 解：解：电荷受的力电荷受的力：切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场 EcEc，所以电荷受到涡旋电场力；，所以电荷受到涡旋电场力；运动电荷受磁场洛仑力；运动电荷受磁场洛仑力；电荷受圆电荷受圆 盘的约束力；盘的约束力；电荷间的相互作用力。电荷间的相互作用力。 先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电 场处处相等，则有场处处相等，则有 C L C RElE2 （1） ) 11 (4 )( 4 )(2 2 1 22 2 1 22

18、1 3 2 ii m i ii m iii i m iii rr Iak r rr Iak rrr r Ia k SB R Ika rr Iak m Ri ii m S i 22 22 4 ) 11 (4 （2） （3） 切断电流，磁场消失，磁切断电流，磁场消失，磁鑀鑀改变量：改变量： 由（由（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）得）得 t tR Ika E m C 2 2 2 涡旋电场沿顺时针方向涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场，涡旋电场 对对4个电荷作用力的合力为零，合力个电荷作用力的合力为零，合力 矩矩 L 不为零，小球带动圆盘转动。不为零，小球带动圆盘转动。 tR qIak Rq

19、EL m C 2 8 4 （4） （5） 4个小球的冲量矩为个小球的冲量矩为 R qIak tL m 2 8 （6） 设小球的转动角速度为设小球的转动角速度为，则由角动量定理得，则由角动量定理得 R qIak mRmvR m 2 2 8 4)(4 （7） 3 2 2 mR qIakm （8） 金属小球转动时受金属小球转动时受 B B0 0 的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为 的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为 I mR Bqak RBqf m B 2 0 22 0 2 （9） 任一金属小球受另外三个金属小球的电场力任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小沿圆盘

20、半径方向，大小为为 2 2 22 4 )221 ( ) 2 2 4 ( R q k R q R q qkf eee （10） 设圆盘设圆盘稳定转动后稳定转动后，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为 f ,f ,则则 Rmfff eB 2 I mR qak R q kI mR qak f m e m 2 22 2 2 2 5 2422 2 4 )221 (2 （11） 例例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置一圆柱形小永久磁棒竖直放置( (如图如图) ) ，在其正上方离棒中心，在其正上方离棒中心1 1 m m处处的的 磁感应强度为磁感应强度为B B。, ,一超导

21、圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴， 设线圈的半径为设线圈的半径为a，质量为，质量为m，自感为，自感为L，线圈只能上下运动，线圈只能上下运动 (1)求平衡时线圈离棒中心的高度求平衡时线圈离棒中心的高度Z0已知已知aZ0; (2) 求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用Z0表示）表示）. 3 0 3 0 4 22 4Z m r m B 4 2 0 0 m B 3 0 Z B B NS 3 0 Z B BZ 0 IR dt d 0常量 解解：(1) 小磁棒看成一小线圈磁矩，则小磁棒看成一小线圈磁矩，则Z处的

22、磁场可表示为处的磁场可表示为 当线圈平衡在当线圈平衡在 Z0处时，设线圈中的电流为处时，设线圈中的电流为I0，则有，则有 (1) (2) 0 Z B 0 2 3 0 0 LIa 3 0 2 0 0 LZ aB I (3) (4) ZaBaZZBaZB rZZ 2)()( 22 ZB a B Z ZZ Z B ZZ B r 23 )( 0 6 2 3 0 3 0 4 0 2 3 Z aB Br(5) 用磁场的高斯定理求用磁场的高斯定理求Br: 0 SdB mgazBI r 2)( 00 mga Z aB LZ aB 2 2 3 4 0 0 3 0 2 0 7 422 0 0 3 Lmg aB Z

