8.3极坐标系下的二重积分

1、2021/6/161 8.38.3极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分 P P( (r r, , ) r=r() r=r( ) ) o o rr ) r P P r ) r r= =r r( ( ) ) cos sin xr yr y x 如如: r r=a =a r r=2cos=2cos r r=2sin=2sin 2021/6/162 有些有些二重积分用直角坐标计算比较繁二重积分用直角坐标计算比较繁 琐，甚至无法计算，如例琐，甚至无法计算，如例6 6。 22 xy D Ied 22 1 4 xy D Ied 22 ( , )14Dx yxy x x2 2+y+y2 2=1=1 x x

2、2 2+y+y2 2=4=4 x x y y D D1 1 D 2021/6/163 注记注记 ： 对于一个二重积分，当：对于一个二重积分，当： 积分区域积分区域D D的边界曲线用极坐标方程表示比较的边界曲线用极坐标方程表示比较 容易；容易； 被积函数用极坐标变量被积函数用极坐标变量r r、 来来表达比较简单表达比较简单 这时，用极坐标计算会带来方便。这时，用极坐标计算会带来方便。 因为直角坐标与极坐标之间有关系：因为直角坐标与极坐标之间有关系： 所以极坐标系下二重积分的表达式为所以极坐标系下二重积分的表达式为 ( , )( cos , sin ) D f x y df rrrdrd coss

3、inxryr 2021/6/164 A o D i i rr ii rrr ii i iiiiii rrr 2 2 2 1 )( 2 1 iiii rrr )2( 2 1 ii iii r rrr 2 )( , iii rr .)sin,cos(),( DD rdrdrrfdxdyyxf 2021/6/165 在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次 积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分 限的问题。但积分次序多以先对限的问题。但积分次序多以先对r后对后对 的次序，的次序， 而确定积分限可分为三种情形：而确定积分

4、限可分为三种情形： 2021/6/166 于是得到在极坐标下于是得到在极坐标下 二重积分化为二次积分二重积分化为二次积分 的公式：的公式： 2 1 ( ) ( ) , cos , sin D fx y d f rrrdr d 12 ( )( ),r AO D 2( ) r 1( ) r 1 1 若积分区域若积分区域D： 2 1 ( ) ( ) ,cos, sin D fx y ddf rrrdr 或写作或写作 AO 1( ) r 2( ) r D 2021/6/167 2 2若极点在若极点在D的内部的内部 02 0( ),r 2( ) 00 ,( cos , sin ) D f x y ddf

5、 rrrdr 则则D可以用不等式表示可以用不等式表示: D ( )r 这时有这时有 AO ( )rr 2( ) 0( ) ,( cos , sin ) r D f x y ddf rrrdr 若若D由两条封闭曲线围成（如图），则由两条封闭曲线围成（如图），则 2021/6/168 3 3若极点若极点O O在在D D的边界上，且的边界上，且D D由射线由射线 = = 、 = = 和连续曲线和连续曲线r=r(r=r( ) )围成。即围成。即 这时这时 例如例如 ( , ) 0( ),Drrr ( ) 0 ,( cos , sin ) r D fx y ddf rrrdr o r 2 2 r=r(

6、( ) ) r o r=r( ( ) ) 2021/6/169 , D f x y d 把把化化为为极极坐坐标标下下的的二二次次积积分分， . 41: 22 yxD其其中中 x y O12 1 D 4 D 2 D 3 D , D f x y d 计计算算 例：例： 20 , 21: rD 1 r 22 =1xy 2r 22 =4xy 22 01 ,( cos , sin ) D f x y ddf rrrdr 直角坐标直角坐标 极坐标极坐标 22 =1xy 22 =4xy 1 r 2r 解解 2021/6/1610 利用利用 把积分区域的边界曲把积分区域的边界曲 2 ,:112, 01 D f

7、x y dDxyx x 将将 ，化化为为极极坐坐标标下下 例例 的的二二次次积积分分. . cos sin xr yr 1,r 线化为极坐标形式：线化为极坐标形式： xy 1 2 1xy 1 sincos r 圆圆： 直直线线： x y 1 1 2 1xy xy 1 解解 2021/6/1611 1 :1,0 sincos2 Dr 于是于是 1r 1 sincos r y x 1 1 1 2 1 0 sincos , cos , sin D fx y d df rrrdr 2 :11,01Dxyxx ， 2021/6/1612 例例3 3 计算计算 ，其中，其中D是以是以 22 xy D ed

8、xdy 解解 D可以表示成可以表示成0,02ra 222 xyr DD edxdyerdrd 原点为圆心，半径为原点为圆心，半径为a的圆域的圆域. 2 2 00 a r derdr 2 2 0 1 (1) 2 a ed 2 2 0 0 1 2 ra ed 2 (1) a e 2021/6/1613 用极坐标用极坐标 22 22 4 sin , D xy d xy 计计算算例例 :12, 2 Dr 2 1 2 sinr drdr r 原原积积分分 2 1 22 :14,0,0.Dxyxy其其中中 2 1 2 sindrdr 2 2 1d x y O 解解 2021/6/1614 例例5 计算计算

9、 其中其中D 为为 222 4 D axy dxdy ， 22 2(0)xyaxy 解解 2 cosra x O y D a2a 02 cos 2 ra ，0 0 所以所以D可表示为可表示为 2 cosra 圆的方程：圆的方程： 和和x轴所围成的区域，轴所围成的区域， 并说明该积分的几何意义并说明该积分的几何意义. 表示成极坐标形式：表示成极坐标形式： 22 2xyax 2021/6/1615 于是，利用极坐标得于是，利用极坐标得： 22222 44 DD axy dxdyar rdrd 2 cos 22 2 00 4 a dar rdr 33 2 0 8 (1sin) 3 ad :02 cos 2 Dra ，0 0 3 82 323 a （ ） 2021/6/1616 几何意义几何意义 222 4zaxy， 2 2,yaxxxOzxOy 面面及及面面 圆柱面圆柱面 所所围围成成的的立立体体的的体体积积。 222 4 D axy dxdy ， y O x z 2a D 222 4zaxy 顶顶： 是球面是球面 2021/6/1617 当积分区域为当积分区域为(部分部分)圆、扇形或扇面圆、扇形或扇面等等 , 22 yx 常用常用极坐标极坐标计算计算.形状时，函数含有形状时，函数含有 co