九年级数学正弦和余弦1

1、正弦和余弦【基础知识精讲】1 .基本概念RtABC /C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做/ A的正弦，记彳sinA.把/ A的邻边和斜边的比叫做/ A的余弦，记作门nNA的对边/A的邻边cosA,即,sinA= ,cosA=斜边斜边如图6-1, sinA= a ,cosA=。.注意：正弦、余弦是一种比值，当/ A确定时，这个比值是不变的c cB对边C图6- 12 .取值范围ab0v1, 0v 1,所以当/ A为锐角时，OvsinAvl,由于直角三角形中斜边大于直角边，从而有:0 V cosAv 1.3 .特殊角的正、余弦的数值由直角三角形的有关性质及正、余弦定义，可以推出:sin301

2、=,sin452sin60史;cos302 3=，cos452 ,cos604 .互余角的正、余弦函数之间的关系由图 6-1 知，sinA= a ,cosB= a,从而可得：sinA=cosB.同理可证：cosA=sinB ,又 A+B= c c90，.二 sinA=cos（90 -A）,cosA=sin（90 -A）（A 为锐角）.5 .在0 -90之间正、余弦值的变化情况从正、余弦表中可以看出：当角度在0 -90是变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的减小（或增大）而增大（或减小）.【重点难点解析】本节的重点是理解正弦函数和余弦函数的概念，熟记特殊三角函数

3、值.难点在于搞清sinA、ocsA的意义，它提示了直角三角形边角之间内在联系，是后面解直角三角的基础例 1 如图 6-2 ,在 RtABC中，/ C=90 , AC=8, BC=4.（1）求 sinA、cosA 的值；（2）sin 2A+cos2A 的值；（3）比较sinA与cosB的大小.解：（1）C=90 , AC=8 BC=4.AB= , AC2 BC2 = 82 42 =4 ,5BC1厂 AC2厂sinA= =, 5 cosA= = 、 5AB5AB5(2)sin 2A+cos2A=cos2A=( V5 ) 2+( 2- 5 ) 2=1 55BC11-(3) . cosB= 145,s

4、inA= 5AB551) sinA=cosB(或由公式得出)分析：熟练地依据正弦函数、余弦函数的概念求直角形中各锐角的正、余弦值是本节的基本技能；此题为求正、余弦值，必先求出斜边的长，再由定义得出，在问题(3)中我们以具体实例验证了公式sinA=cos(90 -A). 例2求下列各式的值(1)sin30 - sin45 +cos30 - cos45 2) ) 2 sin45 +sin30 - cos60解：(1)sina30sin45一o 1+cos30 - cos45 = m2=2451. sin46 sin45 ,cos46 cos46 简析：45的正、余弦值相等以及0 90之间正、余弦值

5、变化情况是解决本题的关键例 5 已知 RtABC中Z 0=90 , / B=60 , a+b=6,求 a、b、c-。.3.3解：sinB=sin60 =, b=ccosB=cos60 = ,a= c22又知 a+b=63）由知：a=3 . 3 -3,b=9-33 ,c=6 ,. 3 -6分析：此题由角B的正、余弦的定义得出等式，再由已知解方程解决问题【课本难题解答】1 证明：sin 2A+cos2A=1（A 为锐角）证明：在 RtABC中（Z 0=90 ） , sinA= ,cosA=c c2 ,2222 a b csin A+cos A=2- =2 =1c c简析：用定义及勾股定理直接解题.

6、2 已知sinA= 4 ,求cosA的值.（/ A为锐角）5解：/A为锐角，cosA 0,又 sin 2A+cos2A=123cosA= , 1 -sin A =5简析：本题有两点值得注意，一是sinA与cosA之间的关系（即其平方和为1）,二是由等式sin 2A+cos2A=1得出的是cosA= vi -sin 2 A，再由A是锐角，cosA大于0,得出正确结论.【典型热点考题】例 1 计算：（J2+1）-|sin60 。-1|-（ , 3 +1）-1+（-1）3（2000 年武汉市中考题） 2解：(2 +1)-|sin60-1|-(=1-(1-)-(3-1)+(-1)22简析：简单运用si