23、 线圈受力平衡，即线圈受力平衡，即 (6) 求得求得 (7) 0)( )( 0 2 3 0 0 iILa ZZ B 0)()31 ( 0 0 2 3 0 0 iIL Z Z a Z B 0 0 3 0 2 0 0 33 Z Z I LZ aB Z Z i mgaZZBiIF r 2)()( 00 利用利用(3)、(4)式得式得 (2)线圈在平衡位置上移小量线圈在平衡位置上移小量Z，则线圈中电流变为，则线圈中电流变为I0+i，由，由(2)式得式得 (8) 线圈受力线圈受力 由由(5)式得式得 )41 ( 2 3 )(2 3 )( 0 4 0 0 4 0 0 0 Z Z Z aB ZZ aB ZZ

24、Br mga Z Z ZB I i IF r 2)41)()1 ( 0 0 0 0 0 7 Z Z mgF 0 7 Z g g Z T 7 2 0 以以(8)式代入上式，并利用式代入上式，并利用(6)式得式得 则则 例例 图图 OxyOxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x x0 0的一侧，存的一侧，存 在匀强磁场，磁场方向垂直于在匀强磁场，磁场方向垂直于OxyOxy平面向里，磁感应强度的大小为平面向里，磁感应强度的大小为 B B在在x x0 0的一侧，一边长分别为的一侧，一边长分别为l l1 1、和、和l l2 2的刚性矩形超导线框位于桌的刚性矩形超导

25、线框位于桌 面上，框内无电流，框的一对边与面上，框内无电流，框的一对边与x x轴平行线框的质量为轴平行线框的质量为m m，自感为，自感为 L L现让超导线框沿现让超导线框沿x x轴方向以初速度轴方向以初速度v v0 0进人磁场区域试定量地讨论进人磁场区域试定量地讨论 线框以后可能发生的运动情况及与初速度线框以后可能发生的运动情况及与初速度v v0 0大小的关系（假定线框在大小的关系（假定线框在 运动过程中始终保持超导状态）运动过程中始终保持超导状态） t i LE L 例例 运动方程为：运动方程为： 半个周期后，线框退出磁场区，将以速度半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动因为在

26、这向左匀速运动因为在这 种情况下种情况下xm的最大值是的最大值是l1，故有，故有 发生第发生第种情况要求：种情况要求： 框的初速度框的初速度v0较小，简谐振动，有较小，简谐振动，有 振动的振幅振动的振幅 ： 求得运动速度：求得运动速度： 当当 设设 x = l 1 ，时间间隔从，时间间隔从0到到 t1 ， ，则 则 有有 线框全部进入磁场区域则匀速前进，由线框全部进入磁场区域则匀速前进，由 例例 一直导体一直导体MN和一半径为和一半径为R的金属圆环彼此重叠放置在水平面上的金属圆环彼此重叠放置在水平面上 ，直导线，直导线MN固定不动，距金属圆环心固定不动，距金属圆环心O的距离为的距离为 r/2，

27、金属环静止时，金属环静止时 与直导体的交点电接触良好，导体和金属环单位长度的电阻均为与直导体的交点电接触良好，导体和金属环单位长度的电阻均为 r 0,金金 属环单位长的质量为属环单位长的质量为 m0。空间存在一均匀磁场，磁感应强度为。空间存在一均匀磁场，磁感应强度为 B ， 方向垂直于水平面的向下方向垂直于水平面的向下(见图示见图示)。求：当迅速撤除磁场后金属圆环。求：当迅速撤除磁场后金属圆环 泊运动速度。泊运动速度。 解解 rRirRi32 3 2 311 tR Br ii ) 4 3 3 2 (3 3 4 31 t B r t B s 2 22 ) 4 3 3 1 ( rRirRi32 3

28、 1 322 t B R r ii ) 4 3 3 1 (3 3 2 32 (2)(2) (1)(1) 321 iii(3)(3) 对回路对回路adceaadcea有有 t B r t B r r r t B s 22 11 ) 4 3 3 2 ()3 22 1 3 2 ( 设图示电流，对回路设图示电流，对回路abceaabcea有有 联立联立(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)式，解得式，解得 t B R r i 33616 3218 1 t B R r i 33616 3128 2 rBiF3 11 rBiF3 22 t B R Br FFF )33616( 27 2 21 2 0 22 37232 27 )33616( 27 2B R r BB R r tFr