7、n60 的值进行计算.例2 在斜边为10的RtABC中，/ 0=90 ,两直角边 a、b是方程x2-mx+3m+6=0的两个根.（1）求m 的值；(2)求两个锐角的正弦值.(1997年济南市中考题)解：依题意：a+b=m,ab=3m+6. a2+b2=102.-. n2-2(3m+6)=10 2解这个方程得：m=-8,m 2=14a+b0,m=14原方程为：x2-14x+48=0解之得：xi=8,x 2=6. .当 a=6,b=8,c=10,sinA= - ,sinB=55当 a=8,b=6,c=10 时，sinA= ,sinB=-55简析：(1)是用方程的有关知识解题，问题(2)是用定义解题

8、，关键注意题中没有明确a、b的大小，从而需加以讨论说明.例 3 已知 ABC的边 AC2 , / A=45 , cosA、cosB 是方程 4x2-2(1+ 2 )x+m=0 的两根，求/ B 的 度数.(1998年呼和浩特市中考题)叼,。2解：./ A=45 SinA= 2由根与系数的关系：cosA+cosB=1 (1+ 2 )2cosB= , / B=602简析：此题将一元二次方程和三角函数结合在一起，要求我们具有综合运用知识的能力【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)一、填空(6分X 5=30分) r(1)若 sinB=,则/ B=度；sinA=上 ,则/ A=度.22(2)

9、当 a 为锐角时，d(sina 1)2 =.(3) v(sin45-1)2 +|1-cos60。|=(4)已知 2sin a - 3 =0,则 a =.(5)在 Rt ABC 中,/ C=90 , AC= 0C.0vm 1(2)已知cosA(A为锐角)是方程3x2-4 J3x+3=0的实根，则cosA等于()A. ：13B.-3C. V3 或3D.m 1y x y x 已知锐角/ AOB P是OB边上任一点，过P作PQL OA于Q,设OQ=X QP=y,OP=r,则比值2 ,_ ,工，_r r x y的大小与点P及/AOB勺关系是（）A.由P点的位置决定，与/ AOB的大小无关B.由/ AOB

10、勺大小决定，与点 P位置无关D.与/ AOB勺大小和点P位置无关A.(5)中 ABC中，/ C=90 , sinA= 3 ,贝U cosB=()5B. 45已知Q为锐角，则下列等式中，可能成立的是（ sinQ= . 3 sinQ+cosQ=0 cosQ= -1 (a 0)1 asinQ-cosQ=0A.三、解答题（8分X 5=40分）（1）已知三角形三边长分别是B.C.D.5, 12, 13.判断此三角形的形状求最小角的正弦和余弦值C.由/AOB的大小和点 P位置决定(2)在 RtABC中，/ C=90 , a:b=4:5 ,求 sinA、cosA 的值(3)计算 1B.sinQ+sin 2Q

11、=1C.sinQ+sin 2Q 1D.sinQ+sin 2Q与1的大小关系不能确定22.已知在 RtABC中，/ C=90 ,且 sinA 和 cosB 是万程 4x+px+1=0 的两根，(1)求证：p+4=0;(2)求/ A 和/B的度数.A 一一3.已知 17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB, 且 A、B都是锐角，求 一+B 的值.2【生活实际运用】一般向正东方向航行，上午十时在灯塔的西南方 船航行的速度.58.4海里处，到上午十二时船到达灯塔的正南方，求参考答案【同步达纲练习】一、(1)30 、60 (2)1-sin a (3)2- 2- -(4)6022二、C

12、 B B A C三、(1)Rt , sinA= , cosA= (2) 设 a=4k,则 b=5k, ： c= V41 k, ： sinA= 4 . 41 .cosA= 541 (3)1- , 313134141(4) 1 (5) sin75 =cos15 ,：原式=J6 + J24.10 ,1515(5) 一 , 一 ,555【素质优化训练】1. D2. A+B=90 sinA=cosB,二方程 4x2+px+1=0 有两个实根，： =p2-16=0 , p=4 当 p=4 时，x=-，此时 sinA 0,2舍去，当 p=-4 时，x=,即 sinA=cosB= A=30 / B=60 , p+4=0.223.作 AB计，使 AB